HILBERT在１９００年提出的那23个问题

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希尔伯特（Ｈｉｌｂｅｒｔ　Ｄ·，１８６２．１．２３￣１９４３．２．１４）是二十世纪上半叶德国乃至全世界最伟大的数学家之一。他在横跨两个世纪的六十年的研究生涯中，几乎走遍了现代数学所有前沿阵地，从而把他的思想深深地渗透进了整个现代数学。希尔伯特是哥廷根数学学派的核心，他以其勤奋的工作和真诚的个人品质吸引了来自世界各地的年青学者，使哥廷根的传统在世界产生影响。希尔伯特去世时，德国《自然》杂志发表过这样的观点：现在世界上难得有一位数学家的工作不是以某种途径导源于希尔伯特的工作。他像是数学世界的亚历山大，在整个数学版图上，留下了他那显赫的名字。

　　１９００年，希尔伯特在巴黎数学家大会上提出了２３个最重要的问题供二十世纪的数学家们去研究，这就是著名的"希尔伯特２３个问题"。

　　１９７５年，在美国伊利诺斯大学召开的一次国际数学会议上，数学家们回顾了四分之三个世纪以来希尔伯特２３个问题的研究进展情况。当时统计，约有一半问题已经解决了，其余一半的大多数也都有重大进展。

　　１９７６年，在美国数学家评选的自１９４０年以来美国数学的十大成就中，有三项就是希尔伯特第１、第５、第１０问题的解决。由此可见，能解决希尔伯特问题，是当代数学家的无上光荣。

　　下面摘录的是１９８７年出版的《数学家小辞典》以及其它一些文献中收集的希尔伯特２３个问题及其解决情况：

　　１．连续统假设

　　１８７４年，康托猜测在可列集基数和实数基数之间没有别的基数，这就是著名的连续统假设。１９３８年，哥德尔证明了连续统假设和世界公认的策梅洛－－弗伦克尔集合论公理系统的无矛盾性。１９６３年，美国数学家科亨证明连续假设和策梅洛－－伦克尔集合论公理是彼此独立的。因此，连续统假设不能在策梅洛－－弗伦克尔公理体系内证明其正确性与否。希尔伯特第１问题在这个意义上已获解决　

　　２．算术公理的相容性

　　欧几里得几何的相容性可归结为算术公理的相容性。希尔伯特曾提出用形式主义计划的证明论方法加以证明。１９３１年，哥德尔发表的不完备性定理否定了这种看法。１９３６年德国数学家根茨在使用超限归纳法的条件下证明了算术公理的相容性　

　　１９８８年出版的《中国大百科全书》数学卷指出，数学相容性问题尚未解决。

　　３．两个等底等高四面体的体积相等问题

　　问题的意思是，存在两个等边等高的四面体，它们不可分解为有限个小四面体，使这两组四面体彼此全等。Ｍ·Ｗ·德恩１９００年即对此问题给出了肯定解答。

　　４．两点间以直线为距离最短线问题

　　此问题提得过于一般。满足此性质的几何学很多，因而需增加某些限制条件。１９７３年，苏联数学家波格列洛夫宣布，在对称距离情况下，问题获得解决。

　　《中国大百科全书》说，在希尔伯特之后，在构造与探讨各种特殊度量几何方面有许多进展，但问题并未解决。

　　５．一个连续变换群的李氏概念，定义这个群的函数不假定是可微的

　　这个问题简称连续群的解析性，即：是否每一个局部欧氏群都有一定是李群？中间经冯·诺伊曼（１９３３，对紧群情形）、邦德里雅金（１９３９，对交换群情形）、谢瓦荚（１９４１，对可解群情形）的努力，１９５２年由格利森、蒙哥马利、齐宾共同解决，得到了完全肯定的结果　

　　６．物理学的公理化

　　希尔伯特建议用数学的公理化方法推演出全部物理，首先是概率和力学。１９３３年，苏联数学家柯尔莫哥洛夫实现了将概率论公理化。后来在量子力学、量子场论方面取得了很大成功。但是物理学是否能全盘公理化，很多人表示怀疑　

