一般区域二重、三重积分MATLAB计算方法

rocwoods

应Chaing版主邀请，特将发在simwe的帖子转帖过来。
这里讨论的计算方法指的是利用现有的MATLAB函数来求解，而不是根据具体的数值计算方法来编写相应程序。目前最新版的2009a有关于一般区域二重积分的计算函数quad2d，但没有一般区域三重积分的计算函数，而NIT工具箱似乎也没有一般区域三重积分的计算函数。
本贴的目的是介绍一种在7.X版本MATLAB（不一定是2009a）里求解一般区域二重三重积分的思路方法。需要说明的是，上述链接里已经讨论了一种求解一般区域二重三重积分的思
路方法，就是将被积函数“延拓”到矩形或者长方体区域，但是这种方法不可避免引入很多乘0运算浪费时间。因此，新的思路将避免这些。由于是调用已有的MATLAB函数求解，在
求一般区域二重积分时，效率和2009a的quad2d相比有一些差距，但是相对于"延拓"函数的做法，效率大大提高了。下面结合一些简单例子说明下计算方法。
譬如二元函数f(x,y) = x*y，y从sin(x)积分到cos(x)，x从1积分到2，这个积分可以很容易用符号积分算出结果

1. 
   
2. syms x y
   
3. int(int(x*y,y,sin(x),cos(x)),1,2) ]结果是 -1/2*cos(1)*sin(1)-1/4*cos(1)^2+cos(2)*sin(2)+1/4*cos(2)^2 = -0.635412702399943

复制代码

如果你用的是2009a，你可以用

1. quad2d(@(x,y) x.*y,1,2,@(x)sin(x),@(x)cos(x),'AbsTol',1e-12)

复制代码

得到上述结果。
如果用的不是2009a，那么你可以利用NIT工具箱里的quad2dggen函数。
那么我们如果既没有NIT工具箱用的也不是2009a，怎么办呢？
答案是我们可以利用两次quadl函数，注意到quadl函数要求积分表达式必须写成向量化形式，所以我们构造的函数必须能接受向量输入。见如下代码

1. 
   
2. function IntDemo
   
3. function f1 = myfun1(x)
   
4.      f1 = zeros(size(x));
   
5.      for k = 1:length(x)
   
6.          f1(k) = quadl(@(y) x(k)*y,sin(x(k)),cos(x(k)));
   
7.      end
   
8.      end
   
9. y = quadl(@myfun1,1,2)
   
10. end
    

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myfun1函数就是构造的原始被积函数对y积分后的函数，这时候是关于
x的函数，要能接受向量形式的x输入，所以构造这个函数的时候考虑到x是向量的情况。
利用arrayfun函数（7.X后的版本都有这个函数，不了解这个函数的朋友可以查看帮助文档，或者搜索本版）可以将IntDemo函数精简成一句代码：

1. 
   
2. quadl(@(x) arrayfun(@(xx) quadl(@(y) xx*y,sin(xx),cos(xx)),x),1,2)
   

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上面这行代码体现了用MATLAB7.X求一般区域二重积分的一般方法。可以这么理解这句代码：
首先

1. @(x) arrayfun(@(xx) quadl(@(y) xx*y,sin(xx),cos(xx)),x)

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定义了一个关于x的匿名函数，供quadl调用求最外重（x从1到2的）积分，这时候，x对于

1. arrayfun(@(xx) quadl(@(y) xx*y,sin(xx),cos(xx)),x)

复制代码

就是已知的了。
而

1. @(xx) quadl(@(y) xx*y,sin(xx),cos(xx))

复制代码

定义的是对于给定的xx,求xx*y关于y的积分函数，这就相当于数学上积完第一重y的积分后得到一个关于xx的函数
而

1. arrayfun(@(xx) quadl(@(y) xx*y,sin(xx),cos(xx)),x)

复制代码

只是对

1. @(xx) quadl(@(y) xx*y,sin(xx),cos(xx))

复制代码

加了一个循环的壳，保证“积完第一重y的积分后得到一个关于xx的函数”能够接受向量化的xx的输入，从而能够被quadl调用。
有了这个模板，我们可以方便求其他一般积分区域（上下限是函数）形式的二重积分，例如被积函数
f = @(x,y) exp(sin(x))*ln(y)，y从5*x积分到x^2，x从10积分到20。
用quad2d,上面介绍的方法，还有dblquad帮助文档里给的延拓函数的方法

1. tic,y1 = quad2d(@(x,y) exp(sin(x)).*log(y),10,20,@(x)5*x,@(x)x.^2),toc
   
2. tic,y2 = quadl(@(x) arrayfun(@(x) quadl(@(y) exp(sin(x)).*log(y),5*x,x.^2),x),10,20),toc
   
3. tic,y3 = dblquad(@(x,y) exp(sin(x)).*log(y).*(y>=5*x & y<=x.^2),10,20,50,400),toc
   
4. y1 =
   
5.     9.368671342614414e+003
   
6. Elapsed time is 0.021152 seconds.
   
7. y2 =
   
8.     9.368671342161189e+003
   
9. Elapsed time is 0.276614 seconds.
   
10. y3 =
    
11.     9.368671498376889e+003
    
12. Elapsed time is 1.674544 seconds.
    

复制代码

可见上述方法在2009a以外的版本中不失为一种方法，起码效率高于dblquad帮助文档里推荐的做法。更重要的是，这给我们求解一般区域三重积分提供了一种途径。
由于时间太晚了，求一般区域三重积分的方法留待下来有时间再写。

[ 本帖最后由 rocwoods 于 2009-6-16 02:02 编辑 ]

rocwoods

前面讨论的一般二重积分的例子：

1. quadl(@(x) arrayfun(@(xx) quadl(@(y) xx*y,sin(xx),cos(xx)),x),1,2)

复制代码

写成模板即：

1. 
   
