全局雷诺数(global)及当地雷诺数(local)与湍流转捩的关系

weixin

湍流研究进行了近140年（从雷诺实验1883年算起），直到今天湍流转捩的物理机理才逐渐清楚。理论和实验以及直接数值模拟 (DNS) 证明，湍流转捩是流场中Navier-Stokes 方程的奇点（速度间断）产生而导致的[1-5]。湍流转捩的准则表述为：湍流转捩/湍流产生的必要及充分条件是流场中出现Naver-Stokes方程的奇点（即速度发生间断）[1]。这是迄今为止，唯一的一个完全根据第一性原理得到的湍流转捩的准则，而且理论与实验和DNS的结果取得了完美的一致。文献中其他的若干判断湍流转捩的公式，那不是准则，而是半经验公式。

需要指出，上述湍流转捩的准则是牛顿力学（连续力学下的质量、动量、能量守恒）框架下的一个通用 (universal) 准则。对牛顿流动，粘弹性流动，弹性流动，磁流体湍流等，都是适用的。其基本原理是，作用于流体微团上的任何力，包括惯性力、弹性力、电磁力等等，它们的作用最后都转化为引起流体机械能的变化，从而引起流场中某些位置上的速度间断，导致湍流。湍流与层流相比，湍流产生是需要更多的能量的，对“准平衡”湍流，湍流所多耗散的能量与湍流从主流所获得的能量是相等的，以能量为主线，分析湍流的生成、演化以及衰减，是合情合理的研究思路。

还需要强调的是，过去多少年来，流动稳定性和湍流转捩的概念存在混乱，有些文献把流动失稳和湍流转捩等同起来，认为流动失稳了，就发生湍流转捩了（我在博士研究生学习阶段看到的文献基本是这样的；直到现在许多新发表的论文还没有改变），这是完全错误的，应该进行澄清。出现这些现象的原因主要是人们还不知道湍流转捩是怎样发生的。

  · 首先，层流流动失稳发生后，并不一定能够出现湍流转捩。

  · 线性分析得到的流动稳定性准则不能当做湍流转捩的准则。

  · 层流的线性失稳不能导致湍流转捩，因为层流的线性失稳只能导致另一种层流（有谁证明过层流线性失稳后是湍流的？）。

  · 只有非线性失稳，才能导致湍流转捩。

  · 过去100多年来，通过线性稳定性分析和Reynolds-Orr扰动动能平衡准则得到的临界Re数，都与湍流转捩没有直接关系。

著名物理学家诺贝尔奖获得者海森堡 (Heisenberg) 1924年的工作，以及林家翘先生1944-1946年的流动稳定性的突破性工作，得到的结论都只是对层流的平面Poiseuille流动，在一个足够大的雷诺数下是会失稳的。林先生1944年得到临界雷诺数是8000，1946年改进的结果是5314。但是，并没有任何结论和迹象表明，这个层流失稳之后会转捩成为湍流，这一点需要澄清，也就是说他们的这些关于流动稳定性的工作与湍流转捩没有直接关系。这项工作源于，在上个世纪初层流到湍流的转捩的物理机理不清楚，科学家认为湍流转捩有可能是层流失稳造成的。1920年左右，著名物理学家索末菲 (Sommerfeld) 提出了这项工作，利用Navier-Stokes方程的小扰动的线性化方程，研究层流的平面Poiseuille流动，看看会不会失稳，海森堡进行了这项工作，其研究结果表明是会失稳的，还有一个大约为1000左右（波数为2.0左右）的临界雷诺数（注意这个雷诺数定义与林先生的不同），这就是海森堡的博士学位论文。

雷诺数（可以根据Navier-Stokes方程无因次化推导出）是一个流场的宏观物理量，严格来讲应该叫做global 雷诺数，它只反映了流动的宏观的表面现象，是对所给出的流动问题的流动状况的一个整体表征。多年来，大家只关注这个global雷诺数对流动的影响，而没有深挖其所导致的内部流动局部特性，没有真正理解湍流问题的实质。由于我们从表面上发现了global 雷诺数增大所引起的湍流转捩现象，而且满足于雷诺数对大多数湍流问题的定性一致性，这往往掩盖了藏在流动内部的秘密，这可能就是100多年来湍流问题不能解决的深度原因。

