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本帖最后由 牛小贱 于 2014-5-24 14:02 编辑
看到论坛里，有很多人问关于Matlab求解微分方程的问题。所以，鄙人不才，根据自己的个人经验，以及结合相关论坛、博客，将Matlab求解微分方程的相关内容和大家分享一下！！ 首先，我们讲一下关于可以求得解析解的微分方程。大家应该都知道，函数dsolve可以解决一部分能够解析求解的微分方程、微分方程组。 关于该函数的调用格式，如下： y=dsolve(f1,f2,...,fm,'x'); 先举个例子，如图：
程序如下：- syms t y;
- u=exp(-5*t)*cos(2*t-1)+5;
- uu=5*diff(u,t,2)+4*diff(u,t)+2*u;
- y=dsolve(['D4y+10*D3y+35*D2y+24*Dy= uu '])
接下来，介绍一下关于数值解的解法。 大家应该都有这种意识：能够解析求解的微分方程（组）占少数，对于大多数微分方程（组）而言不能得到解析解，这时只能进行数值求解。关于数值分析方法，比较著名的当属Eular法、 Runge-Kutta了！在matlab中内置的ode求解器可以实现不同求解方法的相同格式的调用，而不必太关心matlab究竟是用什么算法完成的。在这里，我主要和大家分享关于ode45等求解器的具体使用方法，其他的求解器的使用有相似之处，在此不再赘述。 先不介绍其具体调用格式，先来个例子，看看他的庐山真面目： 求解方程组 Dx=y+x(1-x^2-y^2); Dy=-x+y*(1-x^2-y^2) 初值x=0.1;y=0.2; 程序： - function weifen1
- clear;clc
- x0=[0.1;0.2];
- [t,x]=ode45(@jxhdot,[0,100],x0);
- plot(x(:,1),x(:,2))
-
- function dx=jxhdot(t,x)
- dx=[x(2)+x(1).*(1-x(1).^2-x(2).^2); -x(1)+x(2).*(1-x(1).^2-x(2).^2)];
结果如图1所示： 看完例子，我说明一下最常用的ode45调用方式，和相应的函数文件定义格式。 [t,x]=ode45(odefun,tspan,x0); 其中，Fun就是导函数，tspan为求解的时间区间（或时间序列，如果采用时间序列，则必须单调），x0为初值。 这时，函数文件可以采用如下方式定义： function dx=odefun(t,x) 接着， （1）刚性方程的求解：刚性方程就是指各个自变量的变化率差异很大，会造成通常的求解方法失效。下面是matlab中自带的一个例子，使用ode15s求解，如果用ode45求解就会出现错误。 - function myode15study
- [T,Y] = ode15s(@vdp1000,[0 3000],[2 0]);
- plot(T,Y(:,1),'-o')
- figure;plot(Y(:,1),Y(:,2))
- function dy = vdp1000(T,y)
- dy = zeros(2,1);
- dy(1) = y(2);
- dy(2) = 1000*(1 - y(1)^2)*y(2) - y(1);
（2）高阶微分方程的求解！通常的方法是进行变量替换，将原方程降阶，转换成更多变量的一阶方程组进行求解。在这个例子里我们求解一个动力学系统里最常见的一个运动方程。 程序：- function myhighoder
- clear;clc
- x0=zeros(6,1);
- [t,x]=ode45(@myhigh,[0,100],x0);
- plot(t,x(:,1))
- function dx=myhigh(t,x)
- f=[sin(t);0;0];
- M=eye(3);
- C=eye(3)*0.1;
- K=eye(3)-0.5*diag(ones(2,1),1)-0.5*diag(ones(2,1),-1);
- dx=[x(4:6);inv(M)*(f-C*x(4:6)-K*x(1:3))];
（3）延迟微分方程：matlab提供了dde23求解非中性微分方程。dde23的调用格式如下： sol = dde23(ddefun,lags,history,tspan) lags是延迟量，比如方程中包含y1(t-0.2)和y2(t-0.3)则可以使用lags=[0.2,0.3]。 这里的ddefun必须采用如下的定义方式： dydt = ddefun(t,y,Z) 其中的Z(:,1)就是y(t-lags(1)),Z(:,2)就是y(t-lags(2)）... 下面是个使用dde23 求解延迟微分方程的例子：- function mydde23study
- % The differential equations
- %
- % y'_1(t) = y_1(t-1)
- % y'_2(t) = y_1(t-1)+y_2(t-0.2)
- % y'_3(t) = y_2(t)
- %
- % are solved on [0, 5] with history y_1(t) = 1, y_2(t) = 1, y_3(t) = 1 for
- % t <= 0.
