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风花雪月 发表于 2005-8-1 14:46

[推荐]常用算法集

为了方便大家学习讨论，故开贴收集各种常用算法的程序或者基本思想，希望大家支持，把各自所有的常用算法都贴出来大家共享


为了方便大家查找，我加个目录列表吧

第2楼 共轭梯度算法
第3楼 armijo_goldstein线搜索方法
第4楼 0.618方法进行一维线搜索
第5楼 DFP算法
第6楼 BFGS算法
第7楼 partan方法
第8楼 PSB校正的拟牛顿方法
第9楼 wolf_powell线搜索方法
第10楼 牛顿法
第11楼 稳定的牛顿法
第12楼 最速下降法！
第13楼 SR1校正的拟牛顿法
第14楼 产生素数的算法
第15楼 对称矩阵的cholesky分解解方程
第16楼 归并排序
第17楼 快速排序
第18楼 选择排序
第19楼 距离最近的点对
第20楼 分而治之算法
第20楼 贪婪算法
第21楼 贪婪算法思想
第22楼 货箱装船
第23楼 背包问题
第24楼 拓扑排序
第25楼 快速排序
第26楼 二分覆盖
第27楼 单源最短路径
第28楼 最小耗费生成树
第30楼 一颗很值得玩味的二叉树
第31楼 残缺棋盘
第36楼 矩阵求逆（C语言程序）
第37楼 矩阵迭代法求矩阵的特征值和特征向量（C语言程序）
第42楼 快速Fourier变换的C与FORTRAN程序
第44楼 分而治之算法基本思想
第46楼 动态规划算法基本思想
第47楼 分枝定界算法基本思想
第48楼 回溯算法基本思想

风花雪月 发表于 2005-8-1 14:48

共轭梯度算法

!!!本程序适用于求解形如f(x)=1/2*x'Ax+bx+c二次函数的稳定点；
!!!输入函数信息，输出函数的稳定点及迭代次数；
!!!iter整型变量，存放迭代次数；x0实型变量，开始存放进退法初始点；
!!!x,x1为n维变量，分别存放函数在第k、k+1次迭代点
!!!gradtf,gradts为n维实型变量，分别存放函数在第k、k+1次迭代点的梯度;
!!!dirf,dirs为n维实型变量，分别存放第k、k+1次搜索方向；
program main
real,dimension(:),allocatable::x,x1,gradtf,gradts,dirf,dirs,b
real,dimension(:,:),allocatable::hessin
real::x0,c,estol
integer::n,k,iter
print*,'请输入变量的维数'
read*,n
allocate (x(n),x1(n),gradtf(n),gradts(n),dirf(n),dirs(n),b(n))
allocate(hessin(n,n))
print*,'请输入初始点x'
read*,x
print*,'请输入hessin矩阵'
read*,hessin
print*,'请输入向量b'
read*,b
estol=0.000001
iter=0
100 k=0
gradtf=matmul(hessin,x)+b
if(dot_product(gradtf,gradtf)<=estol)then
!print*,'函数的稳定点为：',x
!print*,'迭代次数为：',iter
goto 101
endif
dirf=(-1)*gradtf
10 x0=golden(x,dirf,hessin,b)
x1=x+x0*dirf
k=k+1
iter=iter+1
if(iter>10*n)then
print*,"out"
goto 101
endif
print*,"第",iter,"次运行结果为","方向为",dirf,"步长为",x0
print*,x1,"f(x)=",f(x1,hessin,b)
gradts=matmul(hessin,x1)+b
if(dot_product(gradts,gradts)<=estol)then
!print*,'函数的稳定点为：',x1
!print*,'迭代次数为：',iter
goto 101
endif
if(k==n)then
x=x1
goto 100
else
c=dot_product(gradts,gradts)/dot_product(gradtf,gradtf)
dirs=(-1)*gradts+c*dirf
dirf=dirs
if(dot_product(dirf,gradts)>0)then
x=x1
goto 100
else
goto 10
endif
endif

contains
!!!子程序，返回函数值
function f(x,A,b) result(f_result)
real,dimension(:),intent(in)::x,b
real,dimension(:,:),intent(in)::A
real::f_result
f_result=0.5*dot_product(matmul(x,A),x)+dot_product(b,x)
end function f
!!!精确线搜索0.618法子程序，返回迭代步长
function golden(x,d,A,b) result(golden_n)
real::golden_n
real::x0
real,dimension(:),intent(in)::x,d
real,dimension(:),intent(in)::b
real,dimension(:,:),intent(in)::A
real::x1,x2,a1,b1,f0,f1,f2,r,tol,dx
parameter(r=0.618)
tol=0.0001
dx=0.1
x0=1
x1=x0+dx
f0=f(x+x0*d,A,b)
f1=f(x+x1*d,A,b)
if(f0<f1)then
4 dx=dx+dx
x2=x0-dx
f2=f(x+x2*d,A,b)
if(f2<f0)then
x1=x0
x0=x2
f1=f0
f0=f2
goto 4
else
a1=x2
b1=x1
endif
else
2 dx=dx+dx
x2=x1+dx
f2=f(x+x2*d,A,b)
if(f2>=f1)then
b1=x2
a1=x0
else
x0=x1
x1=x2
f0=f1
f1=f2
goto 2
endif
endif
x1=a1+(1-r)*(b1-a1)
x2=a1+r*(b1-a1)
f1=f(x+x1*d,A,b)
f2=f(x+x2*d,A,b)
3 if(abs(b1-a1)<=tol)then
x0=(a1+b1)/2
else
if(f1>f2)then
a1=x1
x1=x2
f1=f2
x2=a1+r*(b1-a1)
f2=f(x+x2*d,A,b)
goto 3
else
b1=x2
x2=x1
f2=f1
x1=a1+(1-r)*(b1-a1)
f1=f(x+x1*d,A,b)
goto 3
endif
endif
golden_n=x0
end function golden
101 end program main

本程序由Fortran90编写，在Vistual Fortran 5上调试通过！希望大家批评指正！

[ 本帖最后由 风花雪月 于 2006-8-20 12:48 编辑 ]

风花雪月 发表于 2005-8-1 14:50

armijo_goldstein线搜索方法

function armijo_goldstein(A,b,dir,gradt,x) result(ag_result)
real,dimension(:),intent(in)::b,dir,gradt,x
real,dimension(:,:),intent(in)::A
real::a1,a2,f1,f2,a0,t,r,ag_result ,p
t=2.0
a0=1
p=0.1
a1=0
a2=100000
r=dot_product(dir,gradt)
f1=f(x,A,b)
10 f2=f(x+a0*dir,A,b)
if(f2>f1+p*r*a0)then
a2=a0
a0=(a1+a2)/2
goto 10
else
if(f2>=f1+(1-p)*r*a0)then
ag_result=a0
else
a1=a0
a0=t*a0
goto 10
endif
endif
end function

本算法由Fortran 90编写，在Visual Fortran 5上调试通过。本程序由沙沙提供！

[ 本帖最后由 风花雪月 于 2006-8-20 12:50 编辑 ]

风花雪月 发表于 2005-8-1 14:50

0.618方法进行一维线搜索

f(x)=x*x+4*x
real x0,x1,x2,a,b,f0,f1,f2,r,tol,dx
parameter(r=0.618)
tol=0.0001
read*,x0
dx=0.1
x1=x0+dx
f0=f(x0)
f1=f(x1)
if(f0<f1)then !!!利用进退法搜索极值所在区间
4 dx=dx+dx
x2=x0-dx
f2=f(x2)
if(f2<f0)then
x1=x0
x0=x2
f1=f0
f0=f2
goto 4
else
a=x2
b=x1
endif
else
2 dx=dx+dx
x2=x1+dx
f2=f(x2)
if(f2>=f1)then
b=x2
a=x0
else
x0=x1
x1=x2
f0=f1
f1=f2
goto 2
endif
endif !!!求出了极值所在区间，往下用黄金分割法搜索
x1=a+(1-r)*(b-a)
x2=a+r*(b-a)
f1=f(x1)
f2=f(x2)
3 if(abs(b-a)<=tol)then
x0=(a+b)/2
else
if(f1>f2)then
a=x1
x1=x2
f1=f2
x2=a+r*(b-a)
f2=f(x2)
goto 3
else
b=x2
x2=x1
f2=f1
x1=a+(1-r)*(b-a)
f1=f(x1)
goto 3
endif
endif
print*,x0
end

