生活中的对称与不对称

simon21

　　陈熙谋

　　人类在长期的保存个体、繁衍种族这种极为低下的生产水平和生活水平的斗争中不断发展;随着生产水平和生活水平不断提高，逐渐发展起对美和美感的追求，并逐惭开始去思考美和探索美。对称性就是人类对美的思考和探索之一。

　　人们在自己的实践中相继发现了一些能引起自己欢快愉悦感受的因素，把它们称作具有对称性，即具有对称性的形体是美的。例如花朵，一朵有5个花瓣的花绕它的轴旋转一周，有5个位置看上去是完全一样的，它给人以匀称的感受;一个圆形则旋转任意的角度保持形状不变，它具有更大的旋转对称性。又例如人体或一些动物的形体一边与另一边完全相同，可以折叠重合，它具有左右对称，它也给人以匀称和均衡的感觉。再例如竹节或串珠，平行移动一定的间隔，图形完全重复，它具有平移对称性，它给人以连贯、流畅的感受。久而久之，这些对称性的感受逐惭成为一项美学准则，广泛应用于建筑、造型艺术、绘画以及工艺美术的装饰之中。你可以从许多中、外著名的建筑、艺术珍品中看到。天坛的建筑、天安门的建筑、颐和园长廊的建筑以及各种花瓶、古人饮酒的爵和各种花边等等是旋转对称、左右对称和平移对称的典型例子。

　　这些对称美给人以匀称、均衡、连贯、流畅的感受，因而体现着一种娴静、稳重、庄严，但却也显得有些平淡、单调、缺乏生机和妙趣横生，这是因为对称性并没有包揽美的全部。人们发现，美除了对称之外，还需要蜿蜒曲折、错落有致、此起彼伏，美是对称与不对称结合的表现。你看那起伏于山峦间蜿蜒曲折层层叠起的长城峰火台构成的美景不是给人以宏伟、博大、气势磅礴而又峰回路转、巧夺天工的美的感觉吗!

　　美更是现代人的追求。美吸引着各行各业的人去创造美好的人生，享受美好的生活。

　　物理学中的形体对称性

　　物理学的研究中也注意到形体上的对称性。形体上的对称性常常使得我们可以不必精确地去求解就可以获得一些知识，使问题得以简化，甚至使得某些颇难解的问题迎刃而解。例如一个无阻力的单摆摆动起来，其左右是对称的，不必求解就可以知道，向左边摆动的高度与右边摆边的高度一定是相等的，从中间平衡位置向左摆到最高点的时间一定等于从中间平衡位置向右摆到最高点的时间，平衡位置两边等当位置处摆球的速度和加速度的大小必定是相等的，等等。再例如一张无限大平面方格子的导体网络，方格子每一边的电阻是r，在这张方格子网络的中间相邻格点连出两条导线，问这两条导线之间的等效电阻是多少?这个问题看上去似乎很难求解，它涉及到无穷多个回路和无穷多个节点，要用直流电路中普遍的基尔霍夫方程组将得到无穷多个方程，难以求解。然而这一无穷的方格子网络具有形体上的对称性，利用对称性分析，求解变得相当简单。设想用一根导线连接到一个格点，通以电I，电流从网络的边缘流出，由于从该格点向四边流过的电流具有对称性，因此流过与该可知点连接的每一边的电流必定是I/4。再设想电流I从网络的边缘流入，再从网络中心的一个格点上连接的一条导线从上流出，根据同样的对称性分析，流过与该格点连接的每一边的电流也必定是I/4。我们要求解的情形正是这两种情形的叠加，电流I从连接到一个格点的导线流入，从连到相邻格点的导线流出，而在网络边缘，两种情形流出和流入的电流相互抵消。结果在连接导线的两相邻格点之间的那条边上通过的电流是上述两种情形的叠加，即为I/2，这条边的电阻是r，这意味剩下的电流I/2通过其它边，它相应的电阻应是r，换句话说，从相邻格点来看，这一无穷方格子网络的等效电阻是两个阻值为r 的并联，其等效电阻为r/2。由此可以看出，对称性分析在物理学中非常有用，一旦明确了具有对称性，问题常常变得简单可解。