　　７．某些数的无理性与超越性

　　１９３４年，Ａ·Ｏ·盖尔方德和Ｔ·施奈德各自独立地解决了问题的后半部分，即对于任意代数数α≠０
　　，１，和任意代数无理数β证明了αβ的超越性　

　　８．素数问题

　　包括黎曼猜想、哥德巴赫猜想及孪生素数问题等。一般情况下的黎曼猜想仍待解决。哥德巴赫猜想的最佳结果属于陈景润（１９６６），但离最解决尚有距离。目前孪生素数问题的最佳结果也属于陈景润。

　　９．在任意数域中证明最一般的互反律

　　该问题已由日本数学家高木贞治（１９２１）和德国数学家Ｅ·阿廷（１９２７）解决。

　　１０．丢番图方程的可解性

　　能求出一个整系数方程的整数根，称为丢番图方程可解。希尔伯特问，能否用一种由有限步构成的一般算法判断一个丢番图方程的可解性？１９７０年，苏联的ＩＯ·Ｂ·马季亚谢维奇证明了希尔伯特所期望的算法不存在　

　　１１．系数为任意代数数的二次型

　　Ｈ·哈塞（１９２９）和Ｃ·Ｌ·西格尔（１９３６，１９５１）在这个问题上获得重要结果。

　　１２．将阿贝尔域上的克罗克定理推广到任意的代数有理域上去

　　这一问题只有一些零星的结果，离彻底解决还相差很远。

　　１３．不可能用只有两个变数的函数解一般的七次方程

　　七次方程的根依赖于３个参数ａ、ｂ、ｃ，即ｘ＝ｘ（ａ，ｂ，ｃ）。这个函数能否用二元函数表示出来？苏联数学家阿诺尔德解决了连续函数的情形（１９５７），维士斯金又把它推广到了连续可微函数的情形（１９６４）。但如果要求是解析函数，则问题尚未解决。

　　１４．证明某类完备函数系的有限性

　　这和代数不变量问题有关。１９５８年，日本数学家永田雅宜给出了反例。

　　１５．舒伯特计数演算的严格基?

　　一个典型问题是：在三维空间中有四条直线，问有几条直线能和这四条直线都相交？舒伯特给出了一个直观解法。希尔伯特要求将问题一般化，并给以严格基础。现在已有了一些可计算的方法，它和代数几何学不密切联系。但严格的基础迄今仍未确立。

　　１６．代数曲线和代数曲线面的拓扑问题

　　这个问题分为两部分。前半部分涉及代数曲线含有闭的分枝曲线的最大数目。后半部分要求讨论

　　的极限环的最大个数和相对位置，其中Ｘ、Ｙ是ｘ、ｙ的ｎ次多项式。苏联的彼得罗夫斯基曾宣称证明了ｎ＝２时极限环的个数不超过３，但这一结论是错误的，已由中国数学家举出反例（１９７９）。

