【分享】关于Matlab求解微分方程的那些事！！！
本帖最后由 牛小贱 于 2014-5-24 14:02 编辑看到论坛里，有很多人问关于Matlab求解微分方程的问题。所以，鄙人不才，根据自己的个人经验，以及结合相关论坛、博客，将Matlab求解微分方程的相关内容和大家分享一下！！首先，我们讲一下关于可以求得解析解的微分方程。大家应该都知道，函数dsolve可以解决一部分能够解析求解的微分方程、微分方程组。关于该函数的调用格式，如下：y=dsolve(f1,f2,...,fm,'x');先举个例子，如图：
程序如下： syms t y;
u=exp(-5*t)*cos(2*t-1)+5;
uu=5*diff(u,t,2)+4*diff(u,t)+2*u;
y=dsolve(['D4y+10*D3y+35*D2y+24*Dy= uu '])接下来，介绍一下关于数值解的解法。大家应该都有这种意识：能够解析求解的微分方程（组）占少数，对于大多数微分方程（组）而言不能得到解析解，这时只能进行数值求解。关于数值分析方法，比较著名的当属Eular法、 Runge-Kutta了！在matlab中内置的ode求解器可以实现不同求解方法的相同格式的调用，而不必太关心matlab究竟是用什么算法完成的。在这里，我主要和大家分享关于ode45等求解器的具体使用方法，其他的求解器的使用有相似之处，在此不再赘述。先不介绍其具体调用格式，先来个例子，看看他的庐山真面目：求解方程组Dx=y+x(1-x^2-y^2);Dy=-x+y*(1-x^2-y^2)初值x=0.1;y=0.2;程序：function weifen1
clear;clc
x0=;
=ode45(@jxhdot,,x0);
plot(x(:,1),x(:,2))
function dx=jxhdot(t,x)
dx=;结果如图1所示：看完例子，我说明一下最常用的ode45调用方式，和相应的函数文件定义格式。=ode45(odefun,tspan,x0);其中，Fun就是导函数，tspan为求解的时间区间（或时间序列，如果采用时间序列，则必须单调），x0为初值。这时，函数文件可以采用如下方式定义：function dx=odefun(t,x)接着， （1）刚性方程的求解：刚性方程就是指各个自变量的变化率差异很大，会造成通常的求解方法失效。下面是matlab中自带的一个例子，使用ode15s求解，如果用ode45求解就会出现错误。function myode15study
= ode15s(@vdp1000,,);
plot(T,Y(:,1),'-o')
figure;plot(Y(:,1),Y(:,2))
function dy = vdp1000(T,y)
dy = zeros(2,1);
dy(1) = y(2);
dy(2) = 1000*(1 - y(1)^2)*y(2) - y(1);
结果如图2和图3.
（2）高阶微分方程的求解！通常的方法是进行变量替换，将原方程降阶，转换成更多变量的一阶方程组进行求解。在这个例子里我们求解一个动力学系统里最常见的一个运动方程。程序：function myhighoder
clear;clc
x0=zeros(6,1);
=ode45(@myhigh,,x0);
plot(t,x(:,1))
function dx=myhigh(t,x)
f=;
M=eye(3);
C=eye(3)*0.1;
K=eye(3)-0.5*diag(ones(2,1),1)-0.5*diag(ones(2,1),-1);
dx=;结果如图4.（3）延迟微分方程：matlab提供了dde23求解非中性微分方程。dde23的调用格式如下：sol = dde23(ddefun,lags,history,tspan)lags是延迟量，比如方程中包含y1(t-0.2)和y2(t-0.3)则可以使用lags=。这里的ddefun必须采用如下的定义方式：dydt = ddefun(t,y,Z)其中的Z(:,1)就是y(t-lags(1)),Z(:,2)就是y(t-lags(2)）...下面是个使用dde23求解延迟微分方程的例子：function mydde23study
% The differential equations
%
% y'_1(t) = y_1(t-1)
% y'_2(t) = y_1(t-1)+y_2(t-0.2)
% y'_3(t) = y_2(t)
%
% are solved on with history y_1(t) = 1, y_2(t) = 1, y_3(t) = 1 for
% t <= 0.