本算法用Fortran 90编写，在Visual Fortran 5上调试通过！

[ 本帖最后由 风花雪月 于 2006-8-20 12:51 编辑 ]

风花雪月 发表于 2005-8-1 14:51

DFP算法

!!!本程序适用于求解形如f(x)=1/2*x'Ax+bx+c二次函数的稳定点；
!!!输入函数信息，输出函数的稳定点及迭代次数；
!!!iter整型变量，存放迭代次数；
!!!x为n维变量，初始值由用户输入；gradt实型变量，存放函数梯度;
!!!dir实型变量，存放搜索方向；
program main
real,dimension(:),allocatable::x,gradt,dir,b ,s,y,p ,gradt1,x1
real,dimension(:,:),allocatable::hessin ,H ,G ,U
real::x0,tol
integer::n ,iter,i,j
print*,'请输入变量的维数'
read*,n
allocate(x(n),gradt(n),dir(n),b(n),s(n),y(n),p(n),gradt1(n),x1(n))
allocate(hessin(n,n),H(n,n),G(n,n),U(n,n))
print*,'请输入初始向量x'
read*,x
print*,'请输入hessin矩阵'
read*,hessin
print*,'请输入矩阵b'
read*,b
iter=0
tol=0.000001</P>
<P> do i=1,n
do j=1,n
if (i==j)then
H(i,j)=1
else
H(i,j)=0
endif
enddo
enddo
100 gradt=matmul(hessin,x)+b
if(sqrt(dot_product(gradt,gradt))&lt;tol)then
!print*,'极小值点为：',x
!print*,'迭代次数:',iter
goto 101
endif
dir=matmul(H,gradt)
x0=golden(x,dir,hessin,b)
x1=x+x0*dir
gradt1=matmul(hessin,x1)+b
s=x1-x
y=gradt1-gradt
call vectorm(s,G)
U=G
call vectorm(matmul(H,y),G)
H=H+1/dot_product(s,y)*U-1/dot_product(matmul(H,y),y)*G
x=x1
iter=iter+1
if(iter&gt;=10*n)then
print*,"out"
goto 101
endif
print*,"第",iter,"次运行结果为", "方向为",dir,"步长",x0
print*,x,"f(x)=",f(x,hessin,b)
goto 100
contains</P>
<P> !!!子程序，返回函数值
function f(x,A,b) result(f_result)
real,dimension(:),intent(in)::x,b
real,dimension(:,:),intent(in)::A
real::f_result
f_result=0.5*dot_product(matmul(x,A),x)+dot_product(b,x)
end function f
!!!子程序，矩阵与向量相乘
subroutine vectorm(p,G)
real,dimension(:),intent(in)::p
real,dimension(:,:),intent(out)::G
n=size(p)
do i=1,n
do j=1,n
G(i,j)=p(i)*p(j)
enddo
enddo
end subroutine

!!!精确线搜索0.618法子程序 ，返回步长；
function golden(x,d,A,b) result(golden_n)
real::golden_n
real::x0
real,dimension(:),intent(in)::x,d
real,dimension(:),intent(in)::b
real,dimension(:,:),intent(in)::A
real::x1,x2,a1,b1,f0,f1,f2,r,tol,dx
parameter(r=0.618)
tol=0.0001
dx=0.1
x0=1
x1=x0+dx
f0=f(x+x0*d,A,b)
f1=f(x+x1*d,A,b)
if(f0&lt;f1)then
4 dx=dx+dx
x2=x0-dx
f2=f(x+x2*d,A,b)
if(f2&lt;f0)then
x1=x0
x0=x2
f1=f0
f0=f2
goto 4
else
a1=x2
b1=x1
endif
else
2 dx=dx+dx
x2=x1+dx
f2=f(x+x2*d,A,b)
if(f2&gt;=f1)then
b1=x2
a1=x0
else
x0=x1
x1=x2
f0=f1
f1=f2
goto 2
endif
endif
x1=a1+(1-r)*(b1-a1)
x2=a1+r*(b1-a1)
f1=f(x+x1*d,A,b)
f2=f(x+x2*d,A,b)
3 if(abs(b1-a1)&lt;=tol)then
x0=(a1+b1)/2
else
if(f1&gt;f2)then
a1=x1
x1=x2
f1=f2
x2=a1+r*(b1-a1)
f2=f(x+x2*d,A,b)
goto 3
else
b1=x2
x2=x1
f2=f1
x1=a1+(1-r)*(b1-a1)
f1=f(x+x1*d,A,b)
goto 3
endif
endif
golden_n=x0
end function golden
101 end</P>
<P>!!!本程序适用于求解形如f(x)=1/2*x'Ax+bx+c二次函数的稳定点；
!!!输入函数信息，输出函数的稳定点及迭代次数；
!!!iter整型变量，存放迭代次数；
!!!x为n维变量，初始值由用户输入；gradt实型变量，存放函数梯度;
!!!dir实型变量，存放搜索方向；
program main
real,dimension(:),allocatable::x,gradt,dir,b ,s,y,p ,gradt1,x1
real,dimension(:,:),allocatable::hessin ,H ,G ,U
real::x0,tol
integer::n ,iter,i,j
print*,'请输入变量的维数'
read*,n
allocate(x(n),gradt(n),dir(n),b(n),s(n),y(n),p(n),gradt1(n),x1(n))
allocate(hessin(n,n),H(n,n),G(n,n),U(n,n))
print*,'请输入初始向量x'
read*,x
print*,'请输入hessin矩阵'
read*,hessin
print*,'请输入矩阵b'
read*,b
iter=0
tol=0.000001</P>
<P> do i=1,n
do j=1,n
if (i==j)then
H(i,j)=1
else
H(i,j)=0
endif
enddo
enddo
100 gradt=matmul(hessin,x)+b
if(sqrt(dot_product(gradt,gradt))&lt;tol)then
!print*,'极小值点为：',x
!print*,'迭代次数:',iter
goto 101
endif
dir=matmul(H,gradt)
x0=golden(x,dir,hessin,b)
x1=x+x0*dir
gradt1=matmul(hessin,x1)+b
s=x1-x
y=gradt1-gradt
call vectorm(s,G)
U=G
call vectorm(matmul(H,y),G)
H=H+1/dot_product(s,y)*U-1/dot_product(matmul(H,y),y)*G
x=x1
iter=iter+1
if(iter&gt;=10*n)then
print*,"out"
goto 101
endif
print*,"第",iter,"次运行结果为", "方向为",dir,"步长",x0
print*,x,"f(x)=",f(x,hessin,b)
goto 100
contains</P>
<P> !!!子程序，返回函数值
function f(x,A,b) result(f_result)
real,dimension(:),intent(in)::x,b
real,dimension(:,:),intent(in)::A
real::f_result
f_result=0.5*dot_product(matmul(x,A),x)+dot_product(b,x)
end function f
!!!子程序，矩阵与向量相乘
subroutine vectorm(p,G)
real,dimension(:),intent(in)::p
real,dimension(:,:),intent(out)::G
n=size(p)
do i=1,n
do j=1,n
G(i,j)=p(i)*p(j)
enddo
enddo
end subroutine

