理论力学 | 循环坐标、广义动量和能量积分

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牛顿力学中的运动积分
牛顿第二定律：

积分：

牛顿第二定律是一个二阶微分方程，积分一次以后就成了速度和位置的方程，求解起来容易的多。除了单纯的数学上的积分之外，牛顿力学还提供了三个物理上的有用的方法，对应三大守恒定律：

动量守恒：

角动量守恒：

机械能守恒：

理论力学中的运动积分
我们知道拉格朗日方程是关于广义坐标qi (i=1,2,...,s) 的二阶微分方程。在一些情况下，在系统运动过程中存在qi和 的某些函数，它们不随时间而变，这些函数称为系统的「运动积分」(integral of motion)。

运动积分是通常的守恒律，如动量守恒定律、角动量守恒定律、机械能守恒定律的概念的推广。可以看出，运动积分相对于拉格朗日方程而言降了一阶，是一阶的微分方程，所以「运动积分」有时也称为「第一次积分」。

力学中的「对称性」是十分重要的，而运动积分的存在与否与系统的对称性有密切的关系。一个系统如果有尽可能多的运动积分，将对问题的求解带来极大的方便。

循环坐标和广义动量

拉格朗日方程中，第一项先求拉格朗日函数对广义速度的偏导数，这个结果依然会有广义速度，也就是对时间的一次导数，再对时间求一次导数则会得到关于时间的二次导数，也就是说，拉格朗日方程是一个「二阶微分方程」（组）。

我们也倾向于对它进行积分，也就是降阶处理。若L 不显含某广义坐标qα，则拉格朗日方程的第二项（拉格朗日函数对这个广义坐标的偏导数）为0。

qα 就叫做「循环坐标」，所以拉格朗日方程的第一项也应该是0。

所以，括号里面的内容是常数

定义「广义动量」：

总结：广义动量是拉格朗日函数对广义速度的偏导数，如果一个广义坐标是循环坐标，那么相应的广义动量是守恒量。

用理论力学的手段得到运动积分的能力并不逊色于牛顿力学，甚至更强，因为广义坐标的选取有任意性。

  · 选择「长度」作为广义坐标，相应的广义动量是「线动量」；

  · 选择「角度」作为广义坐标，相应的广义动量是「角动量」。

牛顿力学里面的动量守恒和角动量守恒，都包含在分析力学中的广义动量守恒里。

举个例子

有心力系统

θ 是循环坐标：

我们得到的运动积分

就是角动量守恒。

循环坐标带来的对称性观点
某种程度上来说，这里的「对称性」其实也就是在说「无关性」。

前面聊完了循环坐标，我们知道循环坐标不在拉格朗日函数里显含，所以，无论那个循环坐标怎么变化，拉格朗日函数都没有改变，也就是相应的运动规律没有发生变化。这时候我们说，这个「系统在该循环坐标的变化下具有对称性」。

举个例子

比如说太阳系是一个有心力系统，是一个循环坐标，所以我们任意改变行星所处的角度，对行星的运动规律并不产生影响。反过来，我们也无法通过运动规律来判断是否所有行星都在我们不注意的某一刻，突然穿梭了相等的角度。

行星运动

而单摆的拉格朗日方程里面，显含，所以改变也就会改变系统的运动情况，这是符合我们认知的，因为很显然单摆的重力势能（可能）会变。

单摆

参考来源：

https://www.bilibili.com/video/BV1xJ411s78q?p=71

图片来源：维基百科

来源：吴小花ColorfulBlack微信公众号（ID：xiaohei20039092000）