齿轮啮合参数分叉分析与初值稳定性分析

cam_1980

最近一直研究齿轮啮合振动的动力学相关问题，现在出了一些结果。我的数学模型是含有齿侧间隙以及时变啮合刚度下的多频激励问题。首先对其激励频率的分叉进行了分析，当阻尼比取0.04时，其分叉图如下：

当阻尼比取0.08时，分叉图如下

从以上图可以看出，多频激励下，阻尼比若很小的话，会发生很多次跳跃现象后进入混沌，并且混沌区还会有周期解。和单频激励相比，跳跃次数明显增多。阻尼比的增大使系统的周期解对参数更加稳定。
当取定参数后，系统也会同时存在不同的周期解。可以用胞映射法或者伪不动点追踪算法来求解这些共存的周期解。如我在系统模型中取定阻尼比为0.04，激励频率为1.1时，取分析区间为位移【-2 2】，速度【-1 1】时，用胞映射法可以球的两组共存的吸引子，其吸引域分别如下

可以发现两个吸引域是互相嵌套的，也就是说在这个区间就找到了两个周期解。从吸引域还可以看出，该参数下周期解对初值是局部稳定的。
不知道有没有同行，欢迎大家一起讨论。同时，能不能把你们目前的工作以及结果拿出来也讨论讨论，互相学习一下，孤军奋战说实话有时候很郁闷呀。

[ 本帖最后由 无水1324 于 2008-12-17 08:58 编辑 ]

side

求吸引域有解析方法或者半解析的方法么。只依靠数值方法计算量是不是太大了。再说共存的周期解有多少的呢，不是数值解能解决的。尤其是有不稳定周期解的时候。

cam_1980

对于强非线性振动系统，用解析法不太容易。我没有尝试过。不过求吸引域用胞映射法速度不算慢，而且包映射算法是算一次就直接把考察域里共存的周期解和吸引子吸引域都求出来了。我在上面的计算中把考察域长宽都取100份，计算下来用了40分钟左右吧。对于总体计算来说，这个还是能够接受的。

咕噜噜

没有具体做过胞映射，不知道cam可否将程序共享一下
对于抢匪线性系统来说，很难找到比较合适的解析或者说半解析法
不过要想分析在某一参数下的周期的大小应该还是可以的

cam_1980

因为我程序里面涉及了保密部分。所以我可以简单介绍一下胞映射算法思想。当然很多书籍都有，我这里就用最不书面的语言描述一下，相信对初学者会有所帮助吧。
（1）将考察域划分网格，当然，网格密度越密越好，基本原则就是要保证最后绘制的吸引域图形轮廓清晰。现在将每个网格叫做胞。
（2）将胞分成2类：a 周期胞 b 陷胞。周期胞就是从这个胞开始映射最终会进入某个周期的吸引胞。陷胞就是从这个胞开始映射，最终会映射到考察域之外。
（3）另外在程序中，胞又分为未处理胞和正在处理胞以及已处理胞。
既然上面对胞的分类这么多，就需要有另外的矩阵变量来存储每个胞的特征。比如，设矩阵a来记录每个胞是周期胞还是陷胞。若a（i，j）=1，则表示是考察域里第（i，j）胞是一倍周期胞，如果是零则表示是陷胞。同时，周期胞又分为P-1周期胞、P-2周期胞。。。。，这个就是说该胞经过若干次映射是进入那个吸引胞的周期胞。
从一个未处理胞开始往下映射，构成一个映射胞序列：z1，z2，z3。。。，该序列所有的胞都是正在处理胞。那么zn就会有三种可能：
第一 zn是一个未处理胞，那么将将记录胞状态的矩阵对应值修改为已处理，并继续向前映射。
第二 zn是已处理胞。那么查询zn这个胞是陷胞还是周期胞，如果是周期胞，那么是p-？周期胞。查明之后，将该序列所有的胞对应的状态矩阵值均修改成查出来的状态值。
第三 zn是该序列前面已经出现过的正在处理胞。这种情况说明找到一个新的P-n周期胞，查询该序列上次出现zn这个胞的位置，若在第j次出现，则该胞的周期为K=n-j+1。然后修改记录是否周期胞的矩阵里面对应元素值为k（1倍周期胞为1，2倍为2.。。）这些胞同时构成P-k周期胞吸引域的一部分。

循环处理每个胞，处理完后周期运动和吸引域就都可以确定了。说得不知道清楚否，如果有疑问可以具体参考《非线性振动和运动稳定性》 朱因远 周纪卿编。

[ 本帖最后由 无水1324 于 2008-12-17 09:05 编辑 ]