!!!精确线搜索0.618法子程序 ，返回步长；
function golden(x,d,A,b) result(golden_n)
real::golden_n
real::x0
real,dimension(:),intent(in)::x,d
real,dimension(:),intent(in)::b
real,dimension(:,:),intent(in)::A
real::x1,x2,a1,b1,f0,f1,f2,r,tol,dx
parameter(r=0.618)
tol=0.0001
dx=0.1
x0=1
x1=x0+dx
f0=f(x+x0*d,A,b)
f1=f(x+x1*d,A,b)
if(f0&lt;f1)then
4 dx=dx+dx
x2=x0-dx
f2=f(x+x2*d,A,b)
if(f2&lt;f0)then
x1=x0
x0=x2
f1=f0
f0=f2
goto 4
else
a1=x2
b1=x1
endif
else
2 dx=dx+dx
x2=x1+dx
f2=f(x+x2*d,A,b)
if(f2&gt;=f1)then
b1=x2
a1=x0
else
x0=x1
x1=x2
f0=f1
f1=f2
goto 2
endif
endif
x1=a1+(1-r)*(b1-a1)
x2=a1+r*(b1-a1)
f1=f(x+x1*d,A,b)
f2=f(x+x2*d,A,b)
3 if(abs(b1-a1)&lt;=tol)then
x0=(a1+b1)/2
else
if(f1&gt;f2)then
a1=x1
x1=x2
f1=f2
x2=a1+r*(b1-a1)
f2=f(x+x2*d,A,b)
goto 3
else
b1=x2
x2=x1
f2=f1
x1=a1+(1-r)*(b1-a1)
f1=f(x+x1*d,A,b)
goto 3
endif
endif
golden_n=x0
end function golden
101 end


本程序由Fortran 90编写，在Visual Fortran 5上编译通过，本程序由沙沙提供！

[ 本帖最后由 风花雪月 于 2006-10-10 00:53 编辑 ]

风花雪月 发表于 2005-8-1 14:53

BFGS算法

!!!本程序适用于求解形如f(x)=1/2*x'Ax+bx+c二次函数的稳定点；
!!!输入函数信息，输出函数的稳定点及迭代次数；
!!!iter整型变量，存放迭代次数；
!!!x为n维变量，初始值由用户输入；gradt实型变量，存放函数梯度;
!!!dir实型变量，存放搜索方向；
program main
real,dimension(:),allocatable::x,gradt,dir,b ,s,y,gradt1,x1
real,dimension(:,:),allocatable::hessin ,B1 ,G,G1
real::x0,tol
integer::n ,iter,i,j
print*,'请输入变量的维数'
read*,n
allocate(x(n),gradt(n),dir(n),b(n),s(n),y(n),gradt1(n),x1(n))
allocate(hessin(n,n),B1(n,n),G(n,n),G1(n,n))
print*,'请输入初始向量x'
read*,x
print*,'请输入hessin矩阵'
read*,hessin
print*,'请输入矩阵b'
read*,b
iter=0
tol=0.00001</P>
<P> do i=1,n
do j=1,n
if (i==j)then
B1(i,j)=1
else
B1(i,j)=0
endif
enddo
enddo
gradt=matmul(hessin,x)+b
100 if(sqrt(dot_product(gradt,gradt))&lt;tol)then
!print*,'极小值点为：',x
!print*,'迭代次数:',iter
goto 101
endif
call gaussj(B1,n,(-1)*gradt)
dir=gradt
x0=golden(x,dir,hessin,b)
x1=x+x0*dir
gradt1=matmul(hessin,x1)+b
s=x1-x
y=gradt1-gradt
call vectorm(gradt,G)
G1=G
call vectorm(y,G)
B1=B1+1/dot_product(gradt,dir)*G1+1/(x0*dot_product(y,dir))*G
x=x1
gradt=gradt1
iter=iter+1
if(iter&gt;10*n)then
print*,"out"
goto 101
endif
print*,"第",iter,"次运行结果为",x
print*,"方向为",dir
goto 100
contains</P>
<P> !!!子程序，返回函数值
function f(x,A,b) result(f_result)
real,dimension(:),intent(in)::x,b
real,dimension(:,:),intent(in)::A
real::f_result
f_result=0.5*dot_product(matmul(x,A),x)+dot_product(b,x)
end function f
!!!子程序，矩阵与向量相乘
subroutine vectorm(p,G)
real,dimension(:),intent(in)::p
real,dimension(:,:),intent(out)::G
n=size(p)
do i=1,n
!do j=1,n
G(i,:)=p(i)*p
!enddo
enddo
end subroutine

!!!精确线搜索0.618法子程序 ，返回步长；
function golden(x,d,A,b) result(golden_n)
real::golden_n
real::x0
real,dimension(:),intent(in)::x,d
real,dimension(:),intent(in)::b
real,dimension(:,:),intent(in)::A
real::x1,x2,a1,b1,f0,f1,f2,r,tol,dx
parameter(r=0.618)
tol=0.0001
dx=0.1
x0=1
x1=x0+dx
f0=f(x+x0*d,A,b)
f1=f(x+x1*d,A,b)
if(f0&lt;f1)then
4 dx=dx+dx
x2=x0-dx
f2=f(x+x2*d,A,b)
if(f2&lt;f0)then
x1=x0
x0=x2
f1=f0
f0=f2
goto 4
else
a1=x2
b1=x1
endif
else
2 dx=dx+dx
x2=x1+dx
f2=f(x+x2*d,A,b)
if(f2&gt;=f1)then
b1=x2
a1=x0
else
x0=x1
x1=x2
f0=f1
f1=f2
goto 2
endif
endif
x1=a1+(1-r)*(b1-a1)
x2=a1+r*(b1-a1)
f1=f(x+x1*d,A,b)
f2=f(x+x2*d,A,b)
3 if(abs(b1-a1)&lt;=tol)then
x0=(a1+b1)/2
else
if(f1&gt;f2)then
a1=x1
x1=x2
f1=f2
x2=a1+r*(b1-a1)
f2=f(x+x2*d,A,b)
goto 3
else
b1=x2
x2=x1
f2=f1
x1=a1+(1-r)*(b1-a1)
f1=f(x+x1*d,A,b)
goto 3
endif
endif
golden_n=x0
end function golden</P>
<P>
!!!A为二维数，返回值为的A逆;b为一维数组，返回值为方程Ax=b的解
subroutine gaussj(a,n,b)
integer n,nmax
real a(n,n),b(n)
parameter(nmax=50)
integer i,icol,irow,j,k,l,ll,indxc(nmax),indxr(nmax),ipiv(nmax)
real big,dum,pivinv
do j=1,n
ipiv(j)=0
enddo
do i=1,n
big=0.
do j=1,n
if(ipiv(j)/=1)then
do k=1,n
if(ipiv(k)==0)then
if(abs(a(j,k))&gt;=big)then
big=abs(a(j,k))
irow=j
icol=k
endif
else if(ipiv(k)&gt;1)then
pause'singular matrix in gaussj'
endif
enddo
endif
enddo
ipiv(icol)=ipiv(icol)+1
if(irow/=icol)then
do l=1,n
dum=a(irow,l)
a(irow,l)=a(icol,l)
a(icol,l)=dum
enddo
dum=b(irow)
b(irow)=b(icol)
b(icol)=dum
endif
indxr(i)=irow
indxc(i)=icol
if(a(icol,icol)==0.)pause'singular matrix in gaussj'
pivinv=1./a(icol,icol)
a(icol,icol)=1.
do l=1,n
a(icol,l)=a(icol,l)*pivinv
enddo
b(icol)=b(icol)*pivinv
do ll=1,n
if(ll/=icol)then
dum=a(ll,icol)
a(ll,icol)=0
do l=1,n
a(ll,l)=a(ll,l)-a(icol,l)*dum
enddo
b(ll)=b(ll)-b(icol)*dum
endif
enddo
enddo
do l=n,1,-1
if(indxr(l)/=indxc(l))then
do k=1,n
dum=a(k,indxr(l))
a(k,indxr(l))=a(k,indxc(l))
a(k,indxc(l))=dum
enddo
endif
enddo
end subroutine gaussj
101 end