　　１７．半正定形式的平方和表示

　　一个实系数ｎ元多项式对一切数组（ｘ１，ｘ２，。。。，ｘｎ）

　　都恒大于或等于０，是否都能写成平方和的形式？１９２７年阿廷证明这是对的。

　　１８．用全等多面体构造空间

　　由德国数学家比勃马赫（１９１０）、荚因哈特（１９２８）作出部分解决。

　　１９．正则变分问题的解是否一定解析

　　对这一问题的研究很少。Ｃ·Ｈ·伯恩斯坦和彼得罗夫斯基等得出了一些结果。

　　２０．一般边值问题

　　这一问题进展十分迅速，已成为一个很大的数学分支。目前还在继续研究。

　　２１．具有给定单值群的线性微分方程解的存在性证明

　　已由希尔伯特本人（１９０５）和Ｈ·罗尔（１９５７）的工作解决。

　　２２．由自守函数构成的解析函数的单值化

　　它涉及艰辛的黎曼曲面论，１９０７年Ｐ·克伯获重要突破，其他方面尚未解决。

　　２３．变分法的进一步发展出

　　这并不是一个明确的数学问题，只是谈了对变分法的一般看法。２０世纪以来变分法有了很大的发展。

　　这２３问题涉及现代数学大部分重要领域，推动了２０世纪数学的发展

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希尔伯特23个数学问题及其解决情况


（1）康托的连续统基数问题。
1874年，康托猜测在可数集基数和实数集基数之间没有别的基数，即著名的连续统假设。1938年，侨居美国的奥地利数理逻辑学家哥德尔证明连续统假设与ZF集合论公理系统的无矛盾性。1963年，美国数学家科思（P.Choen）证明连续统假设与ZF公理彼此独立。因而，连续统假设不能用ZF公理加以证明。在这个意义下，问题已获解决。
（2）算术公理系统的无矛盾性。
欧氏几何的无矛盾性可以归结为算术公理的无矛盾性。希尔伯特曾提出用形式主义计划的证明论方法加以证明，哥德尔1931年发表不完备性定理作出否定。根茨（G.Gentaen，1909-1945）1936年使用超限归纳法证明了算术公理系统的无矛盾性。
（3）只根据合同公理证明等底等高的两个四面体有相等之体积是不可能的。
问题的意思是：存在两个登高等底的四面体，它们不可能分解为有限个小四面体，使这两组四面体彼此全等德思（M.Dehn）1900年已解决。
（4）两点间以直线为距离最短线问题。
此问题提的一般。满足此性质的几何很多，因而需要加以某些限制条件。1973年，苏联数学家波格列洛夫（Pogleov）宣布，在对称距离情况下，问题获解决。
（5）拓扑学成为李群的条件（拓扑群）。
这一个问题简称连续群的解析性，即是否每一个局部欧氏群都一定是李群。1952年，由格里森（Gleason）、蒙哥马利（Montgomery）、齐宾（Zippin）共同解决。1953年，日本的山迈英彦已得到完全肯定的结果。
（6）对数学起重要作用的物理学的公理化。
1933年，苏联数学家柯尔莫哥洛夫将概率论公理化。后来，在量子力学、量子场论方面取得成功。但对物理学各个分支能否全盘公理化，很多人有怀疑。
（7）某些数的超越性的证明。
需证：如果α是代数数，β是无理数的代数数，那么αβ一定是超越数或至少是无理数（例如，2√2和eπ）。苏联的盖尔封特（Gelfond）1929年、德国的施奈德（Schneider）及西格尔（Siegel）1935年分别独立地证明了其正确性。但超越数理论还远未完成。目前，确定所给的数是否超越数，尚无统一的方法。
（8）素数分布问题，尤其对黎曼猜想、哥德巴赫猜想和孪生素共问题。
素数是一个很古老的研究领域。希尔伯特在此提到黎曼（Riemann）猜想、哥德巴赫（Goldbach）猜想以及孪生素数问题。黎曼猜想至今未解决。哥德巴赫猜想和孪生素数问题目前也未最终解决，其最佳结果均属中国数学家陈景润。
（9）一般互反律在任意数域中的证明。
1921年由日本的高木贞治，1927年由德国的阿廷（E.Artin）各自给以基本解决。而类域理论至今还在发展之中。
（10）能否通过有限步骤来判定不定方程是否存在有理整数解？
求出一个整数系数方程的整数根，称为丢番图（约210-290，古希腊数学家）方程可解。1950年前后，美国数学家戴维斯（Davis）、普特南（Putnan）、罗宾逊（Robinson）等取得关键性突破。1970年，巴克尔（Baker）、费罗斯（Philos）对含两个未知数的方程取得肯定结论。1970年。苏联数学家马蒂塞维奇最终证明：在一般情况答案是否定的。尽管得出了否定的结果，却产生了一系列很有价值的副产品，其中不少和计算机科学有密切联系。
（11）一般代数数域内的二次型论。
德国数学家哈塞（Hasse）和西格尔（Siegel）在20年代获重要结果。60年代，法国数学家魏依（A.Weil）取得了新进展。