雷诺数可以分为全局雷诺数 (global Reynolds number) 及当地雷诺数 (local Reynolds number)。上面提到的以及我们教科书中所定义的都是全局雷诺数，2004年，窦华书提出了一个当地雷诺数或者叫局部雷诺数，就是能量梯度函数K。

根据能量梯度理论的研究[1]，反映湍流本质特性的是其当地或局部雷诺数， 局部雷诺数与global 雷诺数是成正比的。最关键的问题是，这个当地或局部雷诺数的分布与流场内部的奇点产生联系在一起，这赋予了当地雷诺数特殊的含义。对不可压缩流动，这个当地（局部）雷诺数被定义为：垂直于流动方向的机械能的梯度与相切于流动方向的机械能的梯度之比，称为能量梯度函数K（它是一个无因次场变量），这个理论被称为能量梯度理论，详见[1]。

把能量梯度函数K的定义，代入Navier-Stokes方程，可以发现，局部雷诺数K=global 雷诺数Re乘以一个流场坐标位置 (x,y,z) 的函数：K=Re f(x,y,z)。

湍流发生不发生，转捩不转捩，不取决于我们教科书上所定义的global 雷诺数Re，而是取决于这个局部雷诺数K，即取决于流场中的具体位置。对一个给定的问题，我们要看随着global雷诺数的增大，流场内部到底发生了什么变化，是什么原因导致了层流向湍流转捩，取决于流场内部K 最大的那个位置的流动状况。当地雷诺数K 的大小反映了流动的当地流动稳定性状况。比如一个圆管流动，湍流转捩的最小的临界雷诺数是大约2000，如果流道中间放置一个圆柱，临界雷诺数就变了。为什么变了，是局部流动状况变了。如果流动中添加了polymer（改变了粘度，产生了正应力），湍流转捩的临界Re也会改变，我们要看为什么改变，内部机理是什么，实质上是加快或延迟了流动内部奇点的产生。增加流体惯性力，只是产生湍流的自然界若干方法中的其中一种而已[2]。

在转捩流场中，这个当地雷诺数K（能量梯度函数）是随时间和空间变化的变量，在流场中某些位置，当K值变为无穷大时，此位置就成为Navier-Stokes方程的奇点，速度发生间断，导致“猝发”现象发生。这个“猝发”事件就成为了流场中湍流维持的“动力”来源[1]。本文第一部分所介绍的湍流转捩的准则可等价地表达为：湍流转捩/湍流产生的必要及充分条件是流场中的能量梯度函数（当地雷诺数）为无穷大（即速度发生间断）[1]。

二十多年前，当时提出能量梯度函数K（当地雷诺数）是受到了2个方面的研究经历及知识基础的启示。第一个是多年的非牛顿流体力学的研究，当时是为了解决非牛顿流体力学的流动稳定性问题而推动这项工作的，详细过程请见专著第四章[1]；第二个是材料力学方面的知识基础，我们知道一个金属材料部件的破坏或者断裂，刚开始时首先是从一个最危险的位置（或者材料机械强度安全系数最小）发生的。通过对金属部件有限元的强度计算，我们就可以找到这个最容易断裂的位置。同理，一个光滑的层流如果发生不稳定性，流场中也应该有一个最不稳定的位置。出现流动不稳定，首先是从那里开始的，事实上前人的实验研究结果也显示出实际就是这样的（Emmons的湍流斑）。因此，在这样的背景下，当时主要迫切的任务是构造一个场函数，来反映局部流场的稳定性，后来被称为能量梯度函数（当地雷诺数）。当地雷诺数的公式怎么构造，就是采用了非牛顿流体力学的数值模拟和理论分析的研究结果（导致湍流转捩的是弹性正应力引起的垂直于固体表面的压力梯度，而不是对流惯性力）。然后，研究发现流场中理论计算出的这个当地雷诺数最大值出现的位置与实验中流动最先失稳的位置一致，包括平行流动和非平行流动的若干个流动的例子[1]。