- clear;clc
- lags=[1,0.2];
- history=[1;1;1];
- tspan=[0,5];
- sol = dde23(@myddefun,lags,history,tspan)
- plot(sol.x,sol.y)
- function dy = myddefun(t,y,Z)
- dy=[Z(1,1);Z(1)+Z(2,2); y(2) ];
（4）隐式微分方程：求解此类方程需要使用ode15i函数。调用格式：[T,Y] = ode15i(odefun,tspan,y0,yp0) yp0为y'的初值。odefun的格式如下 dy =odefun(t,y,yp),yp表示y'，而方程中应该使得f(t,y,y')=0 - function myodeIMP
- % The problem is
- %
- % y(1)' = -0.04*y(1) + 1e4*y(2)*y(3)
- % y(2)' = 0.04*y(1) - 1e4*y(2)*y(3) - 3e7*y(2)^2
- % y(3)' = 3e7*y(2)^2
- %
- % It is to be solved with initial conditions y(1) = 1, y(2) = 0, y(3) = 0
- % to steady state.
- clear;clc
- y0=[1;0;0];
- fixed_y0=[1;1;1];
- yp0=[0 0 0];
- fixed_yp0=[];
- [y0mod,yp0mod]=decic(@myodefunimp,0,y0,fixed_y0,yp0,fixed_yp0);
- tspan=[0, logspace(-6,6)];
- [t,y] = ode15i(@myodefunimp,tspan,y0mod,yp0mod);
- y(:,2)=1e4*y(:,2);
- semilogx(t,y)
- function res=myodefunimp(t,y,yp)
- res=[ -yp(1)-0.04*y(1)+1e4*y(2)*y(3);-yp(2)+0.04*y(1)-1e4*y(2)*y(3)-3e7*y(2)^2;-yp(3)+3e7*y(2)^2 ];
运行结果如图6.
在讲了这么多之后，我想大家也看烦了！所以，我结合相关论坛、帖子总结 一个新的求解ode 的方法——那就是使用simulink 的积分器求解！！
还是咱们举的第一个例子：Dx=y+x(1-x^2-y^2);Dy=-x+y*(1-x^2-y^2) 初值x=0.1;y=0.2;积分器中设置初始条件；f(u)中指定Dx,Dy的计算公式。 在Simulink中建立模块框图，如图7所示。 运行这个仿真，scope中可以看到两个变量的时程如图8.在WorkSpace里可以得到tout和yout，执行plot(yout(:,1),yout(:,1))得到与ode45求解相似的结果！！！ 除此之外，使用simulink还可以求解的一类延迟微分方程。（PS：transportDelay,就可以实现对于信号的延迟！！） 实例：x'(t)=A1*x(t-t1)+A2*x'(t-t2)+B*u(t) t1=0.15;t2=0.5 A1=[-12 3 -3] A2=[0.02 0 0] B=[0] [106 -116 62] [0 0.03 0] [1] [207 -207 113] [0 0 0.04] [2] Simulink中建立的模块框图和仿真结果图，如图9和10所示. 不足之处，还请大家补充、指正。
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发表于 2014-3-8 21:10
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发表于 2014-5-23 16:28
楼主