本程序用Fortran 90编写，在Virual Fortran 5上编译通过，本程序由沙沙提供！

[ 本帖最后由 风花雪月 于 2006-10-10 00:54 编辑 ]

风花雪月 发表于 2005-8-1 14:54

partan方法

!!!本程序适用于求解形如f(x)=1/2*x'Ax+bx+c二次函数的稳定点；
!!!输入函数信息，输出函数的稳定点及迭代次数；
!!!iter整型变量，存放迭代次数；
!!!gradt实型变量，存放函数梯度;
!!!dir实型变量，存放搜索方向；a0,b0实型变量，存放步长；
!!!x0,x1,x2为n维实型变量，分别存放第k-1,k,k+1步的迭代点
program main
real,dimension(:),allocatable::x0,x1,x2,y,gradt,dir,b
real,dimension(:,:),allocatable::hessin
real::a0,tol,b0
integer::n,iter
print*,'请输入变量的维数'
read*,n
allocate (x0(n),x1(n),x2(n),gradt(n),dir(n),b(n),y(n))
allocate(hessin(n,n))
print*,'请输入初始点x0'
read*,x0
print*,'请输入hessin矩阵'
read*,hessin
print*,'请输入向量b'
read*,b
tol=0.000001
iter=0
gradt=matmul(hessin,x0)+b
dir=(-1)*gradt
a0=golden(x0,dir,hessin,b)
x1=x0+a0*dir
10 gradt=matmul(hessin,x1)+b
dir=(-1)*gradt
b0=golden(x1,dir,hessin,b)
y=x1+b0*dir
dir=y+(-1)*x0
a0=golden(y,dir,hessin,b) !产生新步长
x2=y+a0*dir !产生新的迭代点
print*,"第",iter,"次运行结果为", "direction",dir,"step length",a0
print*,x2,"f(x)=",f(x2,hessin,b)
if(dot_product(dir,dir)&lt;=tol)then
!print*,'输出函数稳定点',x2
!print*,'输出迭代次数',iter
goto 101
else
iter=iter+1
if (iter&gt;n*10)then
print*,"out"
goto 101
endif
x0=x1
x1=x2
goto 10
endif
contains</P>
<P> !!!子程序，返回函数f(x)在x点的函数值;
function f(x,A,b) result(f_result)
real,dimension(:),intent(in)::x,b
real,dimension(:,:),intent(in)::A
real::f_result
f_result=0.5*dot_product(matmul(A,x),x)+dot_product(b,x)
end function f</P>
<P> !!!精确线搜索0.618法子程序 ，返回步长；
function golden(x,d,A,b) result(golden_n)
real::golden_n
real::x0
real,dimension(:),intent(in)::x,d,b
real,dimension(:,:),intent(in)::A
real::x1,x2,a1,b1,f0,f1,f2,r,tol,dx
parameter(r=0.618)
tol=0.0001
dx=0.1
x0=1
x1=x0+dx
f0=f(x+x0*d,A,b)
f1=f(x+x1*d,A,b)
if(f0&lt;f1)then
4 dx=dx+dx
x2=x0-dx
f2=f(x+x2*d,A,b)
if(f2&lt;f0)then
x1=x0
x0=x2
f1=f0
f0=f2
goto 4
else
a1=x2
b1=x1
endif
else
2 dx=dx+dx
x2=x1+dx
f2=f(x+x2*d,A,b)
if(f2&gt;=f1)then
b1=x2
a1=x0
else
x0=x1
x1=x2
f0=f1
f1=f2
goto 2
endif
endif
x1=a1+(1-r)*(b1-a1)
x2=a1+r*(b1-a1)
f1=f(x+x1*d,A,b)
f2=f(x+x2*d,A,b)
3 if(abs(b1-a1)&lt;=tol)then
x0=(a1+b1)/2
else
if(f1&gt;f2)then
a1=x1
x1=x2
f1=f2
x2=a1+r*(b1-a1)
f2=f(x+x2*d,A,b)
goto 3
else
b1=x2
x2=x1
f2=f1
x1=a1+(1-r)*(b1-a1)
f1=f(x+x1*d,A,b)
goto 3
endif
endif
golden_n=x0
end function golden
101 end

本算法由Fortran 90编写，在Vistual Fortran 5上编译通过，本算法由沙沙提供！

[ 本帖最后由 风花雪月 于 2006-10-10 00:55 编辑 ]

风花雪月 发表于 2005-8-1 14:54

PSB校正的拟牛顿方法

!!!本程序适用于求解形如f(x)=1/2*x'Ax+bx+c二次函数的稳定点；
!!!输入函数信息，输出函数的稳定点及迭代次数；
!!!iter整型变量，存放迭代次数；
!!!x为n维变量，初始值由用户输入；gradt实型变量，存放函数梯度;
!!!dir实型变量，存放搜索方向；
program main
real,dimension(:),allocatable::x,gradt,dir,b ,s,y,gradt1,x1 ,p
real,dimension(:,:),allocatable::hessin ,B1 ,G,G1
real::x0,tol
integer::n ,iter,i,j
print*,'请输入变量的维数'
read*,n
allocate(x(n),gradt(n),dir(n),b(n),s(n),y(n),gradt1(n),x1(n),p(n))
allocate(hessin(n,n),B1(n,n),G(n,n),G1(n,n))
print*,'请输入初始向量x'
read*,x
print*,'请输入hessin矩阵'
read*,hessin
print*,'请输入矩阵b'
read*,b
iter=0
tol=0.0012</P>
<P> do i=1,n
do j=1,n
if (i==j)then
B1(i,j)=1
else
B1(i,j)=0
endif
enddo
enddo
gradt=matmul(hessin,x)+b
100 if(sqrt(dot_product(gradt,gradt))&lt;tol)then
!print*,'极小值点为：',x
!print*,'迭代次数:',iter
goto 101
endif
call gaussj(B1,n,(-1)*gradt)
dir=gradt
x0=golden(x,dir,hessin,b)
x1=x+x0*dir
gradt1=matmul(hessin,x1)+b
s=x1-x
y=gradt1-gradt
p=y-matmul(B1,s)
call vectorm(p,s,G)
G1=G
call vectorm(s,p,G)
B1=B1+1/dot_product(s,s)*(G1+G)
x=x1
gradt=gradt1
iter=iter+1
if(iter&gt;10*n)then
print*,"out"
goto 101
endif</P>
<P> print*,"第",iter,"次运行结果为",x
print*,"direction",dir
goto 100
contains</P>
<P> !!!子程序，返回函数值
function f(x,A,b) result(f_result)
real,dimension(:),intent(in)::x,b
real,dimension(:,:),intent(in)::A
real::f_result
f_result=0.5*dot_product(matmul(x,A),x)+dot_product(b,x)
end function f
!!!子程序，矩阵与向量相乘
subroutine vectorm(p,q,G)
real,dimension(:),intent(in)::p,q
real,dimension(:,:),intent(out)::G
n=size(p)
do i=1,n
do j=1,n
G(i,j)=p(i)*q(j)
enddo
enddo
end subroutine