　　在物理学中，还利用形体上的对称性来研究晶体的分类等物理问题，并取得丰硕的成果。

　　物理规律的对称性

　　对称性的概念是否能进一步拓宽呢?在这里，我们需要把对称性概念更加精确休。我们把事物的一种情况变化到另一种情况叫做变换(操作)。如果一个变换使事物的情况没有变化，或者说事物的情况在此变换下保持不变，我们就说这个事物对于这一变换是对称的。这个变换称为事物的对称变换。在前面举的形体对称性的例子中，旋转就是一种变换操作，一个有5个相同花瓣的花朵(如香港特区区旗上的紫荆花)绕垂直花面的轴旋转2π/5或2π/5整数倍角度，完全是一样的，没有什么变化，我们就说它具有2π/5旋转对称性。一个圆形则旋转任意角度保持形状不变，它具有更大的旋转对称性。相反地，一个圆形边缘上有一个点或有些残缺，这个点或残缺就能区分旋转前后的情况，我们就说它不具有旋转对称性或旋转对称性是破缺的。从左到右或从右到左的变换称为镜向变换，人体和动物形体具有镜向变换不变性。而竹节或串珠则具有空间平移不变性。某一对称性，即某一变换下的不变性，粗浅而形象地看，就是换一角度或换一场合来观察事物保持不变。在旋转对称性中，就是换一方向来观察，在镜向对称性中，是换到镜子里来观察，在空间平移对称性中，则是平移一位置来观察。

　　在上面谈到对称性的时候，提到的“事物”不一定限指一个具体物件的形体，物理学家更注意到物理规律的对称性。就拿牛顿定律来说吧，粗浅而形象地说，从不同的方向看，物体的运动都遵从牛顿定律，牛顿定律具有旋转对称性;镜子里和镜子外物体的运动都遵从牛顿定律，牛顿定律具有镜向对称性(或空间反射对性);在不同的时间，昨天、今天或明天，物体的运动也都遵从牛顿定律，牛顿定律具有时间平移对称性，等等。其他已知的物理定律也都具有类似的情况。

　　物理定律的这些对称性是偶然的吗?是无关紧要的吗，还是它意味着同物理定律本身有着某种更深刻更紧密的联系?这个问题在本世纪以前似乎没有注意到，本世纪开拓了许多新的物理研究领域，在探索其中的物理定律的研究中，这个问题变得突出地重要了。

　　爱因斯坦把对称性推上主角

　　1905年，爱因斯坦发表了一篇具有划时代意义的论文，建立了狭义相对论，论文的题目是“论动体的电动力学”。论文中，爱因斯坦提出相对性原理和光速不变原理，在此基础上导出洛伦兹变换，得到一系列不同于牛顿力学的得要结论;不久，爱因斯坦又得出了质能关系。这些不同于牛顿力学的得要结论改变了人们的时空观，统一了力学和电磁学，解决了许多重要的物理问题，并且还带给人类释放核能。这样的巨大的实用价值。这一系列的具体结论无疑是十分重要的，人们常常仅仅是注重狭义相对论的这些具体结论，而忽略了爱因斯坦在思考问题和研究问题上对人类作出的巨大贡献，这就是他提示了物理规律上的一种新的对称性，并且认识到对称性是制约物理规律的利器，从而把对称性推到物理基础研究的主角地位。

　　这一新的对称性就是物理定律的洛伦兹变换不变性，即物理定律必须具有洛伦兹变换下的不变性，也就是说从不同惯性系来看物理定律的形式保持不变。从内容上说，它无非就是相对性原理内容的重复表述，似乎一点也不起眼;然而从探索物理基本定律的高度来看，洛伦兹不变性实在是对物理定律的形式所加的一条强有力的限制，物理定律的形式必须受到洛伦兹变换不变性的制约。爱因斯坦审查了电磁学的麦克斯韦方程组。它确实是洛伦兹不变性的;而牛顿定律不是洛伦兹不变性的，它必须改造以符合洛伦兹不变性的要求，对它的改造则获得相对论的力学定律。

　　以后，爱因斯坦认识到狭义相对论还存在某些不足，它不过是必然发展过程的第一步，一方面狭义相对论否定了一个特别优越的参考第(绝对静止的惯性系)，但是它却肯定了一类特别优越的参考系，那就是惯性系，它比非惯性要更优越，其中的物理规律的形式特别简捷，这表明狭义相对论在运动的相对性上还不够彻底;另一方面狭义相对论在整个物理学中排除了超距作用，而牛顿引力定律的表述是超距作用的。作为力学重要研究课题的引力问题还不能在狭义相对认论中予以处理，因此需要发展一种把引力 问题纳入且能回答是否存在特别优越参考系的更为广泛的相对论。

