关于非线性动力学的研究内容

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非线性动力学

　　非线性动力学研究非线性力学系统各种运动状态的定量和定性规律，尤其是运动模式和演化行为。目前，非线性动力学已从经典的以摄动法和渐近分析的方法为基础的弱非线性、弱耦合系统的研究阶段，进入到近代的更深入地研究系统的复杂行为的阶段。对有限维系统来说，研究的中心问题是分岔和混沌。

　　分岔是指非线性系统的定性行为随着参数变化而发生质变的现象。分岔研究不仅能揭示系统不同状态之间的联系和转化，而且是研究失稳和混沌产生的机理和条件的重要途径之一。近年来国内外学者进行了大量的研究，提出了多种研究分岔的理论和方法，如奇异性方法、庞加莱-伯克霍夫(Poincare-Birkhoff)范式方法、幂级数法、摄动法、次谐梅利尼科夫(Melnikov)函数法、后继函数法和Shilnikov法等。由于非线性问题的复杂性，理论分析有很大难度，因此数值计算和模拟手段对分岔研究有重要意义。当前值得关注的课题有：多自由度系统分岔问题、高阶退化系统的高余维分岔问题、对称性破缺分岔、随机系统的分岔、非自洽系统和高余维退化系统的范式理论等。

　　混沌是本世纪提出的重要的科学概念之一。确定性非线性动力学系统中对初值极为敏感的，貌似随机的运动称为混沌。它不同于无序、紊乱或噪声，具有某种自相似结构。它起源于非线性相互作用，因而普遍地存在着。对混沌的认识使人们对非线性动力学系统的长期演化行为的研究，进入到一个前所未知的世界，把经典力学体系的动力学推进到一个新的阶段，并大大地丰富了确定性、随机性和统计规律性及其相互关系的研究内容。在上世纪末，混沌研究的先驱庞加莱首先从几何和拓扑学观点对天体力学问题进行了定性的研究，已经对与混沌有关的个别概念，如同宿性有所认识，他的思想和方法对后来的研究有着深远的影响。本世纪60年代以来，在计算机技术充分发展的推动下，国外的混沌研究，以洛伦茨(Lorenz)吸引子、费根鲍姆(Fei-genbaum)普适常数、KAM定理、阿诺德(Arnold)扩散、斯梅尔(Smale)马蹄理论为标志，取得了重大的突破。国内的学者也取得了一系列成果。当前混沌理论研究主要在以下五个方面展开：

　　①产生混沌的机理和途径。从规则运动通向混沌的道路多种多样，至今人们知道了倍周期分岔、准周期分岔、间歇过渡（阵发混沌）和KAM环面破裂等四条典型的通向混沌的道路，此外还会有其他可能的道路。

　　②混沌的判据和统计特性。判断或预告混沌出现的方法有多种多样，其中许多利用了混沌的统计特性。已提出的方法有相轨迹法、谱分析方法、庞加莱映射方法、李雅普诺夫指数方法、测度熵方法、分维计算法、胞映射法、符号动力系统法等。还须对混沌的统计特性进行深入研究，对上述各种方法之间的关系建立严格的理论并寻求判别混沌的新方法。

　　③奇怪吸引子和吸引域的几何结构。吸引子是耗散系统运动的特征。耗散系统的混沌存在具有分形结构的奇怪吸引子。吸引子及吸引域边界的测度和分维数尚缺乏严格的理论和完备的研究。

　　④各类系统中混沌现象的深入研究。包括哈密顿系统、非完整力学系统和无穷维非线性动力系统。后者涉及斑图动力学和时空混沌。

　　⑤混沌的控制和工程应用。在非线性动力学的发展历程中，现代数学和计算的理论与方法起着十分重要的作用。非线性动力学在许多科学技术问题中有着广阔的应用前景，例如近代物理、生物化学、材料科学、分子生物学、能源技术、机械装备、航空航天、天气预报、地震预报等领域都有大量的非线性力学问题需要解决。因此进一步开展非线性力学问题和工程应用研究，对科学技术和国民经济发展都有重大意义。