!!!精确线搜索0.618法子程序 ，返回步长；
function golden(x,d,A,b) result(golden_n)
real::golden_n
real::x0
real,dimension(:),intent(in)::x,d
real,dimension(:),intent(in)::b
real,dimension(:,:),intent(in)::A
real::x1,x2,a1,b1,f0,f1,f2,r,tol,dx
parameter(r=0.618)
tol=0.0001
dx=0.1
x0=1
x1=x0+dx
f0=f(x+x0*d,A,b)
f1=f(x+x1*d,A,b)
if(f0&lt;f1)then
4 dx=dx+dx
x2=x0-dx
f2=f(x+x2*d,A,b)
if(f2&lt;f0)then
x1=x0
x0=x2
f1=f0
f0=f2
goto 4
else
a1=x2
b1=x1
endif
else
2 dx=dx+dx
x2=x1+dx
f2=f(x+x2*d,A,b)
if(f2&gt;=f1)then
b1=x2
a1=x0
else
x0=x1
x1=x2
f0=f1
f1=f2
goto 2
endif
endif
x1=a1+(1-r)*(b1-a1)
x2=a1+r*(b1-a1)
f1=f(x+x1*d,A,b)
f2=f(x+x2*d,A,b)
3 if(abs(b1-a1)&lt;=tol)then
x0=(a1+b1)/2
else
if(f1&gt;f2)then
a1=x1
x1=x2
f1=f2
x2=a1+r*(b1-a1)
f2=f(x+x2*d,A,b)
goto 3
else
b1=x2
x2=x1
f2=f1
x1=a1+(1-r)*(b1-a1)
f1=f(x+x1*d,A,b)
goto 3
endif
endif
golden_n=x0
end function golden</P>
<P>
!!!A为二维数组，返回值为的A逆;b为一维数组，返回值为方程Ax=b的解
subroutine gaussj(a,n,b)
integer n,nmax
real a(n,n),b(n)
parameter(nmax=50)
integer i,icol,irow,j,k,l,ll,indxc(nmax),indxr(nmax),ipiv(nmax)
real big,dum,pivinv
do j=1,n
ipiv(j)=0
enddo
do i=1,n
big=0.
do j=1,n
if(ipiv(j)/=1)then
do k=1,n
if(ipiv(k)==0)then
if(abs(a(j,k))&gt;=big)then
big=abs(a(j,k))
irow=j
icol=k
endif
else if(ipiv(k)&gt;1)then
pause'singular matrix in gaussj'
endif
enddo
endif
enddo
ipiv(icol)=ipiv(icol)+1
if(irow/=icol)then
do l=1,n
dum=a(irow,l)
a(irow,l)=a(icol,l)
a(icol,l)=dum
enddo
dum=b(irow)
b(irow)=b(icol)
b(icol)=dum
endif
indxr(i)=irow
indxc(i)=icol
if(a(icol,icol)==0.)pause'singular matrix in gaussj'
pivinv=1./a(icol,icol)
a(icol,icol)=1.
do l=1,n
a(icol,l)=a(icol,l)*pivinv
enddo
b(icol)=b(icol)*pivinv
do ll=1,n
if(ll/=icol)then
dum=a(ll,icol)
a(ll,icol)=0
do l=1,n
a(ll,l)=a(ll,l)-a(icol,l)*dum
enddo
b(ll)=b(ll)-b(icol)*dum
endif
enddo
enddo
do l=n,1,-1
if(indxr(l)/=indxc(l))then
do k=1,n
dum=a(k,indxr(l))
a(k,indxr(l))=a(k,indxc(l))
a(k,indxc(l))=dum
enddo
endif
enddo
end subroutine gaussj
101 end

本算法由Fortran 90语言编写，在Visual Fortran 5上编译通过，本算法由沙沙提供！</P>

[ 本帖最后由 风花雪月 于 2006-10-10 00:56 编辑 ]

风花雪月 发表于 2005-8-1 14:55

wolf_powell线搜索方法

function wolf_powell(A,b,dir,gradt,x) result(wp_result)
real,dimension(:),intent(in)::b,dir,gradt,x
real,dimension(:,:),intent(in)::A
real::a1,a2,f1,f2,a0,p,q,t,r,wp_result,gradt1(size(gradt)) ,r1
t=2.0
a0=1
p=0.1
q=0.9
a1=0
a2=100000
r=dot_product(dir,gradt)
f1=f(x,A,b)
10 f2=f(x+a0*dir,A,b)
if(f2&gt;f1+p*r*a0)then
a2=a0
a0=a1+0.5*(a0-a1)/(1+(f1-f2)/(a0-a1)*r)
goto 10
else
gradt1=matmul(A,x+a0*dir)+b
r1=dot_product(gradt1,dir)
if(r1&gt;=q*r)then
wp_result=a0
else
a1=a0
f1=f2
r=r1
a0=a0+(a0-a1)*r1/(r-r1)
goto 10
endif
endif
end function

本程序由Fortran 90语言编写，在Visual Fortran 5上编译通过！本程序由沙沙提供！

[ 本帖最后由 风花雪月 于 2006-10-10 00:56 编辑 ]

风花雪月 发表于 2005-8-1 14:55

牛顿法

!!!本程序适用于求解形如f(x)=1/2*x'Ax+bx+c二次函数的稳定点；
!!!输入函数信息，输出函数的稳定点及迭代次数；
!!!iter整型变量，存放迭代次数；
!!!x为n维变量，初始值由用户输入；gradt实型变量，存放函数梯度;
!!!dir实型变量，存放搜索方向；x0实型变量，存放步长
program main
real,dimension(:),allocatable::x,gradt,dir,b
real,dimension(:,:),allocatable::hessin
real::x0,tol
integer::n ,iter
print*,'请输入变量的维数'
read*,n
allocate(x(n),gradt(n),dir(n),b(n))
allocate(hessin(n,n))
print*,'请输入初始向量x'
read*,x
print*,'请输入hessin矩阵'
read*,hessin
print*,'请输入矩阵b'
read*,b
tol=0.000001
iter=0
100 gradt=matmul(hessin,x)+b
if(sqrt(dot_product(gradt,gradt))&lt;tol)then
!print*,'极小值点为：',x
!print*,'迭代次数:',iter
goto 101
endif
call gaussj(hessin,n,gradt)
x0=golden(x,(-1)*gradt,hessin,b)
x=x+x0*(-1)*gradt
iter=iter+1
if(iter&gt;10*n)then
print*,"out"
goto 101
endif
print*,"第",iter,"次运行结果为","direction",(-1)*gradt,"step length",x0
print*,x,"f(x)=",f(x,hessin,b)
goto 100
contains</P>
<P> !!!子程序，返回函数值
function f(x,A,b) result(f_result)
real,dimension(:),intent(in)::x,b
real,dimension(:,:),intent(in)::A
real::f_result
f_result=0.5*dot_product(matmul(x,A),x)+dot_product(b,x)
end function f