（12）类域的构成问题。
即将阿贝尔域上的克罗内克定理推广到任意的代数有理域上去。此问题仅有一些零星结果，离彻底解决还很远。
（13）一般七次代数方程以二变量连续函数之组合求解的不可能性。
七次方程x7+ax3+bx2+cx+1=0的根依赖于3个参数a、b、c；x=x(a,b,c)。这一函数能否用两变量函数表示出来？此问题已接近解决。1957年，苏联数学家阿诺尔德（Arnold）证明了任一在［0，1］上连续的实函数f(x1，x2，x3)可写成形式∑hi(ξi(x1,x2),x3)(i=1--9)，这里hi和ξi为连续实函数。柯尔莫哥洛夫证明f(x1，x2，x3)可写成形式∑hi(ξi1(x1)+ξi2(x2)+ξi3(x3))(i=1--7)这里hi和ξi为连续实函数，ξij的选取可与f完全无关。1964年，维土斯金（Vituskin）推广到连续可微情形，对解析函数情形则未解决。
（14）某些完备函数系的有限的证明。
即域K上的以x1,x2,…,xn为自变量的多项式fi（i=1,…，m），R为K［X1，…，Xm]上的有理函数F（X1，…，Xm）构成的环，并且F（f1，…，fm）∈K[x1，…，xm]试问R是否可由有限个元素F1，…，FN的多项式生成？这个与代数不变量问题有关的问题，日本数学家永田雅宜于1959年用漂亮的反例给出了否定的解决。
（15）建立代数几何学的基础。
荷兰数学家范德瓦尔登1938年至1940年，魏依1950年已解决。
（15）注一舒伯特（Schubert）计数演算的严格基础。
一个典型的问题是：在三维空间中有四条直线，问有几条直线能和这四条直线都相交？舒伯特给出了一个直观的解法。希尔伯特要求将问题一般化，并给以严格基础。现在已有了一些可计算的方法，它和代数几何学有密切的关系。但严格的基础至今仍未建立。
（16）代数曲线和曲面的拓扑研究。
此问题前半部涉及代数曲线含有闭的分枝曲线的最大数目。后半部要求讨论备dx/dy=Y/X的极限环的最多个数N（n）和相对位置，其中X、Y是x、y的n次多项式。对n=2（即二次系统）的情况，1934年福罗献尔得到N(2)≥1；1952年鲍廷得到N(2)≥3；1955年苏联的波德洛夫斯基宣布N(2)≤3，这个曾震动一时的结果，由于其中的若干引理被否定而成疑问。关于相对位置，中国数学家董金柱、叶彦谦1957年证明了（E2）不超过两串。1957年，中国数学家秦元勋和蒲富金具体给出了n＝2的方程具有至少3个成串极限环的实例。1978年，中国的史松龄在秦元勋、华罗庚的指导下，与王明淑分别举出至少有4个极限环的具体例子。1983年，秦元勋进一步证明了二次系统最多有4个极限环，并且是（1，3）结构，从而最终地解决了二次微分方程的解的结构问题，并为研究希尔伯特第（16）问题提供了新的途径。
（17）半正定形式的平方和表示。
实系数有理函数f(x1,…，xn)对任意数组（x1，…,xn）都恒大于或等于0，确定f是否都能写成有理函数的平方和？1927年阿廷已肯定地解决。
（18）用全等多面体构造空间。
德国数学家比贝尔巴赫（Bieberbach）1910年，莱因哈特（Reinhart）1928年作出部分解决。
（19）正则变分问题的解是否总是解析函数？
德国数学家伯恩斯坦（Bernrtein，1929）和苏联数学家彼德罗夫斯基（1939）已解决。
（20）研究一般边值问题。
此问题进展迅速，己成为一个很大的数学分支。日前还在继读发展。
（21）具有给定奇点和单值群的Fuchs类的线性微分方程解的存在性证明。
此问题属线性常微分方程的大范围理论。希尔伯特本人于1905年、勒尔（H.Rohrl）于1957年分别得出重要结果。1970年法国数学家德利涅（Deligne）作出了出色贡献。
（22）用自守函数将解析函数单值化。
此问题涉及艰深的黎曼曲面理论，1907年克伯（P.Koebe）对一个变量情形已解决而使问题的研究获重要突破。其它方面尚未解决。
（23）发展变分学方法的研究。
这不是一个明确的数学问题。20世纪变分法有了很大发展。
可见，希尔伯特提出的问题是相当艰深的。正因为艰深，才吸引有志之士去作巨大

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“６．物理学的公理化

　　希尔伯特建议用数学的公理化方法推演出全部物理，首先是概率和力学。１９３３年，苏联数学家柯尔莫哥洛夫实现了将概率论公理化。后来在量子力学、量子场论方面取得了很大成功。但是物理学是否能全盘公理化，很多人表示怀疑”

力学中的很多表述，在数学上是很不严密的，尤其是中国的教材内尤其严重。　

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大牛啊，牛