[转帖]柔性多体动力学建模、仿真与控制——之我见
对于模态正交应该怎么理解？ 它的本质的物理涵义是什么呢？ 个人感觉这个问题应该更多的从模态的定义上去理解，现在针对这个问题的物理含义我也说不清楚，很难用语言去表达。下面我转几个别人对模态的理解希望对你有帮助 最早接触结构振动时，就涉及到固有频率和振型的计算，而有些书籍上就将结构振动的固有特性称为模态，模态一词好像也是来自外来语；结构失稳中也同样存在模态，振动体向可压缩介质中压力辐射时，也有定义为辐射模态，等等... ...
模态在物理上是反映结构自身特性范畴的描述集合，有一些相应的量（如模态频率、模态振型、模态阻尼、模态刚度... ...），而这些模态相关量仅仅是取决于结构和边界，与外界激扰没有关系，失稳模态也是类似。
模态是物理意义上的定义，对应在数学上，是反应为非齐次问题的特征值问题，连续模型是偏微分方程的特征值问题，离散问题是常微分方程的特征值问题。有限元最终归结为矩阵的特征值问题，简单的比较容易求解，复杂的非常棘手，特征值可能是实的，也可能是复的，求矩阵特征值的方法大致存在两种，一种变换法，一种迭代法。
模态是结构分析时提出来的，考察结构在荷载作用下的响应，若存在这样一些函数空间，以那些函数空间为基，无论什么荷载激起的结构响应都能够通过线性叠加来表示，则函数空间就是常称的模态。显然，模态是为了求响应的前提，是求响应的一种途径；模态的存在前提是结构系统线性，能够满足叠加原理。
总之，希望能解释一下模态，说明对模态的了解，完全不是模态的定义。
很多事情好像就是无法简单象初等物理那样给出几行文字的定义。就像什么是有限元，也很难找到两句定义它的所指。 结构振动一般结构是有边界的，振动属于波动的特例，也正是由于存在边界，当波速相对结构尺寸是大量时，波动就成为驻波，也就是结构振动的振型，常称模态形状。如果结构无限大，或振动频率非常高，结构里的振动就又还原为波动现象了。
通常结构振动分析时，由于作用在结构上的引起结构振动的激励源往往频率比较低，因此也就考虑分析结构的模态都是低阶的，因为低频模态对低频响应的贡献比较大。正为如此，结构分析的模型也都是仅仅考虑的是小变形且小曲率，对于低阶模态问题有很好的结果，而且理论简单，比如，Euler梁比Timoshenko简单类似。
因此，高阶模态一般很少出现，或者结构高频激励作用时，已经不再是振动特性了，用低阶振动分析的理论已经不在满足理论建立的假设前提了，随着振动频率的增加，分析精度不断下降。处理高频振动时，一般采用统计能量法更合适一些。 感觉模态的存在首先在于数学和物理中对于信号的分解上. 对于响应信号,为了便于分析,往往将其看成一系列函数相加. 当然这个分解过程是讲究方法和总体上的收敛的.这相加的过程是否是线性,不去详细分析. 但这些基函数的确能够组合表示该响应信号,反映信号的特征. 而信号在通过结构之后往往带有结构的部分特性. 故此 这些基函数能够反映出来. 为此, 便称之为模态. 当然对于连续无限的信号,其基函数严格上说都应该是无穷多个的. 而我们只取主要的有限个进行分析,故此便有了剩余模态..... 模态分析当前的一个重要发展趋势是由线性向非线性问题方向发展。非线性模态的概念早在1960年就由Rosenberg提出，虽有不少学者对非线性模态理论进行了研究，但由于非线性问题本身的复杂性及当时工程实践中的非线性问题并示引起重视，非线性模态分析的发展受到限制。近年来在工程中的非线性问题日益突出，因此非线性模态分析亦日益受到人们的重视。最近已逐步形成了所谓非线性模态动力学。关于非线性模态的正交性、解耦性、稳定性、模态的分叉、渗透等问题是当前研究的重点。在非线性建模理论与参数辨识方面的研究工作亦是当今研究的热点。非线性系统物理参数的识别、载荷识别方面的研究亦已开始。展望未来，模态分析与试验技术仍将以新的速度，新的内容向前发展。 我还是没太搞清楚？模态是虚构的吗？如果不是那具体对应的应该是什么？驻波？ 简单的来说模态分析实际上就是一种坐标变换，将物理坐标变换到模态坐标中，然后掉影响较小的模态（一般为高阶模态），只留下主要的模态（工程上一般取8-10阶）以简化分析。 Modal analysis experimentally measures actual displacement amplitudes over entire work surfaces and identifies low-displacement (sweet spots) for the highest performance of critical equipment. Additionally, modal analysis is also a simulation of individual equipment setups and tested in different placement options so that the best performance can be noted. Modal analysis itself, takes the concept of relative motion one step further by providing a three-dimensional graphic representation of the table-top displacements for the entire work surface areas. 多情清秋的几个帖子看起来很眼熟，发贴如果转自什么地方应该说明一下，不仅是对愿贴作者的交待，也好给大家介绍有更多的去处... ... 可以换个比较好理解的角度来解释：
考虑模态的正交性的一个原因就是想对系统解耦，做模态坐标变换可以简单理解为转换坐标，也就是将在普通物理坐标系下建立的动力学模型转换到一个广义坐标系下，当然这个广义坐标系可能没有实际的物理意义（也就是说，模态坐标可能没有实际的物理意义），利用模态的正交性，在这样一个广义坐标系下，该动力学模型的几个自由度之间没有耦合的关系，从而可以较方便地求解出动力学方程。 其实我看狭义的讲模态分析就是为了解耦，不知对不对？
[ 本帖最后由 supervb 于 2006-11-29 12:15 编辑 ]
Re：模态正交
模态简单地理解就是相对于某一固有频率的物理坐标的位移比例，模态正交的物理意义是不同频率成分的能量之间是不会发生干涉或传递的。一个模态在另一个模态上的投影为零，就像X轴的向量在Y轴上投影为零一样。 大家的讨论让我受益匪浅，我想接着问一个幼稚的问题，如果说正交的物理意义是解鞲的话，可不可以以一种类似于解析几何中向量加法的办法，把解鞲后的振型投影在各个正交的坐标轴上，也就是说多自由振动要有不同的正交的坐标轴上的单自由振动合成。再明白的说，即每个坐标轴（即主坐标轴）上是一个单自由度振动，而多自由度振动是他们的向量和。如果能用类似的方法理解就会方便很多，还请大牛帮助讲解一下！ 假设模态通常是通过求解非线性方程对应的线性方程的解得到的通常可以验证解的正交性
例如悬臂梁假设模态是用双曲函数表示的，可以验证其正交性