相平面与稳定性的关系？

ttwwooblueyes

请问各位，如何从相平面中观察系统的稳定性？二者之间是否有强烈的联系？有什么根据？

例如所附的相平面（初始条件： q2=0.00001，dq2/dt=0），似乎出现了两个中心，如何评价该系统的稳定性？

谢谢。

[ 本帖最后由 ttwwooblueyes 于 2009-8-22 23:21 编辑 ]

讨论求知

顶一下   我也想知道

无水1324

要搞清楚几个相图的关系，我们一般求解方程，把速度位移一个图上得到的是相图，

那么还有Poincare图也是一样的,横坐标位移,纵坐标速度,那这个与上面的是有差别的 ,自己体会.

另外,还有一种就是相平面内的平衡点的,他们也是相平面的,这个时候是平衡点附近的相图,从某种意义来说这又这个时候的菜可以判断稳定性,如鞍点,稳定不稳定结点等等. 把上面问题搞清楚之后你再去考虑稳定性的问题

ttwwooblueyes

感谢无水的指导。我再琢磨一下。

个人理解相平面是连续的画出系统的状态；Poincare图是有选择的画，有时为了观察周期解和混沌比较方便（还需引入吸引子等概念）。我的系统比较简单，我想能在相平面内解决的话，还是在易懂的层次解决比较好。

至于相平面和稳定性的关系，似乎还是由特征值的符号决定的。我贴一段wiki上的，抛砖引玉。
The phase plane is then first set-up by drawing straight lines representing the two eigenvectors (which represent stable situations where the system either converges towards those lines or diverges away from them). Then the phase plane is plotted by using full lines instead of direction field dashes. The signs of the eigenvalues will tell how the system's phase plane behaves:

If the signs are opposite, the intersection of the eigenvectors is a saddle point.
If the signs are both positive, the eigenvectors represent stable situations that the system diverges away from, and the intersection is an unstable node.
If the signs are both negative, the eigenvectors represent stable situations that the system converges towards, and the intersection is a stable node.

这些无水也都提到了。我很想知道，如果我不知道特征值的符号（以所附的相平面为例），如何从图形上观察出稳定性？如果能从几何图形上理解二者的关系，实在是一件美好的事。

[ 本帖最后由 ttwwooblueyes 于 2009-8-23 19:19 编辑 ]

无水1324

还是我上面说的意思你没有理解

octopussheng

相平面上观察稳定性，是个新词。
一般讨论的都是奇点、极限环的稳定性。

ttwwooblueyes

还是想问下关于相平面的，相平面上的平衡点的个数是由什么决定的？尤其是对于一个2次的ODE来说，怎么来确定其相平面中的平衡位置个数？

多谢！

咕噜噜

相平面上的平衡点的个数是由什么决定好像没有具体定论，一般系统不同平衡点可能不同
不管什么问题，几次ode问题，都要看系统的形式

octopussheng

可看看常微分方程定性理论相关书籍