　　爱因斯坦在建立狭义相对论中领悟了对称性的威力，他就去寻找一种新的对称性来发展他的广义相对论。他终于从伽利略时代已经知道一切物体的重力加速度均相同的物理事实中凝炼出这一新的对称性。爱因斯坦设想一个观察者在密封的升降机里做实验，一种情形是升降机静止在地面(地球看作是惯 性系)上，其中存在地球的引力场，任何物体的重力加速度均相等为g;另一种情形是升降机远离一切物体，即处于没有引力场的地方，相对于某个惯性系以加速度g上升，它是一具非惯性系。在这两种情形下，观察者测得物体下落的加速度都是g，他观察到的力学现象都相同，他无法断定他所在的参考系究竟是引力场的惯性系，还是并无引力的非惯性系。这表明引力场作用的效果可以等效地用加速参考系来描述，爱因斯坦把它称为等效原理。根据等效原理，非惯性系与引力场等价，非惯性系与惯性系没有原则性的区别。它们都可以同样好地用来描述物体的运动，没有哪一个比另一个更优越，由此爱因斯坦把相对性原理进一步推广，一切参考系都是等价的，物理定律应该具有广义的时空坐标变换的不变性，而洛伦兹不变性只是它的一个特例。爱因斯坦在等效原理和广义协变原理的基础上建立起广义相对论。

　　爱因斯坦的对称性制约物理定律的思想可以说是二十世纪物理基础研究方法上的一大飞跃，他为物理学基础树立了一个光辉的典范。二十世纪以前，在力学方面从古希腊时期开始，人们研究物体的运动、行星的运动、杠杆、滑轮，逐惭获得一些具体的结论，在同错误的斗争中获得的力学知识日益增多，经过漫长的历史发展，到十七世纪八十年代才由牛顿总结出力学的基本定律;在电磁学方面，也是从古希腊时期开始，人们发现摩擦起电、磁石吸铁，以后研究静电感应、莱登瓶放电、电流的磁效应等等，积累了许多关于电荷相互作用、电流产生磁、磁产生电方面的知识，经过漫长的历史发展，到十九世纪六十年代才由麦克斯韦总结出电磁场的基本方程组。二十世纪以前的物理基础研究路线可以概括为从一些具体事物入手研究它们的具体规律，经过漫长的历史发展，积累到一定程度才由某个伟大的物理学家，总结前人研究成果得到该领域的物理基本定律，这些物理基本定律的广泛应用更加丰富了人们的认识，也包括对物理基本定律的认识。爱因斯坦的研究方法与此有着根本的不同，它不是从琐碎的具体问题入手，而是一开始就从研究物理定律应有的对称性入手，找出这些对称性来，然后根据对称性确定物理定律的形式，这是二十世纪以来物理基础研究的路线。这一现代物理基础研究的路线充分体现了物理学中崇尚理性的威力，它不是从众多 具体而琐碎的事物中一点一滴地积累材料，然后再整理出事物的基本定律，而是一开始就从整体上寻找制约事物基本定律的普遍原则，从中得出事物的基本定律，这就大大地缩短了探索事物基本定律的历程，物理基础研究的高速发展与此不无关系。

　　

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simon21

　　对称性与最小作用原理

　　物理学中有一些规律属于基本定律，它们具有支配全局的性质，掌握它们显然是极端重要的。例如力学中的牛顿定律是质点、质点组机械运动(非相对论)的基本定律，电磁学的麦克斯韦方程组是电磁场分布、变化的基本定律，物理学中还有另外一种基本定律的表述形式，这就是最小作用原理(变分原理)，它可表述为系统的各种相邻的经历中，真实经历使作用量取极值。可以看出最小作用原理的表述形式与牛顿定律、麦克斯韦方程组的表述形式极不相 同。牛顿定律告诉我们，质点此时此刻的加速度由它此时此刻所受的力和它的质量的比值决定;麦克斯韦方程组告诉我们，此时此刻的电场分布由此时此刻的电荷分布以及此时此刻的磁场的变化决定，此时此刻的磁场分布由此时此刻的电流分布以及此时此刻的电场的变化决定，它们以微分方程 式的形式出现，指明所研究系统(质点或场)的状态在其真实经历中是如何随时间变化的。而最小作用原理则告诉我们，系统的各种可能的经历中，真实的经历总是使作用量取极值。牛顿定律和麦克斯韦方程组把注意力集中在每一时刻系统所处的状态，而最小作用原理则是总观系统的各种可能的 经历，并用作用量取极值挑选出真实的经历来。可以看出牛顿定律和麦克斯韦方程组比较具体细致，而最小作用原理则比较抽象含蓄。正是最小作用原理比较抽象含蓄，它概括的面更广泛，不仅适用于机械运动(非相对论)场合，可以导出牛顿定律;而且也适合于电磁场场合，可以导出麦克斯韦方程组;甚至它还可以适合其他场合，导出物理学其他领域的基本定律。可见最小作用原理才是综合整个物理学的真正的基本定律。