clear;clc
lags=;
history=;
tspan=;
sol = dde23(@myddefun,lags,history,tspan)
plot(sol.x,sol.y)
function dy = myddefun(t,y,Z)
dy=;
结果如图5所示。（4）隐式微分方程：求解此类方程需要使用ode15i函数。调用格式： = ode15i(odefun,tspan,y0,yp0)yp0为y'的初值。odefun的格式如下dy =odefun(t,y,yp),yp表示y'，而方程中应该使得f(t,y,y')=0function myodeIMP
% The problem is
%
% y(1)' = -0.04*y(1) + 1e4*y(2)*y(3)
% y(2)' =0.04*y(1) - 1e4*y(2)*y(3) - 3e7*y(2)^2
% y(3)' =3e7*y(2)^2
%
% It is to be solved with initial conditions y(1) = 1, y(2) = 0, y(3) = 0
% to steady state.
clear;clc
y0=;
fixed_y0=;
yp0=;
fixed_yp0=[];
=decic(@myodefunimp,0,y0,fixed_y0,yp0,fixed_yp0);
tspan=;
= ode15i(@myodefunimp,tspan,y0mod,yp0mod);
y(:,2)=1e4*y(:,2);
semilogx(t,y)
function res=myodefunimp(t,y,yp)
res=[ -yp(1)-0.04*y(1)+1e4*y(2)*y(3);-yp(2)+0.04*y(1)-1e4*y(2)*y(3)-3e7*y(2)^2;-yp(3)+3e7*y(2)^2 ];运行结果如图6.
在讲了这么多之后，我想大家也看烦了！所以，我结合相关论坛、帖子总结一个新的求解ode的方法——那就是使用simulink的积分器求解！！
还是咱们举的第一个例子：Dx=y+x(1-x^2-y^2);Dy=-x+y*(1-x^2-y^2)初值x=0.1;y=0.2;积分器中设置初始条件；f(u)中指定Dx,Dy的计算公式。在Simulink中建立模块框图，如图7所示。运行这个仿真，scope中可以看到两个变量的时程如图8.在WorkSpace里可以得到tout和yout，执行plot(yout(:,1),yout(:,1))得到与ode45求解相似的结果！！！除此之外，使用simulink还可以求解的一类延迟微分方程。（PS：transportDelay,就可以实现对于信号的延迟！！）实例：x'(t)=A1*x(t-t1)+A2*x'(t-t2)+B*u(t)t1=0.15;t2=0.5A1=[-12 3 -3] A2= B= Simulink中建立的模块框图和仿真结果图，如图9和10所示.最后，给大家一些matlab求解微分方程的资料！见附件（本人强烈推荐一本书 薛定宇编写的《高等应用数学问题的MATLAB求解》，很不错！链接地址为http://ishare.iask.sina.com.cn/f/7453073.html）。不足之处，还请大家补充、指正。
Matlab及ADAMS集中营 关于Matlab求解微分方程的那些事！！！讲的真心不错啊！！楼主真的很有耐心啊！32个赞{:{39}:} LZ第一个例子好像式子与代码就不一致了
可能误值了
ChaChing 发表于 2014-5-23 16:28
LZ第一个例子好像式子与代码就不一致了
可能误值了
貌似应该没有吧~呵呵。 本帖最后由 ChaChing 于 2014-5-24 13:43 编辑
图 u=exp(-5*t)*cos(2*t+1)+5
程序u=exp(-5*t)*cos(2*t-1)+5
图 y''''+10y'''+35y''+24y'=5u''+4u'+2u
程序 y=dsolve(['D4y+10*D3y+35*D2y+50*Dy+24*y=87*exp(-5*t)*cos(2*t-1)+92*exp(-5*t)*sin(2*t-1)+10'])
谢谢楼主分享！ 学习啦 谢谢 楼主，高人！ 感谢楼主分享，学习了{:{05}:} 楼猪好帅！ 很全面 感谢楼主分享 好书啊 啊啊 学习了，感谢楼主，感谢老师，给我们发群了 值得关注，很好的指导 感谢楼主
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