我的分岔图和Floquet乘子图，怎么好象对应不上？

胡晓宇

我做的分岔图和Floquet乘子图，Floquet乘子图参数从7000-10000,这个图和分岔图在7000-10000范围内，是不是对应不上？分岔图在转速后期是周期解，Floquet乘子仍然大于1，有点迷惑，希望大家给点说法。谢谢了。

无水1324

确实对不上，还有一点就是Floquet是判断周期解的稳定性的，那么你分岔图中得到的可能是稳定的周期解和混沌解，有可能还存在其他的解共存的情况，这个只是我的猜测。另外，这个Floquet和分岔图有严格的对应关系吗？

胡晓宇

我计算分叉图采用的是计算n个周期后，认为系统进入稳定状态，然后再计算m个周期，画分叉图，这样得到的分叉图只能得到稳定的周期解还是得到所有的周期解(包括不稳定的)。我看文献上说，我用的这种分叉图方法不能确定系统的周期解是不是稳定的。
Floquet乘子的变化趋势应该影响系统的分叉形式，比如周期分叉或者鞍点分叉。那么还有一个疑问就是，不同的分叉形式是否只能通过Floquet乘子的大小确定，而不能通过分叉图看出？

无水1324

"我计算分叉图采用的是计算n个周期后，认为系统进入稳定状态，然后再计算m个周期，画分叉图，这样得到的分叉图只能得到稳定的周期解还是得到所有的周期解(包括不稳定的)。我看文献上说，我用的这种分叉图方法不能确定系统的周期解是不是稳定的"

你这个说法是完全对的

后面说的这个也是的，分岔图有些时候可以用来判断周期分岔（倍周期分岔），只是一般来说都是利用Floquet来判断这样子比较准确，而且其他的如鞍结分岔在分岔图中应该是看不出来的

胡晓宇

多谢无水的解答。根据您说的，我的分叉图和Floquet乘子的比照，分叉图转速8000-12000范围周期解，那么floquet乘子的大小是否大于1是不是并不能确定？那么，我如何检验我的Floquet乘子是否正确呢？

cam_1980

floquet乘子不仅可以用来判断周期解的稳定性，还可以用来判断周期解分岔的类型：鞍结，叉形还是hopf。你要是就想笼统的看整个参数域的情况下各种周期解的稳定性那应该计算liapunov指数。因为不同倍周期解下计算floquet乘子的离散状态转移矩阵是不同的。举个例子，如果你已经观察到系统的周期解由一倍周期解变为2倍周期解，那么这个时候肯定是叉形分岔，这时你计算floquet乘子的时候就是计算一个周期的随着参数变化的状态转移矩阵，绘制floquet乘子模最大的特征值，你会发现他是由（-1，0）穿出单位圆。在你的分岔点处，floquet乘子模最大值为1.如果接着计算你发现分岔图由2倍周期解变为4倍周期解，则这时计算floquet乘子的时候状态转移矩阵应该是计算2个周期的，然后发现floquet乘子会和上述情况一样穿出单位圆（在你2T到4T的分岔点处floquet乘子模最大值也为1）

由以上分析你应该知道了，稳定的1倍周期解下的一个周期的状态转移矩阵的最大floquet乘子是小于1的，稳定的2倍周期解下的仍然一个周期的状态转移矩阵的最大floquet乘子是大于1的。要不然你怎么通过floquet乘子来判断分岔的类型？？？？？？


系统通往混沌的道路是多种多样的，经常会遇到多种分岔的形式并存的情况通往混沌，所以，对于得到的分岔图，如果某些位置的分岔类型不能通过分岔图来判断，你就要通过计算这个分岔点前后的floquet乘子的变化规律来判断。

[ 本帖最后由 cam_1980 于 2009-5-15 15:58 编辑 ]

无水1324

"稳定的2倍周期解下的仍然一个周期的状态转移矩阵的最大floquet乘子是大于1的"
这个怎么解释？

无水1324

另外一个问题，初始条件不同可能得到稳定或者不稳定的解，那Floquet计算的时候是不能考虑这种情况的，因为在同一个参数下，既有大于1的也有小于1 的。这个时候怎么处理呢？

cam_1980

"稳定的2倍周期解下的仍然一个周期的状态转移矩阵的最大floquet乘子是大于1的"，说明此时一倍周期解不稳定了，必须是2T的运动才是稳定的。也就是说如果此时只存在稳定的2倍周期解，则你计算一个周期的状态转移矩阵的话，其最大floquet乘子的模就是大于1的，而你计算2倍周期的状态转移矩阵，则其floquet乘子的模最大值是小于1的。
对于你提出的第二个问题，其实做分岔图时很多人都是取同一个初值然后连续变化参数得到一个分岔图，但是如果取不同的初值的时候就会在上一个分岔图的基础上形成另外一个独立的分岔图，你判断某个一分岔分支的分岔类型时，取对应的初值不就可以了。

[ 本帖最后由 cam_1980 于 2009-5-15 22:19 编辑 ]

无水1324

但是Floquet特征值计算是不涉及到初始值的啊

cam_1980

我以前也是这么认为，呵呵。其实还是有关系的，比如齿轮间隙非线性微分方程，如果你对其求雅克比矩阵的时候涉及到对那个间隙函数f（x）求导，那么这个倒数就是和x有关的，当abs（x）大于间隙一半则倒数为1，否则为零，既然雅克比矩阵和x有关，那么求解floquet乘子的时候也和x就有关系了。

无水1324

但是你想一下，在计算Floquet的两种方法中，单位矢量为初始值积分一周期的方法比，离散化的计算方法更加精确，但是这个方法是不涉及初始条件的。
你说的齿轮间隙函数，确实会涉及到初始条件的问题，因为他们涉及到空间切换的问题。
我向国外的学者咨询过这个问题，但是还是比较麻烦！

无水1324

这个帖子可能离 胡兄弟的问题太远了，但是我觉得，做深入的分岔分析，这是一个必须面对的问题

cam_1980

严重同意，呵呵

cam_1980

无水，国外的学者是让你如何处理这个间隙函数的，在求解floquet乘子的时候？
其实有一篇文章就涉及到这个内容，但是他没有具体介绍如何计算，《齿轮系统周期运动稳定性研究》，原文内容：将预测-校正算法与floquet理论结合起来，在延续求解周期运动的同时，可得到对应的floquet乘子。他的那片文章也是有间隙的，我就一直不明白他是如何延续得到floquet乘子的。