2. quadl(@(x) arrayfun(@(xx) quadl(@(y) 被积二元函数f(xx,y),y的积分下限表达式g1(xx),y的积分上限表达式g2(xx)),x),x积分下限值,x积分上限值)

复制代码

现在来看一般区域三重积分的做法，有两种思路，一种是quadl+quad2d函数，这需要2009a来支持，另一个是用三个quadl函数。
前者还可细分成先quad2d后quadl，以及先quadl后quad2d。
我们可以得到三种模板，同时结合f(x,y,z) = x*y*z ;z从x*y到2*x*y积分,y从x到2*x积分，x从1到2积分这个简单的三重积分例子说明

1. 
   
2. 模板1：quadl(@(x) arrayfun(@(xx) quad2d(被积函数f(xx,y,z)关于y,z变量的函数句柄,y积分下限y1(xx),y积分上限y2(xx),z积分下限z1(xx,y),z积分上限z2(xx,y)),x),x积分下限值,x积分上限值)
   
3. 实例：quadl(@(x) arrayfun(@(xx) quad2d(@(y,z) xx.*y.*z,xx,2*xx,@(y) xx*y,@(y) 2*xx*y),x),1,2)
   
4. 模板2：quad2d(@(x,y) arrayfun(@(xx,yy) quadl(被积函数f(xx,yy,z)关于z变量的函数句柄,z积分下限z1(xx,yy),z积分上限z2(xx,yy)),x,y),x积分下限值,x积分上限值,y积分下限y1(x),y积分上限y2(x))
   
5. 实例：quad2d(@(x,y) arrayfun(@(xx,yy) quadl(@(z) xx.*yy.*z,xx*yy,2*xx*yy),x,y),1,2,@(x)x,@(x)2*x)
   
6. 模板3：quadl(@(x) arrayfun(@(xx) quadl(@(y) arrayfun(@(yy) quadl(被积函数f(xx,yy,z)关于z变量的函数句柄,z积分下限z1(xx,yy),z积分上限z2(xx,yy)),y),y积分下限y1(xx),y积分上限y2(xx)),x),x积分下限值,x积分上限值)
   
7. 实例：quadl(@(x) arrayfun(@(xx) quadl(@(y) arrayfun(@(yy) quadl(@(z) xx.*yy.*z,xx*yy,2*xx*yy),y),xx,2*xx),x),1,2)

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模板使用说明：x,y,z是积分变量，模板中除了用语言描述的参量用相应表达式替换掉外，其余结构保持不变。
大家可以实际运行这三个实例，都比用triplequad 拓展函数法快得多，而且triplequad拓展函数得到的结果还不精确，在我的电脑上结果如下：

1. 
   
2. tic;quadl(@(x) arrayfun(@(xx) quad2d(@(y,z) xx.*y.*z,xx,2*xx,@(y) xx*y,@(y) 2*xx*y),x),1,2),toc
   
3. tic;quad2d(@(x,y) arrayfun(@(xx,yy) quadl(@(z) xx.*yy.*z,xx*yy,2*xx*yy),x,y),1,2,@(x)x,@(x)2*x),toc
   
4. tic;quadl(@(x) arrayfun(@(xx) quadl(@(y) arrayfun(@(yy) quadl(@(z) xx.*yy.*z,xx*yy,2*xx*yy),y),xx,2*xx),x),1,2),toc
   
5. tic;triplequad(@(x,y,z) x.*y.*z.*(z<=2*x.*y&z>=x.*y&y<=2*x&y>=x),1,2,1,4,1,16),toc
   
6. ans =
   
7.   179.2969
   
8. Elapsed time is 0.037453 seconds.
   
9. ans =
   
10.   179.2969
    
11. Elapsed time is 0.223533 seconds.
    
12. ans =
    
13.   179.2969
    
14. Elapsed time is 0.090477 seconds.
    
15. ans =
    
16.   178.9301
    
17. Elapsed time is 78.421721 seconds.

复制代码

可见如果大家用的是2009a，那么计算一般区域三重积分时可以用模板1，2009a以前的版本（当然都是7.X版本）可以用模板3，而模板2效率比较低（似乎是更加频繁调用函数增加

了系统开销）。

以上二重三重积分模板还可以推广应用范围，譬如计算int(1/int(y,x,x^2),10,100)就不能套用dblquad或者quad2d，但是用一般二重积分模板稍作变形，可以这样求解：

1. 
   
2. quadl(@(x) 1./arrayfun(@(xx)quadl(@(y)y,xx,xx^2),x),10,100)
   

复制代码

这样，这个帖子中的问题http://forum.vibunion.com/forum/viewthread.php?replied=yes&tid=82496&pid=425357&page=&extra=page%3D1#pid425357顺便也就得到了解决

xuefeng03

大师，我把quad2d(@(x,y) x.*y,1,2,@(x)sin(x),@(x)cos(x),'AbsTol',1e-12)里的@(x)sin(x)换为@(x)sin(1/x)就会出现错误
??? Error using ==> mrdivide
Matrix dimensions must agree.

Error in ==> @(x)sin(1/x)

这个该怎么办啊

friendchj

把@(x)sin(1/x)
改为
@(x)sin(1./x)试试

xuefeng03

呵呵  刚发完我就想起了 是这样的
谢谢阿

susu0526

不知道您介绍的方法里面的函数接不接受插值后的函数形式呢？对于插值后的函数形式应该怎么积分呢？