　　根据最小作用原理导出各个领域的具体基本定律的方法就是先找出系统不同经历的作用量来，然后从中选择出相对邻近的经历作用量取极值的经历，它就是真实的经历，其中隐含了系统变化的基本定律。在这点，要找出游同经历的作用量，对称性分析起着决定性的作用，对称性制约物理定律的形式得到最好的体现。如果一具研究领域内的全部对称性已经清楚，则作用量可以完全被确定，从而也就可以得出这个领域的基本定律。例如在非相对论力学范围内，根据空间各向同性、空间平移不变性、时间平移 不变性和伽利略变换不变性，可以找出作用量等于系统的动 能减去势能对经历的累加，由此可导出牛顿定律。

　　由于存在最小作用原理，对称性在物理基础研究中显示出其重要地位。物理学家通过对称性分析找出不同经历的作用量，从而确定具体领域的基本定律。物理学家们研究一个新的领域，常常是试探地分析其中的对称性，在描述这个世界的作用量公式中增加一些描述新领域的项，从而得到该领域的新的基本定律。

　　对称性与守恒定律

　　对称性制约作用量的形式，然而物理学家并不可能先验地知道我们这个世界所涉及到的全部对称性，而已经确实知道的对称性又不足以完全确定作用量的形式。尽管作用量可能具有的形式已经大大受到限制，但他们仍然可以具有许许多多种可能的形式，物理学家们不得不采用试探性的方法，根据物理上的可能性依次考察每一个作用量的候选者，这种试探性的方法艰巨而繁难，而且很难说是有成效的。1916年诺 特(A·E·Noether)提出一个著名定理，给探寻作用量的形式带来了曙光。

　　诺 特定理是说，作用量的每一种对称性都对应一个守恒定律，有一个守恒量。对称和守恒这两个得要概念是紧密地联系在一起的。

　　在经典力学中，我们所熟悉的这种对应关系是;时间平移对称性(时间平移不变性)对应于能量守恒;空间旋转对称性(空间各向同性)对应于角动量守恒。我们可以用浅显的例子加以说明。先看时间平移对称性和能量守恒。时间平移对称性要求物理定律不随时间变化，即昨天、今天和明天的物理定律都应该是相同的。如果物理定律随时间变化，例如重力法则随时间变化，那还想利用重力随时间的可变性，就可以在重力变弱时把水提升到蓄水池中去，所需做的功较少;在重力变强时把蓄水池中的水泄放出来，利用水力发电，释放出较多的能量，这是一架不折不扣的能创造出能量的第一类永动机，这是与能量守恒定律相违背的，这就清楚地说明时间平移对称性与能量守恒之间的联系。再看空间平移对称性与动量守恒。考虑两个质点组成的系统，它们的相互作用热能为U，U是这两个质点位置r1、r2的函数，U(r1、r2 )，由于物理定律具有空间平移对称性，质点的绝对位置是一个不可观测量，质点间的相互作用势能只能依赖质点间的相对位置，即U(r1-r2 )。将质点1和质点2移动相同的小量，相互作用热能U不变，则相互作用力做功的总和为零。由于位移相同，因此相互作用力之和为零，即两个质点之间的作用力与反作用力大小相等，方向相反，且在一条直线上，这正是牛顿每三定律。而我们知道，在力学范围内牛顿第三定律与动量守恒是互为因果的。可见空间平移对称性与能量守恒之间的联系。至于空间各向同性与角动量守恒，考虑两个质点组成的系统，固定质点1，将质点2以质点1为中心移动一小段弧长S，如果相互作用力存在切向力分量，则相互作用热能改变为U=f切S。空是各向同性意味着两个质点相互作用势能只与它们之间的距离有关，与两者联线在空间的取向无关，所以移动操作不改变相互作用热能，从而U=0，于是相互用力切向分量f切 =0，或者说两质点的相互作用力沿两者的联线，这与“角动量守恒”是等价的，从而空间各向同性与角动量守恒是联系在一起的。

