[转帖]科学与工程领域多尺度建模与数值计算

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传统的数学模型是建立在单一层次的物理规律之上的，应用三大守恒定律（质量、动量、能量）及某种本构关系， 从而形成某类偏微分方程组（如Navier-Stokes方程）。计算方法就是数值求解这些偏微分方程组的离散方法， 如有限差分方法、有限元方法、谱方法等。计算方法与数学模型是两个单独的过程，即数学建模不考虑将来使用 什么样的计算方法，而研究计算方法不考虑数学建模的过程。随着计算机的高速发展，与之相适应的计算方法 与计算技术取得了巨大的成功

建立在牛顿力学基础之上的连续介质力学数学模型，其“连续性假设”并不能反映某些微观尺度起主作用的运动， 如裂纹传播、晶体生长等。当然，我们可以以量子力学为基来建立这些问题的数学模型，然而， 即使用当今最快的计算机和对此方程最好的计算方法（密度泛函方法），能计算最大的体系也不过几千个电子， 离实际要求相距甚远。因而对这类微观尺度也起主导作用的运动建立多尺度物理模型是必要的。

多尺度物理模型是指对不同的区域或不同的尺度层次应用不同物理规律建立的数学模型。 我们期望多尺度物理模型不仅能较好地反映物性机理且为能有效计算提供可能性， 从而使得多尺度建模与多尺度计算方法成为一对孪生兄弟。与传统的计算方法研究不同， 多尺度建模成为计算科学研究中重要的组成部分。

在建立多尺度物理模型过程中，常用的几个物理层次为量子力学（Quantum Mechanics）、 分子动力学(Molecular Dynamics)、分子运动论(Kinetic Theory)和连续介质力学(Continuum Theory)。