线性时变系统和线性周期时变系统是非线性系统吗？

zhoutianyue · 发表于 2008-9-17 18:34

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请问，线性时变系统和线性周期时变系统是非线性系统吗？可不可以用非线性理论进行分析，比如作poincare图，分叉图进行分析等，谢谢

shenyongjun · 发表于 2008-9-17 21:55

不是非线性系统，但是可以采用非线性理论分析

无水1324 · 发表于 2008-9-17 22:05

同意申老师的看法，因为一般的线性系统是可以解出解得，但是时变系统即使是简单的Mathieu方程都不能找到精确的解析解，所以在这种意义上可以认为它是非线性的，可以利用非线性理论的方法来分析

zhoutianyue · 发表于 2008-9-18 12:35

那请问无水老师，线性周期时变振动系统（时变参数是周期变化的）随着参数（比如说转速）的变化有可能产生分叉吗？还有线性周期时变系统的poincare图是不是就是一个点，即时变参数的周期？

咕噜噜 · 发表于 2008-9-18 15:06

线性周期时变振动系统随着参数变化也是可能产生分叉的，但是其poincare映射不一定就是一个点

shenyongjun · 发表于 2008-9-18 23:35

原帖由 咕噜噜 于 2008-9-18 15:06 发表

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线性周期时变振动系统随着参数变化也是可能产生分叉的，

能举出一个例子吗？

咕噜噜 · 发表于 2008-9-19 09:21

分叉的的一种表现是随参数变化系统稳定性的变化，比如Mathieu方程
不知道我理解是不是错了，呵呵
我一直都是有点迷惑的，分叉是不是只有非线性系统才存在

zhoutianyue · 发表于 2008-9-19 11:11

原帖由 咕噜噜 于 2008-9-19 09:21 发表

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分叉的的一种表现是随参数变化系统稳定性的变化，比如Mathieu方程
不知道我理解是不是错了，呵呵
我一直都是有点迷惑的，分叉是不是只有非线性系统才存在

我一直有这样一个观点，不知对不对，也请各位老师指正：那就是分叉就是当参数变化到一定程度系统的稳定点发生了变化，非线性系统有不止一个稳定点，而线性系统只有一个，所以线性系统是不会产生分岔的。但对于线性周期时变系统它的稳定点是不是像线性系统一样只有一个，还是像非线性系统那样有多个，这是不是判断其是否分岔的依据呢？

[ 本帖最后由无水1324 于 2008-9-21 17:48 编辑 ]

无水1324 · 发表于 2008-9-21 17:47

这里面的稳定点是不是平衡点的意思哈？

说说我的个人看法：
这个时变系统它并不是一个平衡点应该是随时间变化的一系列的点，这个时候关心的是稳定性的问题。

是一个还是几个，应该是我们把研究的问题缩小到平衡点附近，分析这些点的变化就是一个分岔的过程

zhoutianyue · 发表于 2008-9-21 18:07

原帖由 无水1324 于 2008-9-21 17:47 发表

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这里面的稳定点是不是平衡点的意思哈？

说说我的个人看法：
这个时变系统它并不是一个平衡点应该是随时间变化的一系列的点，这个时候关心的是稳定性的问题。

是一个还是几个，应该是我们把研究的问题缩小到平 ...

这里还是存在一个问题我没搞明白，那就是系统的分岔究竟是随参数变化而处于不同的平衡点还是随参数变化由稳定的结构变成不稳定的结构，我看很多书上对分岔的定义是：对于结构不稳定的非线性微分方程，若参数微小扰动使系统的拓扑结构发生变化，就会产生分岔。其判据使其Jacobi矩阵特征值是否随参数变化从复平面左侧到右侧。这样，系统产生分岔是不是意味着系统从稳定状态变成不稳定状态，如果在分岔图上，系统随参数的变化从以周期变为二周期，是不是说明二周期振动不稳定？

无水1324 · 发表于 2008-9-21 19:03

你搞错了这两种分岔的意思了：
1、一种就是拓扑结构的变化，这种分岔就是，参数变化是其平衡点、稳定性的变化
2、另外一种就是解的性质的变化，如你说的周期性的变化，由周期1变到周期2这个也是分岔，但是这个与前面的分岔的意义是不同的

zhoutianyue · 发表于 2008-9-21 19:24

原帖由 无水1324 于 2008-9-21 19:03 发表

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你搞错了这两种分岔的意思了：
1、一种就是拓扑结构的变化，这种分岔就是，参数变化是其平衡点、稳定性的变化
2、另外一种就是解的性质的变化，如你说的周期性的变化，由周期1变到周期2这个也是分岔，但是这个与前 ...

谢谢无水老师，我所看的书中介绍的都是关于你所说的一种分岔的，能否提供一些关于第二种分岔的参考书，诸如关于此类分岔的判据等。

yzsldj · 发表于 2008-9-22 10:05

从以上各位的讨论中，似乎可以得到这样的结论：

分岔只能发生在非线性系统中，在线性系统中发生的现象不能称作“分岔”，如在线性系统中也会出现一对共轭的特征值穿越虚轴，但这个不叫做“分岔”。

还是不太明白为什么！不是说“线性系统是非线性系统的一种特例”嘛？
例如，在线性系统中，定义Hopf分岔的3个条件都能满足，但为什么不能称作“分岔”？

此外，我还想请教第二个问题：
时滞动力系统一般远比非时滞动力系统复杂，那么，线性时滞动力系统中会不会出现分岔？

谢谢！

octopussheng · 发表于 2008-9-22 14:31

线性时滞动力系统？好像没有听过这个词吧！呵呵！

时滞动力系统应是会出现分岔的！

yzsldj · 发表于 2008-9-23 14:55

我的理解是：线性时滞动力系统是指由线性时滞微分方程描述的系统，这样的理解是否有问题？请指教！

我是想问：线性微分方程中是否会出现分岔？线性时滞微分方程中是否会出现分岔？

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