求助，含立方项的非线性微分方程组求解

咕噜噜 · 发表于 2007-4-27 16:39

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目前正在做非线性系统的课题，现遇到一个比较难解的方程组（对我来说），请大家帮忙告诉我一个好的解法

[ 本帖最后由咕噜噜于 2007-4-27 16:45 编辑 ]

shenyongjun · 发表于 2007-4-27 17:51

似乎只能用数值方法！

octopussheng · 发表于 2007-4-27 21:55

不好解决哦，用ode45可是8个方程，我这段时间也在算一个四自由度的微分方程，但是算的时间实在是太长了，不知道别人有没有更好的办法解决啊！！

gghhjj · 发表于 2007-4-28 04:45

原帖由 octopussheng 于 2007-4-27 21:55 发表

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不好解决哦，用ode45可是8个方程，我这段时间也在算一个四自由度的微分方程，但是算的时间实在是太长了，不知道别人有没有更好的办法解决啊！！

用rk法主要问题在于计算稳定性，8个一阶微分方程求解应该还是可以的
当然如果能够采用直接积分法效果应该好一些

不知道你这里的几个系数是什么样的，对于含有立方项的弱非线系统，可以尝试求其近似解
一般可以分析它的亚谐共振，超谐共振，分岔行为，突跳现象等等

gghhjj · 发表于 2007-4-28 04:47

原帖由 octopussheng 于 2007-4-27 21:55 发表

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我这段时间也在算一个四自由度的微分方程，但是算的时间实在是太长了

这个不应该，个人感觉可能是你的方程不适合用ode45或者参数选择有问题
可以把具体方程给出来看看

咕噜噜 · 发表于 2007-4-28 09:09

gghhjj，我这里面第二个方程是与其他三个不耦合的，因此还可以拿出来单独求解，比较简单。
剩下三个方程之间互相耦合，这里a1——a5,b1——b5是由刚度演化而来的，数值比较大，c1——c6是阻尼变化而来的，数值上较小，但是c1,c2数值上还是相对比c3——c6大的多。假如就把这些数当作符号变量，求方程组的近似解，用什么方法啊？我之前算过不计算阻尼的这个方程组，利用多尺度法可以求出其近似解，但是如果加上阻尼matlab计算起来我就算不出来了。
gghhjj有什么好的办法，指教一下，你能不能留个联系方式给我，^_^，我的多请教

[ 本帖最后由 mjhzhjg 于 2007-8-1 18:34 编辑 ]

shenyongjun · 发表于 2007-4-28 09:12

原帖由 gghhjj 于 2007-4-28 04:45 发表

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不知道你这里的几个系数是什么样的，对于含有立方项的弱非线系统，可以尝试求其近似解
一般可以分析它的亚谐共振，超谐共振，分岔行为，突跳现象等等

感觉求近似解几乎不可能！
对于非线性系统来说，2个自由度就算作多自由度系统。研究2个自由度的系统利用多尺度法有一些现成的例子，但是三个自由度的非线性系统，利用近似解析法来研究的结果非常少见！4个自由度的则根本没有见过！

咕噜噜 · 发表于 2007-4-28 09:21

那就是说我这个算是三自由度的微分方程组求其近似解几乎是不可能的是吗？
含有立方项的非线系统的求解本来就比其他的要难一些吧，这类方程组目前我只会用多尺度法求解，其它的是没有头绪，请指教

shenyongjun · 发表于 2007-4-28 09:57

非常难！利用多尺度法求解三个自由度的非线性系统，这样的例子没见过。
从形式上来看，由于这个方程没有激励项，处理起来可能简单一些。我见过含平方项、立方项的单自由度自治系统，可以求出精确解，但是没见过3自由度的！

咕噜噜 · 发表于 2007-4-28 10:05

我之前做了用多尺度法求解三自由度的非线性系统，也是非线性的，只是没有阻尼项，也就是将上面的方程组中的c项（一阶导数项）全部去掉，可以解出来，但是有点费劲，那就没有其他办法来解这个方程组吗？

shenyongjun · 发表于 2007-4-28 11:17

似乎没有好办法！
另外，你这个系统没有激励项，研究它有什么意义吗？如果有激励项，那么这里面就会有多种内共振、超谐、亚谐、主共振等等，非常麻烦！

咕噜噜 · 发表于 2007-4-28 12:21

呵呵，我是这么想的啊，如果连自由振动（我计算是去掉了最后一个方程右边的扭矩(R/T）都还没有搞清楚就做强迫振动分析（有激励）是不是过于草率，因为我觉得自由振动毕竟是系统本征特征的描述，还是要首先考虑一下的啊，再说如果我自由振动都解不出来估计加上激励更解不出来，
^_^，别笑我，我可能说得不对

wanyeqing2003 · 发表于 2007-4-28 14:24

数值方法，可以用线性加速度积分法解答。

咕噜噜 · 发表于 2007-4-28 15:25

线性加速度积分法？不是很明白，能不能给我大概介绍一下，我好像没见过这个

gghhjj · 发表于 2007-4-29 06:58

原帖由 shenyongjun 于 2007-4-28 09:12 发表

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感觉求近似解几乎不可能！
对于非线性系统来说，2个自由度就算作多自由度系统。研究2个自由度的系统利用多尺度法有一些现成的例子，但是三个自由度的非线性系统，利用近似解析法来研究的结果非常少见！4个 ...

从目前的报道来看，从解析的角度已经能够完全解决3个自由度的分析问题，比如同宿轨道、异宿轨道，不过极其的复杂
4个自由度或者更多自由度的还在研究中，一般还只能解决某些特殊情况下的求解问题

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