!!!子程序gaussj(hessin,n,gradt)
!!!a为二维数组，返回值为的a逆;b为一维数组，返回值为方程ax=b的解
subroutine gaussj(a,n,b)
integer n,nmax
real a(n,n),b(n)
parameter(nmax=50)
integer i,icol,irow,j,k,l,ll,indxc(nmax),indxr(nmax),ipiv(nmax)
real big,dum,pivinv
do j=1,n
ipiv(j)=0
enddo
do i=1,n
big=0.
do j=1,n
if(ipiv(j)/=1)then
do k=1,n
if(ipiv(k)==0)then
if(abs(a(j,k))&gt;=big)then
big=abs(a(j,k))
irow=j
icol=k
endif
else if(ipiv(k)&gt;1)then
pause'singular matrix in gaussj'
endif
enddo
endif
enddo
ipiv(icol)=ipiv(icol)+1
if(irow/=icol)then
do l=1,n
dum=a(irow,l)
a(irow,l)=a(icol,l)
a(icol,l)=dum
enddo
dum=b(irow)
b(irow)=b(icol)
b(icol)=dum
endif
indxr(i)=irow
indxc(i)=icol
if(a(icol,icol)==0.)pause'singular matrix in gaussj'
pivinv=1./a(icol,icol)
a(icol,icol)=1.
do l=1,n
a(icol,l)=a(icol,l)*pivinv
enddo
b(icol)=b(icol)*pivinv
do ll=1,n
if(ll/=icol)then
dum=a(ll,icol)
a(ll,icol)=0
do l=1,n
a(ll,l)=a(ll,l)-a(icol,l)*dum
enddo
b(ll)=b(ll)-b(icol)*dum
endif
enddo
enddo
do l=n,1,-1
if(indxr(l)/=indxc(l))then
do k=1,n
dum=a(k,indxr(l))
a(k,indxr(l))=a(k,indxc(l))
a(k,indxc(l))=dum
enddo
endif
enddo
end subroutine gaussj</P>
<P> !!!精确线搜索0.618法子程序 ，返回步长；
function golden(x,d,A,b) result(golden_n)
real::golden_n
real::x0
real,dimension(:),intent(in)::x,d
real,dimension(:),intent(in)::b
real,dimension(:,:),intent(in)::A
real::x1,x2,a1,b1,f0,f1,f2,r,tol,dx
parameter(r=0.618)
tol=0.0001
dx=0.1
x0=1
x1=x0+dx
f0=f(x+x0*d,A,b)
f1=f(x+x1*d,A,b)
if(f0&lt;f1)then
4 dx=dx+dx
x2=x0-dx
f2=f(x+x2*d,A,b)
if(f2&lt;f0)then
x1=x0
x0=x2
f1=f0
f0=f2
goto 4
else
a1=x2
b1=x1
endif
else
2 dx=dx+dx
x2=x1+dx
f2=f(x+x2*d,A,b)
if(f2&gt;=f1)then
b1=x2
a1=x0
else
x0=x1
x1=x2
f0=f1
f1=f2
goto 2
endif
endif
x1=a1+(1-r)*(b1-a1)
x2=a1+r*(b1-a1)
f1=f(x+x1*d,A,b)
f2=f(x+x2*d,A,b)
3 if(abs(b1-a1)&lt;=tol)then
x0=(a1+b1)/2
else
if(f1&gt;f2)then
a1=x1
x1=x2
f1=f2
x2=a1+r*(b1-a1)
f2=f(x+x2*d,A,b)
goto 3
else
b1=x2
x2=x1
f2=f1
x1=a1+(1-r)*(b1-a1)
f1=f(x+x1*d,A,b)
goto 3
endif
endif
golden_n=x0
end function golden

101 end

本程序由Fortran 90语言编写，在Vistual Fortran 5下编译通过，本程序由沙沙提供！

[ 本帖最后由 风花雪月 于 2006-10-10 00:57 编辑 ]

风花雪月 发表于 2005-8-1 14:56

稳定的牛顿法

!!!本程序适用于求解形如f(x)=1/2*x'Ax+bx+c二次函数的稳定点；
!!!输入函数信息，输出函数的稳定点及迭代次数；
!!!iter整型变量，存放迭代次数；
!!!x,x1为n维变量，初始值由用户输入；gradt实型变量，存放函数梯度;
!!!dir实型变量，存放搜索方向；x0实型变量，存放步长。
program main
real,dimension(:),allocatable::x,gradt,dir,b,x1
real,dimension(:,:),allocatable::hessin
real::x0
integer::n ,iter
print*,'请输入变量的维数'
read*,n
allocate(x(n),gradt(n),dir(n),b(n),x1(n))
allocate(hessin(n,n))
print*,'请输入初始向量x'
read*,x
print*,'请输入hessin矩阵'
read*,hessin
print*,'请输入矩阵b'
read*,b
iter=0
tol=0.000001
2 gradt=matmul(hessin,x)+b
dir=(-1)*gradt
call cholesky(hessin,dir,n)
x0=golden(x,dir,hessin,b)
x1=x+x0*dir
iter=iter+1
if(iter&gt;10*n)then
print*,"out"
goto 101
endif
print*,"第",iter,"次运行结果为","direction",dir ,"step length",x0
print*,x1,"f(x)=",f(x1,hessin,b)
if(dot_product(x1-x,x1-x)&lt;=tol)then
!print*,x1 ,iter
goto 101
else
x=x1
goto 2
endif
contains</P>
<P> !!!子程序，返回函数值
function f(x,A,b) result(f_result)
real,dimension(:),intent(in)::x,b
real,dimension(:,:),intent(in)::A
real::f_result
f_result=0.5*dot_product(matmul(x,A),x)+dot_product(b,x)
end function f
!!!利用矩阵的cholesky分解；求得迭代方向
subroutine cholesky(G,d,n)
real,dimension(:),intent(out)::d
real,dimension(:,:),intent(in)::G
real::mb,sm,c,tol ,beita,sita
integer::i,j,r,n
real::b(n),s(n),y(n),p(n)
real::L(n,n)
do i=1,n-1
b(i)=0
do j=i+1,n
b(i)=max(b(i),abs(G(i,j)))
enddo
enddo
mb=0
do i=1,n-1
mb=max(mb,b(i))
enddo
c=0
do i=1,n
c=max(c,abs(G(i,i)))
enddo
beita=max(sqrt(c),sqrt(mb/n))
tol=0.1
i=1
s(1)=max(tol,sqrt(abs(G(1,1))))
do j=2,n
s(j)=G(j,1)/s(1)
enddo
sita=0
do j=2,n
sita=max(sita,abs(s(j)))
enddo
if(sita&lt;=beita)then
do j=1,n
L(j,1)=s(j)
enddo
else
L(1,1)=sita*s(1)/beita
do j=2,n
L(j,1)=beita*s(j)/sita
enddo
endif
i=i+1
100 if(i==n)then
sm=0
do r=1,n-1
sm=sm+L(n,r)*L(n,r)
enddo
L(n,n)=max(tol,sqrt(abs(G(n,n)-sm)))
do j=1,n
do r=j+1,n
L(j,r)=0
enddo
enddo
goto 10

else
sm=0
do r=1,i-1
sm=sm+L(i,r)*L(i,r)
enddo
s(i)=max(tol,sqrt(abs(G(i,i)-sm)))
do j=i+1,n
sm=0
do r=1,i-1
sm=sm+L(j,r)*L(i,r)
enddo
s(j)=(G(j,i)-sm)/s(i)
enddo
sita=0
do j=i+1,n
sita=max(sita,abs(s(j)))
enddo
endif
if(sita&lt;=beita)then
do j=i,n
L(j,i)=s(j)
enddo
else
L(i,i)=sita*s(i)/beita
do j=i+1,n
L(j,i)=beita*s(j)/sita
enddo
endif
i=i+1
goto 100
!!!解方LL'P=g,令L'p=y,先求得y,然后解出p
10 y(1)=-d(1)/L(1,1)
do i=1,n
sm=0
do r=1,i-1
sm=sm+L(i,r)*y(r)
enddo
y(i)=-(d(i)+sm)/L(i,i)
enddo
p(n)=y(n)/L(n,n)
do i=1,n-1
sm=0
do r=1,i-1
sm=sm+L(n-r,n-i)*p(n-r)
enddo
p(n-i)=(y(n-i)-sm)/L(n-i,n-i)
enddo</P>
<P> d=p</P>
<P> end subroutine

