稳定性的概念

kiddy

稳定性分析是结构分析很重要的一面，但是现在就稳定性本身的概念不是很了解，以及稳定性的分类、范围、研究的对象和方法、数学模型等等，希望大家能够踊跃赐教，谢谢！

xsdcaifu

把我毕业论文的一部分贡献出来，大家见笑了

一、稳定的分类
壳体稳定性理论是固体力学的一个分支。它是研究壳体构件及其组合构件在各种形式的压力作用下产生变形以致丧失原有平衡状态和承载能力的一门学科。物体在外力作用下的平衡状态具有三种形式：稳定的平衡状态、不稳定的平衡状态和随遇平衡状态。所谓稳定平衡是指物体受微小扰动使其在平衡位置附近作无限小的偏离，当扰动去除以后物体能够回到它原来的平衡位置。若物体在扰动去除以后，不能在回到原来的平衡位置，反而继续偏离下去，这种平衡状态称为不稳定平衡状态，又称丧失稳定状态，简称失稳。随遇平衡状态通常是从稳定平衡状态向不平衡稳定状态过渡的中间状态。
结构的失稳有两种基本形式：分支点失稳和极值点失稳（见图2－5、2－6）。分支点失稳就是结构在基本的荷载－位移平衡路径（Ⅰ）的附近还存在另一个分支平衡路径（Ⅱ），当荷载达到分支点荷载（临界荷载）时，在任何微小干扰下，结构将由原来的稳定平衡状态（路径Ⅰ）转变为不稳定平衡状态（路径Ⅱ），出现稳定性质的转变，从而也导致结构的变形形态、应力状态发生性质的变化（如产生力的作用面以外的变形及由无矩状态变为有矩状态）。发生在“完善”结构（结构几何上无初始缺陷，荷载无偏心）的理想状态条件下的失稳常属这种情况。极值点失稳在失稳过程中不出现分支点，整个过程只是平衡形态的数量变化，在极值点处存在最大荷载值（临界荷载）。当达到最大荷载后变形迅速增加。一般情况下，非完善体系的失稳形式是极值点失稳。

xsdcaifu

二、稳定的判别准则
判别平衡稳定的准则可分为两大类：平衡的小稳定性准则和平衡的大稳定性准则。平衡的小稳定性准则是以小挠度线性理论为基础。不论哪一类准则，判别平衡稳定的根本准则是从平衡稳定性的基本概念出发，即假设对处于平衡状态的体系施加一微小干扰，当干扰去除以后，如果体系能够恢复到原来的平衡位置，则该平衡状态是稳定的；反之，若体系偏离原来的平衡位置越来越远，则该平衡位置是不稳定的。从这个根本的判别准则出发，可对保守力体系得到三个等价的小稳定性准则，一是由随遇平衡的静力特征可得到判别平衡稳定的静力准则；二是由平衡状态的能量特性可得到判别平衡稳定性的能量准则；三是由平衡稳定和随遇平衡的动力特性可得到判别平衡稳定性动力特性。
1、静力准则
平衡稳定的静力准则可表达为：若系统处于某一平衡状态，且与其无限接近的相邻位置也是平衡的，则这一状态是随遇的。用静力准则确定平衡分支荷载，首先要对新的平衡状态建立静力平衡方程。这种在外荷载不变的情况下，考虑干扰变形影响的静力平衡方程显然是对干扰状态的一组齐次方程。这组方程如果存在非零解，就表示非零的干扰状态是另一平衡位置，而原来的平衡状态处于随遇平衡状态，因而平衡稳定问题变化为在齐次边界条件下求解齐次方程组的特征值问题。这样求得的状态对应于分支点C，最小特征值即为稳定性问题的临界荷载。对应于每个特征值都可以得到特征函数，即失稳波形，用静力平衡准则确定临界荷载的方法称为静力平衡法。静力平衡准则广泛用于连续弹性体系的稳定性问题求解。
2、能量准则
对于保守力体系，结构的总势能可写成：
                          (2-18)
式中，U为应变势能；V为外力势能；W为外力功。
当结构处于平衡位置时，其总势能为 ，在该平衡位置附近微干扰位置的总势能为 ，则在这两位置之间的势能变化为 。若结构应变能的增量大于外力功的增量，即 ，则当干扰去除后结构将能回到原来的平衡位置，平衡状态是稳定的。反之，若结构应变能的增量小于外力功的增量，即 ，平衡状态是不稳定的。而当结构应变能的增量等于外力功的增量时，即 ，平衡状态是随遇的，结构处于临界状态。
3、动力准则——里雅普诺夫准则
动力准则首先是对有限自由度系统的稳定问题而提出的，这一准则推广应用到连续弹性体系是可行的。动力准则的含义是：在一个有限自由度的广义坐标内，以广义坐标系 描述其位置的系统。在平衡状态时 ，系统随时间而变化的速度为 。如果系统偏离其平衡位置而总可以找到这样的初始特征值 和 ，使在以后的运动中 和 不超出某些预先所规定的与基本平衡位置任意接近的界限，则此界限可以判别系统是稳定平衡的，否则系统是不平衡稳定的。由此可以看出，临界荷载是这样的一种荷载，当作用荷载超过它时，就会使体系振动失去常态。利用动力准则确定临界荷载的方法称为动力法。通常此法步骤如下：①假定体系由于微干扰在所讨论的平衡位置附近作微小自由振动，写出振动方程，并求出其振动频率的表达式；②根据体系处于临界状态时频率等于零的条件确定临界荷载。

superhugo

有关稳定方面的问题，建议看一下《钢结构稳定理论与设计》一书，上面对于稳定的阐述很详尽。科学出版社出版，西安建筑科技大学陈骥编。上面介绍了各类稳定问题以及国内外的发展。

kiddy

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