请问鞍结分叉存在的条件是什么？

yangxh

其实是对一篇英文里的翻译搞不清楚，原文是这样的，Consider a class of nonlinear system with the approximation up to the second order in the state x as given by
x(dot)=Lx+Q(x,x)+gµ （15）
下面大致的意思是：“L是雅可比矩阵，有个零特征值，其他特征值在复平面的左半平面，

µ是系统参数，Q是x的2次项形式，并且假定µ=0是x=0是个平衡点。”然后下面引用了一个鞍结分叉的定理
The equilibrium point x=0 of system (15)will undergo saddle node bifurcation from the origin at µ=0 if lg≠0 and lQ≠0.Here ,l and r denote the left and right eigenvectors corresponding to zero eigenvalues of L,respectively,with lr=1.
谁能把英文的意思跟我解释一下以及上面提到的鞍结分叉定理，尤其最后一句，什么叫 l 和r代表L零特征值的左右特征向量，左右特征向量什么意思啊

flybaly

请参照：李云 等编著《非线性动力系统的现代数学方法及其应用》 人民交通出版社P251-252的解释

yangxh

<P>谢谢楼上的，我去找来看看</P>

yangxh

<P 0pt? 0cm>4楼的兄弟，首先谢谢你的指点，但我仍然有疑问，你推荐的书上的理论对于左右特征向量<FONT face="Times New Roman">l,r</FONT>的定义就是只要满足：</P>
<P 0pt? 0cm><FONT face="Times New Roman">L</FONT>r=0,lL=0,‖l‖=‖r‖=1,
<br>
<p>
<P 0pt? 0cm>但我上传的文章里<FONT face="Times New Roman">L</FONT>r=0,lL=0,lr=1，‖l‖=‖r‖≠1,，不知道两者是否等价，还有‖l‖是指向量的范数吧？这里指几范数呢（一般指2范数吧）？
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[此贴子已经被作者于2006-6-13 10:58:39编辑过]

flybaly

你上传的文章我没有看。但是Lr=0,lL=0,‖l‖=‖r‖=1,此条件只是说明零特征值的一些特征，并不是鞍节点分叉的条件。9.2.32以下才是鞍节点分叉的分析。
‖l‖是指向量的范数，也就是我们常说的模，如果没有特别说明，肯定就是欧几里德范数，sqrt(sigma(xi^2))，也就是你说的二范数！

yangxh

<P>呵呵，其实我最终要问的是什么是零特征值的左右单位特征向量，我不是学数学的，没接触过这个概念，按照推荐过来的书上的，就是<FONT face="Times New Roman">L</FONT>r=0,lL=0,‖l‖=‖r‖=1，而我在文章里看到的‖l‖=‖r‖≠1，但满足<FONT face="Times New Roman">L</FONT>r=0,lL=0,lr=1，所以我就感到有些困惑</P>

flybaly

你可以找一个含有零特征值的矩阵，计算一下零特征值的左右单位特征向量看看。定义就是：Lr=0,lL=0,‖l‖=‖r‖=1