无水1324

做的很好的
有一些疑问：
1、“当取定参数后，系统也会同时存在不同的周期解”这个你是在哪个地方看出来的，分岔图马？我根本就看不出来，所以你是不是根据以往对齿轮系统的研究结论分析得到的呢？
2、胞映射也做得很好的，就是感觉这两个图是不是一样的，好像就是反色了，白的变成黑的，黑的变成白的？
3、胞映射里面那个代表周期解呢？我看不到是不是你上传得时候做了处理？
4、我还不知道你要讨论什么问题呢?hehe
5、咕噜你不要没事就要别人的程序，这点很不好这个程序要得到很高的精度是很麻烦的（说笑了....）

cam_1980

对于你的第一个疑问：取定参数后，在考察域内存在几组吸引子就会存在几组周期解。对于你的第二问：上面贴出的两组吸引子的吸引域确实是互相嵌套，这是吸引域经常存在的一个问题。他说明了在这个考察域只存在两组周期解。以左边那个图里的黑色区域出发的点会最终进入第一组吸引子，即第一个周期解，以右边那个图的黑色区域出发最终会进入第二组吸引子，即第二个周期解。参数取的不同，吸引域的形状也是不同的。下面是另外一组参数的吸引域：

也是好到两个周期解。第一个也是局部稳定的，而第二组吸引子的吸引域是离散点，说明该周期解对初值是极其不稳定的。这两个图合起来后剩余的空白就是陷胞。一楼里的图网格比较大，所以黑色区域有明显的白点。如果取反色则另外一幅图的白色区域就会有黑点，不过我如果要造假倒是可以把他擦了，呵呵，但那是自欺欺人。
对于你的第三问：我在5楼里那个第三已经说过了。
对于你的第四问：我要讨论的问题是：对于同一组参数下可能存在不同的周期解，这些周期解可以用胞映射法来求解，并且可以用吸引子的吸引域来对初值的稳定性进行判断。当然可能还会有不同的方法。同时我还很关心的问题就是齿轮动力学现在研究比较多的还有哪些方面。我希望能起个抛砖引玉的作用吧。我在取不同参数的时候如果稳定为何都是局部稳定的，也就是螺旋状（螺旋状说明是局部稳定，这可参考文成秀，姚玉玺等. 分段线性振动机械周期运动稳定性研究[J]. 机械科学与技术. 1997，16(2):257~260。）是不是因为我的是多频激励的结果）希望能遇到同行，也好请教一下。
对于你的第五问：首先不能提供程序我确实很抱歉，另外你说的精度问题，比如我上面新贴的两个图用的时间就长，因为网格密了，确实比一楼中的清晰许多。

[ 本帖最后由 cam_1980 于 2008-12-17 16:57 编辑 ]

无水1324

呵呵，看来你对这方面做得研究很多了
说实话我正在做这个，我的胞映射也是前段时间作出来的，而且效果还可以，跟你这个差不多的。
除了这个初值得问题之外，我觉得还有一个比较有意思的问题，就是这个稳定的边界或者说basins boundary,又没有其它的方法把它作出来，能否解析的分析，我觉得这是一个比较有意思的问题，可能偏重于力学了。
还有你说的这个螺旋状代表局部稳定，这个说法可能不是很确切了，所以我建议你看一下其它的书或者文献，再确认一下！

cam_1980

求吸引子的吸引域可以通过别的办法直接将边界求出来，而且不用事先给定考察域。他的基本思想就是以吸引子为初始点，然后将映射的逆映射求出来，这样就可以以吸引子为中心，一层一层的逆映射往外扩展。这个可以参考《非线性振动和运动稳定性》西安交通大学出版社。上面对胞映射以及这种逆映射法求稳定域的方法介绍的很仔细。还有就是吸引域的形状如何判断对初值的稳定性，螺旋状的表示局部稳定这个说法有论文确实这样说，而且还不止一个，但是你说的不是很确切可能也对。因为现在已经有论文提出用稳定性品质因子来结合吸引域的图形来判断对初值的稳定性。

无水1324

对，我就是看了这些之后，感觉有一些问题才说不确切的，另外这个胞的大小影响很大，所以最好是想一下方法解决这个速度问题，我在计算的时候取501X501计算的时间大概需要6个小时才可以出来一组数据，所以甚是郁闷哈

另外你说这个逆映射我没有接触学习过，那我得去看看那本书了，以后多多赐教哈！

cam_1980

群策群力进步肯定会非常快的。自己一个人埋头苦干有时候的确很郁闷呀，哈哈。很高兴有无水这样的同行。以后可以互相学习。

无水1324

恩咯
胞映射我也是才学习的，相互学习吧

kezairenjian

回复 12 # 无水1324 的帖子

无水的胞映射程序速度怎么样？我算500*500个胞，大概四十分钟。有些文献说几分钟就能搞定，不知道是不是真的......

无水1324

回复 13 # kezairenjian 的帖子

我的差不多要1个小时啊。速度很慢

kezairenjian

回复 14 # 无水1324 的帖子

你现在搞得什么方向，还做非线性动力学的研究吗？