!!!精确线搜索0.618法子程序,返回值为迭代步长
function golden(x,d,A,b) result(golden_n)
real::golden_n
real,dimension(:),intent(in)::x,d
real,dimension(:),intent(in)::b
real,dimension(:,:),intent(in)::A
real::x1,x2,a1,b1,f0,f1,f2,r,tol,dx,x0
parameter(r=0.618)
x0=1
tol=0.0001
dx=0.1
x1=x0+dx
f0=f(x+x0*d,A,b)
f1=f(x+x1*d,A,b)
if(f0&lt;f1)then
4 dx=dx+dx
x2=x0-dx
f2=f(x+x2*d,A,b)
if(f2&lt;f0)then
x1=x0
x0=x2
f1=f0
f0=f2
goto 4
else
a1=x2
b1=x1
endif
else
2 dx=dx+dx
x2=x1+dx
f2=f(x+x2*d,A,b)
if(f2&gt;=f1)then
b1=x2
a1=x0
else
x0=x1
x1=x2
f0=f1
f1=f2
goto 2
endif
endif
x1=a1+(1-r)*(b1-a1)
x2=a1+r*(b1-a1)
f1=f(x+x1*d,A,b)
f2=f(x+x2*d,A,b)
3 if(abs(b1-a1)&lt;=tol)then
x0=(a1+b1)/2
else
if(f1&gt;f2)then
a1=x1
x1=x2
f1=f2
x2=a1+r*(b1-a1)
f2=f(x+x2*d,A,b)
goto 3
else
b1=x2
x2=x1
f2=f1
x1=a1+(1-r)*(b1-a1)
f1=f(x+x1*d,A,b)
goto 3
endif
endif
golden_n=x0
end function golden
101 end program main

本算法由Fortran 90语言编写，在Vistrual Fortran 5上编译通过，本程序由沙沙提供！

[ 本帖最后由 风花雪月 于 2006-10-10 00:58 编辑 ]

风花雪月 发表于 2005-8-1 14:57

最速下降法！

!!!本程序适用于求解形如f(x)=1/2*x'Ax+bx+c二次函数的稳定点；
!!!输入函数信息，输出函数的稳定点及迭代次数；
!!!iter整型变量，存放迭代次数；
!!!x为n维变量，初始值由用户输入；gradt实型变量，存放函数梯度;
!!!dir实型变量，存放搜索方向；
program main
real,dimension(:),allocatable::x,gradt,dir,b
real,dimension(:,:),allocatable::hessin
real::x0,tol
integer::n ,iter
print*,'请输入变量的维数'
read*,n
allocate (x(n),gradt(n),dir(n),b(n))
allocate(hessin(n,n))
print*,'请输入初始点x'
read*,x
print*,'请输入hessin矩阵'
read*,hessin
print*,'请输入向量b'
read*,b
tol=0.000001
iter=0
100 gradt=matmul(hessin,x)+b
dir=(-1)*gradt
if(dot_product(gradt,gradt)&lt;=tol)then
!print*,'输出函数稳定点',x
!print*,'输出迭代次数',iter
goto 101
else
x0=golden(x,dir,hessin,b)
x=x+x0*dir
iter=iter+1
if(iter&gt;10*n)then
print*,"out"
endif
print*,"第",iter,"次运行结果为","direction",dir,"step length" ,x0
print*,x,"f(x)=",f(x,hessin,b)
goto 100
endif
contains</P>
<P> !!!子程序，返回函数f(x)在x点的函数值;
function f(x,A,b) result(f_result)
real,dimension(:),intent(in)::x,b
real,dimension(:,:),intent(in)::A
real::f_result
f_result=0.5*dot_product(matmul(A,x),x)+dot_product(b,x)
end function f</P>
<P> !!!精确线搜索0.618法子程序 ，返回步长；
function golden(x,d,A,b) result(golden_n)
real::golden_n
real::x0
real,dimension(:),intent(in)::x,d
real,dimension(:),intent(in)::b
real,dimension(:,:),intent(in)::A
real::x1,x2,a1,b1,f0,f1,f2,r,tol,dx
parameter(r=0.618)
tol=0.0001
dx=0.1
x0=1
x1=x0+dx
f0=f(x+x0*d,A,b)
f1=f(x+x1*d,A,b)
if(f0&lt;f1)then
4 dx=dx+dx
x2=x0-dx
f2=f(x+x2*d,A,b)
if(f2&lt;f0)then
x1=x0
x0=x2
f1=f0
f0=f2
goto 4
else
a1=x2
b1=x1
endif
else
2 dx=dx+dx
x2=x1+dx
f2=f(x+x2*d,A,b)
if(f2&gt;=f1)then
b1=x2
a1=x0
else
x0=x1
x1=x2
f0=f1
f1=f2
goto 2
endif
endif
x1=a1+(1-r)*(b1-a1)
x2=a1+r*(b1-a1)
f1=f(x+x1*d,A,b)
f2=f(x+x2*d,A,b)
3 if(abs(b1-a1)&lt;=tol)then
x0=(a1+b1)/2
else
if(f1&gt;f2)then
a1=x1
x1=x2
f1=f2
x2=a1+r*(b1-a1)
f2=f(x+x2*d,A,b)
goto 3
else
b1=x2
x2=x1
f2=f1
x1=a1+(1-r)*(b1-a1)
f1=f(x+x1*d,A,b)
goto 3
endif
endif
golden_n=x0
end function golden
101 end


本算法由Fortran 90语言编写，在Vistrual Fortran 5上编译通过，本程序由沙沙提供

[ 本帖最后由 风花雪月 于 2006-10-10 00:59 编辑 ]

风花雪月 发表于 2005-8-1 14:59

SR1校正的拟牛顿法

!!!本程序适用于求解形如f(x)=1/2*x'Ax+bx+c二次函数的稳定点；
!!!输入函数信息，输出函数的稳定点及迭代次数；
!!!iter整型变量，存放迭代次数；
!!!x为n维变量，初始值由用户输入；gradt实型变量，存放函数梯度;
!!!dir实型变量，存放搜索方向；
program main
real,dimension(:),allocatable::x,gradt,dir,b ,s,y,p ,gradt1,x1
real,dimension(:,:),allocatable::hessin ,H ,G
real::x0,tol
integer::n ,iter,i,j
print*,'请输入变量的维数'
read*,n
allocate(x(n),gradt(n),dir(n),b(n),s(n),y(n),p(n),gradt1(n),x1(n))
allocate(hessin(n,n),H(n,n),G(n,n))
print*,'请输入初始向量x'
read*,x
print*,'请输入hessin矩阵'
read*,hessin
print*,'请输入矩阵b'
read*,b
iter=0
tol=0.000001</P>
<P> do i=1,n
do j=1,n
if (i==j)then
H(i,j)=1
else
H(i,j)=0
endif
enddo
enddo
100 gradt=matmul(hessin,x)+b
if(sqrt(dot_product(gradt,gradt))&lt;tol)then
!print*,'极小值点为：',x
!print*,'迭代次数:',iter
goto 101
endif
dir=-matmul(H,gradt)
x0=golden(x,dir,hessin,b)
x1=x+x0*dir
gradt1=matmul(hessin,x1)+b
s=x1-x
y=gradt1-gradt
p=s-matmul(H,y)
call vectorm(p,G)
H=H+1/dot_product(p,y)*G
x=x1
iter=iter+1
if(iter&gt;10*n)then
print*,"out"
goto 101
endif
print*,"第",iter,"次运行结果为","方向为",dir,"步长",x0
print*,x,"f(x)=",f(x,hessin,b)
goto 100
contains</P>
<P> !!!子程序，返回函数值
function f(x,A,b) result(f_result)
real,dimension(:),intent(in)::x,b
real,dimension(:,:),intent(in)::A
real::f_result
f_result=0.5*dot_product(matmul(x,A),x)+dot_product(b,x)
end function f
!!!子程序，矩阵与向量相乘
subroutine vectorm(p,G)
real,dimension(:),intent(in)::p
real,dimension(:,:),intent(out)::G
n=size(p)
do i=1,n
!do j=1,n
G(i,:)=p(i)*p
!enddo
enddo
end subroutine