简单根据NS方程的公式理解湍流转捩是由于惯性力大于粘性力而导致湍流转捩，是思路太窄，把湍流的物理简单化，没有深究其内在原因。过去100多年，许多工作可能与这样处理有关。湍流产生是自然界里的许多普遍现象的一个代表，现在科学家把湍流类似物理现象延伸到自然生态物理、天体物理、生物物理等等，这也就可以解释为什么有些研究者采用动力系统理论 (Dynamical system theory) 来研究湍流转捩的原因和实质。以前我也不看好动力系统理论，因为它与NS方程没有关系，而流体流动是由NS方程支配的，事实上以前国外有几位著名科学家前辈也是有这样看法的。现在根据NS方程的机械能分析及非牛顿流体力学的长期研究，理解了湍流产生的物理原因后，回过头来发现，流体湍流物理与动力系统理论实质上描述了极其相似的物理现象。比如，在牛顿力学框架下，湍流转捩 (turbulent transition) 的物理可以表达为一个函数TT，那么，TT=f（Re（惯性力、粘性力）, 扰动，粗糙度，传热，表面张力，弹性力，电磁力，etc)。

在一定的条件下，上面函数里的任意一个自变量的变化都有可能引起所表示的动力系统到达saddle，产生奇点，引起湍流转捩 (Eckhardt suggested that the turbulent state is a chaotic saddle)。能量梯度理论和动力系统理论的研究结果都指出，奇点是湍流产生的唯一途径。经过NS方程的理论分析，并与实验对比，验证了湍流正是由于流场内部NS方程的奇点（间断）产生的[1,3,4,5]。粘弹性湍流也是其中之一[1,2]。所以，仅仅根据雷诺数Re的大小来理解湍流转捩是不够的，否则，怎么解释Re接近于零的情况下发生的粘弹性湍流？

结论：

  · 流动失稳和湍流转捩取决于流场内部的当地雷诺数的分布。流动失稳从当地雷诺数K 的最大值Kmax 所在的位置开始。

  · 湍流转捩从当地雷诺数K 的最大值Kmax 为无穷大（奇点）的那一点所在的位置开始。

  · 湍流转捩或湍流产生是多物理因素影响下的物理系统失稳产生的，湍流转捩需要经过奇点。

  · Navier-Stokes方程中流体的对流惯性力的增大，只是导致湍流转捩的自然界中若干方法中的其中一种。

（注意：本文是科普，是介绍性的文章，不是学术论文，不对上述结论展开证明。对于学术问题，请参考下列所发表的论文和著作）。

参考文献：
[1] Dou, H.-S., Origin of Turbulence-Energy Gradient Theory, 2022, Springer. （窦华书，湍流的起源-能量梯度理论，2022, Springer）。
https://link.springer.com/book/10.1007/978-981-19-0087-7
（按此链接，在国内外许多大学的校园网上，可以直接免费下载全书）。

[2] 窦华书，论层流到湍流的转捩中雷诺数作用的物理意义，科学网博客
https://blog.sciencenet.cn/home. ... blog&id=1337029

[3] Dou, H.-S., Singularity of Navier-Stokes equations leading to turbulence, Adv. Appl. Math. Mech., 13(3), 2021, 527-553.
https://doi.org/10.4208/aamm.OA-2020-0063
https://arxiv.org/abs/1805.12053v10

[4] Dou, H.-S., No existence and smoothness of solution of the Navier-Stokes equation, Entropy, 2022, 24, 339.
https://doi.org/10.3390/e24030339

[5] 窦华书，湍流是怎样产生的? 最新研究进展，科学网博客
https://blog.sciencenet.cn/home. ... blog&id=1341235

来源：来源：窦华书科学网博客，作者：窦华书。