　　诺特定理引导物理学家们去寻找新领域中的守恒定律和守恒量，由此确定其中的对称性，从而获得作用量的形式和基本定律;反过来，如果知道了使一个给定的作用量保持不变的对称变换，从而也就可以知道相应的守恒定律和守恒量。这样使得物理学的基础研究有法可循而变得富有成效。

　　二十世纪三十年代以后，由于加速机器技术和探测技术的发展，利用粒子的碰撞和粒子相互作用的衰变，实验物理学家相继发现了许多新粒子，这些粒子中只有极少数的几个是理论上预言的，绝大多数的粒子是突出其来的，它们在性质上和相互关系上表现出极大的差别，极大地丰富了人们对于粒子世界的认识，形成了庞大的粒子物理领域。而对如此庞大的粒子家庭，亟须把它们整理出次序来。物理学家们分析实验资料，找出许多守恒量和守恒定律，这些为认识粒子世界的对称性和探索其中的基本定律准备了条件。

　　对称性的凯旋

　　到二十世纪中叶，粒子世界呈现出非常复杂的局面，粒子数目众多，而且实验上发现和确证的粒子还在不断地增加，粒子之间的相互作用有电磁作用、引力作用、强作用、弱作用四种，它们的区别很大，电磁作用和引力作用是长程力，强作用和弱作用是短程力，它们的强度差别非常大，强作用最强，电磁作用次之，弱作用更次，引力作用最弱，在粒子物理中引力作用可以不考虑。对于电磁作用，已经建立起量子电动力学，它是物理学中最成功的理论。在这个理论中，力的传递者是电磁场，场的量子是光子，电磁作用是通过交换光子而传递的，光子的静质量为零，与电磁作用的长程性联系在一起。关于弱作用，在弱作用宇称不守恒基础上发展了弱作用的中间玻色子理论，认为弱作用是交换中间玻色子W±而传递的，中间玻色子的质量很大，与电磁作用中的光子不同，它是与弱作用的短程性联系在一起。

　　人们研究发现，这四种相互作用所遵从的守恒定律不同，强作用具有的守恒量最多，电磁作用次之，弱作用更次，这表明它们具有的对称性是不同的。对称性概念似乎不是严格的，因此有人怀疑对称性概念是否普遍有效。1954年，杨振宁和米尔斯以一种并非象历史上的情况那样受到实验观察的启示，而是以统一的美学原则为基础，提出各种作用都可以适用的新的对称性，称为阿贝尔群规范对称，它是一种精确的定域规范变换对称性。它要求存在一个场，称为规范场。对于电磁作用，这一规范场就是电磁场，相应的量子(称为规范玻色子)就是无静质量的光子。规范场可以是多自由度的，对每个自由度有相应的规范场。这样，这种精确对称性的存在就意味着存在许多组特性完全相同的、质量均为零的粒子。然而在现实世界里，除了电磁作用的光子之外，人们没有见到其他质量为零的规范玻色子。因此，杨一米尔斯理论尽管很优美，但它似乎毫无用处。

　　对称是美的，完美的对称只有唯一的一种相互作用，世界也就变得单调而乏味。1964年希格斯找到了使规范粒子获得质量的途径，他得出，描述规范场与其他场相互作用的方程式具有杨一米尔斯对称性，但其解描述真实世界表现出不对称性，这种对称性方程的不对称解称为“自发破缺的对称性”，对称性自发破缺使规范粒子获得质量。1967年温柏格了萨拉姆各自独立地抓住对称性自发破缺的思想，在格拉肖电弱统一模型的基础上构思了统一电磁作用和弱作用的规范场理论，其基本思想是电磁作用和弱作用本来属于具有有一种对称性的统一的相互作用，这种相互作用通过交换四种规范粒子来传递，它们的质量均为零，在能量较低的范围，对称性自发破缺了，其中一种规范粒子仍然是无质量的，它就是传递电磁作用的光子，另外三种都获得较大的质量，质量大约是质子的100倍，它们是传递弱作用的W± 和Z0粒子。1983年电弱统一理论预言的结果被实验证实。格拉肖、温伯格了萨拉姆的电弱统一理论获得极大的成功。

　　电弱统一理论是对称性在物理基础研究中的一次伟大胜利，它鼓舞物理学家们进而研究包括强作用的大统一理论，以及把四种相互作用都统一起来的超对称大统一理论。对称性概念将近一步发展，并将进一步扩大其胜利成果。