!!!精确线搜索0.618法子程序 ，返回步长；
function golden(x,d,A,b) result(golden_n)
real::golden_n
real::x0
real,dimension(:),intent(in)::x,d
real,dimension(:),intent(in)::b
real,dimension(:,:),intent(in)::A
real::x1,x2,a1,b1,f0,f1,f2,r,tol,dx
parameter(r=0.618)
tol=0.0001
dx=0.1
x0=1
x1=x0+dx
f0=f(x+x0*d,A,b)
f1=f(x+x1*d,A,b)
if(f0&lt;f1)then
4 dx=dx+dx
x2=x0-dx
f2=f(x+x2*d,A,b)
if(f2&lt;f0)then
x1=x0
x0=x2
f1=f0
f0=f2
goto 4
else
a1=x2
b1=x1
endif
else
2 dx=dx+dx
x2=x1+dx
f2=f(x+x2*d,A,b)
if(f2&gt;=f1)then
b1=x2
a1=x0
else
x0=x1
x1=x2
f0=f1
f1=f2
goto 2
endif
endif
x1=a1+(1-r)*(b1-a1)
x2=a1+r*(b1-a1)
f1=f(x+x1*d,A,b)
f2=f(x+x2*d,A,b)
3 if(abs(b1-a1)&lt;=tol)then
x0=(a1+b1)/2
else
if(f1&gt;f2)then
a1=x1
x1=x2
f1=f2
x2=a1+r*(b1-a1)
f2=f(x+x2*d,A,b)
goto 3
else
b1=x2
x2=x1
f2=f1
x1=a1+(1-r)*(b1-a1)
f1=f(x+x1*d,A,b)
goto 3
endif
endif
golden_n=x0
end function golden
101 end


本算法由Fortran 90语言编写，在Visual Fortran 5上编译通过，本程序由沙沙提供！

[ 本帖最后由 风花雪月 于 2006-10-10 00:59 编辑 ]

风花雪月 发表于 2005-8-2 09:40

产生素数的算法

Solovag-Strasson
Robert Solovag和Volker Strasson开发了一种概率的基本测试算法。这个算法使用了雅可比函数来测试p是否为素数：

（1） 选择一个小于p的随机数a。
（2） 如果GCD（a,p）&lt;&gt;1，那么p通不过测试，它是合数。
（3） 计算j=a^(p-1)/2 mod p。
（4） 计算雅可比符号J（a,p）。
（5） 如果j&lt;&gt;J（a,p），那么p肯定不是素数。
（6） 如果j=J(a,p),那麽p不是素数的可能性值多是50%

数a被称为一个证据，如果a不能确定p，p肯定不是素数。如果p是合数。随机数a是证据的概率不小于50%。对a选择t个不同的随机值，重复t次这种测试。p通过所有t次测试后，它是合数的可能性不超过1/2^t。

Lehmann
另一种更简单的测试是由Lehmann独自研究的。下面是它的测试算法：

（1） 选择一个小于p的随机数a。
（2） 计算a^(p-1)/2 mod p
（3） 如果a^(p-1)/2&lt;&gt;1或-1（mod p），那么p肯定不是素数。
（4） 如果a^(p-1)/2=1或-1（mod p），那麽p不是素数的可能性值多是50%

同样，重复t次，那麽p可能是素数所冒的错误风险不超过1/2^t。

Rabin-Miller
这是个很容易且广泛使用的简单算法，它基于Gary Miller的部分象法，有Michael Rabin发展。事实上，这是在NIST的DSS建议中推荐的算法的一个简化版。

首先选择一个代测的随机数p，计算b，b是2整除p-1的次数。然后计算m，使得n=1+(2^b)m。

（1） 选择一个小于p的随机数a。
（2） 设j=0且z=a^m mod p
（3） 如果z=1或z=p-1，那麽p通过测试，可能使素数
（4） 如果j&gt;0且z=1, 那麽p不是素数
（5） 设j=j+1。如果j&lt;b且z&lt;&gt;p-1,设z=z^2 mod p，然后回到(4)。如果z=p-1，那麽p通过测试，可能为素数。
（6） 如果j=b 且z&lt;&gt;p-1，不是素数

这个测试较前一个速度快。数a被当成证据的概率为75%。这意味着当迭代次数为t时，它产生一个假的素数所花费的时间不超过1/4^t。实际上，对大多数随机数，几乎99.99%肯定a是证据。

实际考虑：
在实际算法，产生素数是很快的。

（1） 产生一个n-位的随机数p
（2） 设高位和低位为1（设高位是为了保证位数，设低位是为了保证位奇数）
（3） 检查以确保p不能被任何小素数整除：如3，5，7，11等等。有效的方法是测试小于2000的素数。使用字轮方法更快
（4） 对某随机数a运行Rabin-Miller检测，如果p通过，则另外产生一个随机数a,在测试。选取较小的a值，以保证速度。做5次 Rabin-Miller测试如果p在其中失败，从新产生p，再测试。


在Sparc II上实现： 2 .8秒产生一个256位的素数
24.0秒产生一个512位的素数
2分钟产生一个768位的素数
5.1分钟产生一个1024位的素数

[ 本帖最后由 风花雪月 于 2006-10-10 01:00 编辑 ]

风花雪月 发表于 2005-8-2 09:42

对称矩阵的cholesky分解解方程

program main
real,dimension(:),allocatable::b,s,y,p,d
real,dimension(:,:),allocatable::G,L
real::mb,sm,c,tol ,beita,sita
integer::i,j,r,n
print*,'请输入变量的维数'
read*,n
allocate (b(n),s(n),y(n),p(n),d(n))
allocate(G(n,n),L(n,n))
print*,'请输入对称n*n矩阵G'
read*,G
do i=1,n-1
b(i)=0
do j=i+1,n
b(i)=max(b(i),abs(G(i,j)))
enddo
enddo
mb=0
do i=1,n-1
mb=max(mb,b(i))
enddo
c=0
do i=1,n
c=max(c,abs(G(i,i)))
enddo
beita=max(sqrt(c),sqrt(mb/n))
tol=0.1
i=1
s(1)=max(tol,sqrt(abs(G(1,1))))
do j=2,n
s(j)=G(j,1)/s(1)
enddo
sita=0
do j=2,n
sita=max(sita,abs(s(j)))
enddo
if(sita&lt;=beita)then
do j=1,n
L(j,1)=s(j)
enddo
else
L(1,1)=sita*s(1)/beita
do j=2,n
L(j,1)=beita*s(j)/sita
enddo
endif
i=i+1
100 if(i==n)then
sm=0
do r=1,n-1
sm=sm+L(n,r)*L(n,r)
enddo
L(n,n)=max(tol,sqrt(abs(G(n,n)-sm)))
do j=1,n
do r=j+1,n
L(j,r)=0
enddo
enddo
print*,L
goto 101
else
sm=0
do r=1,i-1
sm=sm+L(i,r)*L(i,r)
enddo
s(i)=max(tol,sqrt(abs(G(i,i)-sm)))
do j=i+1,n
sm=0
do r=1,i-1
sm=sm+L(j,r)*L(i,r)
enddo
s(j)=(G(j,i)-sm)/s(i)
enddo
sita=0
do j=i+1,n
sita=max(sita,abs(s(j)))
enddo
endif
if(sita&lt;=beita)then
do j=i,n
L(j,i)=s(j)
enddo
else
L(i,i)=sita*s(i)/beita
do j=i+1,n
L(j,i)=beita*s(j)/sita
enddo
endif
i=i+1
goto 100
!!!解方LL'P=g,令L'p=y,先求得y,然后解出p
y(1)=-d(1)/L(1,1)
do i=1,n
sm=0
do r=1,i-1
sm=sm+L(i,r)*y(r)
enddo
y(i)=-(d(i)+sm)/L(i,i)
enddo
p(n)=y(n)/L(n,n)
do i=1,n-1
sm=0
do r=1,i-1
sm=sm+L(n-r,n-i)*p(n-r)
enddo
p(n-i)=(y(n-i)-sm)/L(n-i,n-i)
enddo
end

[ 本帖最后由 风花雪月 于 2006-10-10 01:00 编辑 ]

查看完整版本: [推荐]常用算法集