两端固定弦的固有频率分析的最终解答

heaventian

两端固定弦的固有频率分析：
对于两端固定弦，其横波导致的驻波的固有频率随着拉张力的增强而增强，符合关系式：
ws=I*pi/L*sqrt(T/rho);
fs=ws/2/pi
式中，ws为圆频率，fs为频率，I=1，2，3……，L为弦长，T为张应力,rho为弦的密度
而其纵波导致的驻波的固有频率的关系式应为：
wp=I*pi/L*sqrt(E/rho);
fp=wp/2/pi
其中，E为杨氏模量，可见，由于纵波导致的驻波的固有频率并不会随着拉力的增长而增长。
因为我是做地震方面的，我们领域中，横波的速度为
vs=sqrt(2*miu/rho);
miu为剪切模量
所以一开始，怎么也想不通，固有频率怎么会随着拉应力而变化。看了相关的书籍才知道，我们的问题是三维固体中的问题，而弦的横向振动，质点的受力与地震学中的有很大不同。
同样的，在网上也看到做机械方面的同学们，似乎对于纵波速度的公式
vp=sqrt(E/rho);
不清楚。所以奇怪为什么有限元得到的纵波频率比横波频率高那么多，以本例为例，如果张力为1.7N，则横波基频为个位数，但是纵波频率却有两千多。实际上，由于刚的弹性模量为1E11的量级，而拉张应力只有107量级，两者差个上百倍是很正常的。
做这道例题时，得到了jxxansys 的帮助，在此表示感谢。希望这道例题对大家有帮助

有限元程序为：
FINISH
/CLEAR
A=1E-6
/PREP7
ET,1,LINK1
MP,EX,1,2E11
MP,PRXY,1,0.3
MP,DENS,1,7800
R,1,A
K,1,0,0,0
K,2,1,0,0
LSTR,1,2
LESIZE,1,,,1000
LMESH,1
FINISH
/SOLU
DK,1,UX
DK,1,UY
DK,2,UY
FK,2,FX,1.7
PSTRES,ON
SOLVE
SAVE
FINISH
/SOLU
ANTYPE, MODAL
MODOPT,LANB,20
MXPAND,20
DK,2,UX
PSTRES,ON
SOLVE
FINISH
/POST1
SET,LIST
由MATLAB求出理论解的程序：
rho=7.8e3
T=1.7/1E-6
E=2.0e11
niu=0.3
lamda=E*niu/(1+niu)/(1-2*niu)
miu=E/2/(1+niu)
L=100
I=1:10
wp=I*pi/L*sqrt(E/rho);
fp=wp/2/pi
ws=I*pi/L*sqrt(T/rho);
fs=ws/2/pi
由于S波和P波速度相差太大（导致固有频率相差太大），使得有限元解出来的都是固有频率都是横波解。由
SET,NEXT
PLDI
ANMODE,10,0.3,,0
命令查看图形便可知道
如果要得到纵波解，可以将
MODOPT,LANB,20
改为
MODOPT,LANB,20，2500
便可看到，其第五阶
频率为2531处振动变为横波振动
在excel中查看其x方向位移振幅随位置的变化图像，便可看到，它是基阶振型。
另外，如果将节点UY方向位移强行设置为零，那么便可以得到纵波固有频率
FINISH
/CLEAR
A=1E-6
/PREP7
ET,1,LINK1
MP,EX,1,2E11
MP,PRXY,1,0.3
MP,DENS,1,7800
R,1,A
K,1,0,0,0
K,2,100,0,0
LSTR,1,2
LESIZE,1,,,1000
LMESH,1
FINISH
/SOLU
DK,1,UX
D,all,UY
FK,2,FX,1.7
PSTRES,ON
SOLVE
SAVE
FINISH
/SOLU
ANTYPE, MODAL
MODOPT,LANB,20
MXPAND,20
DK,2,UX
PSTRES,ON
SOLVE
FINISH
/POST1
SET,LIST
SET,FIRST
PLDI
ANMODE,10,0.3,,0
SET,NEXT
PLDI
ANMODE,10,0.3,,0