[主题讨论]Floquet multipler,eigenvalues of jacobian and Lyapunov exponent

无水1324

如题，这期主题的主要讨论内容：
1、三种指数的计算方法（这里面主要是解析的分析方法）；
2、得到这些指数，他们在区分分岔和稳定性之间的差别是什么？他们之间有什么关联关系？
3、各自的适用范围？
最后感谢各位的参与！
另外我也不知道怎么能够准确的这三个量翻译出来好，所以暂时就用英文的写出来，大家有什么好的意见请赐教！ 不要灌水！:lol

胡晓宇

我的一点浅薄理解，floquet multipler应该是平衡点处的eigenvalues of jacobian，Lyapunove指数由于我的计算中没有涉及，所以还不是很懂，希望紧跟此帖多学习！

shuoshu

貌似很难，还在学习中

cam_1980

floquet乘子（很多论文上都是这么翻译）数值计算方法：
对于一些直接就能写出周期初到周期末了之间映射的离散系统，floquet乘子就是这个系统雅克比矩阵的特征值。但是对于大多数非线性系统是不能直接写出周期初到周期末的映射的，而需要用数值计算方法将一个周期T分成很多小段，然后一段一段的数值积分得到周期末的值。那么对于这种系统求解floquet乘子的比较笨的方法可以这样：
将【0 T】分成等间隔时间，t1，t2，.....T。从t1时刻计算到t2时刻对以一个矩阵M1，t2到t3时刻对应一个矩阵M2，一次往后，然后求解M=M1*M2*.....Mn，就是状态转移矩阵。然后求解这个状态转移矩阵的特征值就是floquet乘子。步长越小，floquet乘子越精确。数值计算选用方法精度越高，floquet乘子计算越准确。
另一种方法如下：
（1）导出原微分方程的一阶近似扰动方程，设对应雅克比矩阵为A（t）。
（2）用直接数值积分法求解矩阵方程初值问题：

的解在周期末T处的值x（T）。注意单位矩阵的第一列作为初值时求得的x（T）作为x（T）的第一列，依次相同。
（3）求解x（T）的特征值就是floquet乘子。
利用floquet乘子判稳：当floquet乘子模的最大值max<1时周期解稳定；大于1不稳定；等于1临界稳定。
若最大floquet乘子随参数从（1，0）穿出单位圆则为鞍节型分岔；当模最大floquet乘子从（-1，0）穿出单位圆为周期分叉而失稳。当floquet乘子是是复数，随参数变化穿出单位圆时系统经过hopf型分叉产生拟周期解。


对于李亚普洛夫指数的数值求法以及适用范围等，很多书籍都介绍的有，具体可以《参考混沌动力学基础及其应用》的第四章第三节，刘宗华编。

[ 本帖最后由 cam_1980 于 2008-12-22 17:32 编辑 ]

无水1324

你的意思“floquet乘子就是这个系统雅克比矩阵的特征值”这个是无条件满足的还是在某一类系统内才成立呢？

cam_1980

（1）.如果你的雅克比矩阵代表的不是周期初和周期末值之间的映射关系，那么floquet乘子就不是这个雅克比矩阵的特征值。比如齿轮振动系统方程如下（随便写的一个方程）：
x1=x2;
x2=-2*jieta*x2-k*x1-p(wt);
他的雅克比矩阵是反应的连续时间下的前一时刻到后一时刻的映射，并不是周期初到周期末的映射，所以这个雅克比矩阵的特征值就不是对应的floquet乘子。这时可以把系统一个周期分成t1，t2.....tn,求出每一时刻的矩阵Mi，这个可以用matlab的符号矩阵来处理，最终求出M。另外还可以用上面地板层说到的先求出扰动运动微分方程，然后依那三步做也可以。
（2）.另外对于一些离散系统，比如某生物衍生系统，方程如下：
xn+1=s*xn（1-xn/4），代表的就是一个生命周期初和末之间的映射关系，所以，他的floquet乘子就是他的雅克比矩阵的特征值（当然这是一维的，雅克比矩阵是一个数了）。

[ 本帖最后由 cam_1980 于 2008-12-23 13:15 编辑 ]

胡晓宇

"用直接数值积分法求解矩阵方程初值问题"是不是对矩阵的每一个元素进行积分？那么用什么积分方法比较好呢？我试验了一下，可总是求不出正确的结果。多谢！

无水1324

那么这个分小段的时候第一个初始值怎么确定，中间的初始条件又是怎么样的呢？

咕噜噜

不知道论坛里目前有没有人在做floquet乘子的计算呢，有没有相关程序，分享一下
呵呵，对此有点摸不着头脑

cam_1980

y(t1)=M0*y(t0);
y(t2)=M1*M0*y(t0);
.............
y(tm)=G*y(t0)
那么G就是以上M的累乘积，这个G除了与系统参数有关外，还是初始时间有关系，这个初始时间我想可以直接代入0。那么初值到底取什么y0，G是不会涉及的。

[ 本帖最后由 cam_1980 于 2009-3-18 17:06 编辑 ]

无水1324

恩，我慢慢理解了点，谢谢你的解释，有问题我再向你请教

cam_1980

补充一点，如果系统是自治系统，则直接对系统求解雅克比矩阵就可以对系统的稳定性进行分析，不用考虑周期初和周期末的映射关系了。
呵呵，非常抱歉。

咕噜噜

呵呵，自治系统可以直接求解么？那和近似线性而求出的结果有什么区别吗 ？似乎没有太大区别吧

无水1324

我有遇到了一个奇怪的问题。
就是对于非线性的系统，积分1个周期得到的Floquet乘子出现了奇异。有时间上网再向你请教一下

purple_paradise

无水大哥，这个帖子还没讨论完啊。
我想，现在您应该有一个比较深刻的认识了吧。
能否来一个总结。
Lyapunov和弗洛开特征值，雅克比特征值关系