怎么用隐式RK4方法求解偏微分方程组？

baolei241

z是空间，t是时间。Ad,Ac,Q是z,t的函数。C1,C2,C3,C4是常数。


初始条件：
    Ad(z,0)=0，Ac(z,0)=0，Q(z,0)=0



边界条件：
Ad(0,t)=Ad0*exp(-2ln2*t^2/a1^2)
Ac(L,t)=Ac0*exp(-2ln2*t^2/a2^2)


请问：(1)怎么求输出端Ad(L,t)和Ac(0,t)的数值解

            (2)这个方程组能用隐格式的四阶龙格库塔法求解吗？(特征线法，坐标变换变成常微分方程，再用四阶RK方法)

无水1324

如果可以变为常微分方程的话，就可以用RK4求解了？不知道你这个 该怎么变化呢？

baolei241

设     p=(z+C1*t)/2， q=(z-C1*t)/2
所以   z=p+q，t=(p-q)/C1
              (偏Ad)/(偏p)=(偏Ad)/(偏z)+1/C1*(偏Ad)/(偏t)  即方程（1）的左边
       (偏Ac)/(偏q)=(偏Ac)/(偏z)-1/C1*(偏Ac)/(偏t)  即方程（2）的左边的相反数
所以
       (偏Ad)/(偏p)=-C2*Ac(p,q)*Q(p,q)
              (偏Ac)/(偏q)=-C2*Ad(p,q)*Q(p,q)
              C3*(偏Q)/(偏t)+Q=Ad*AC      

如果只有前面两个方程，就可以用龙格库塔法了。不知道第三个方程该怎么处理呢？

无水1324

不知道前面的两个偏微分直接用RK 方法可以求解吗？
如果可以，后面的只是 状态增加一个而已

octopussheng

偏微分的直接用DDE不行么？

baolei241

这个问题我还是不会解决，不过我已经向一个数学系的老师求助了，明天跟他讨论。他是专门研究偏微分方程数值解的，相信可以搞定这个方程组。

octopussheng

呵呵，有进展记得和大家一起分享哈！