穿越欧氏空间与非欧空间

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欧氏即欧几里得（Euclid，约前325-前270），其英文名Euclid是希腊名 Εὐκλείδης的英文化版本，意思是“著名的、光荣的”。欧几里得就像他的名字一样，在人类历史的长河中，成为了一颗璀璨的明星。欧几里得的《几何原本》（Element，基本原理之意）以5个公理和5个公设基础，将他之前的数学命题采用形式逻辑的方式明白无误的一一推演出来，形成了数学的公理化体系，揭示了数学大厦的精巧与雄壮的同时，也让人们看到纷繁世界的简洁性。

图1 欧几里得著作中的插图

《几何原本》的5个公理和5个公设分别如下：

5个公理：

  · 等同于一个量的两个量相等；

  · 等量相加，其和相等；

  · 等量相减，其差相等；

  · 可以重合的图形，对应的量相等；

  · 全体大于部分。

5个公设：

  · 两点之间可以作一条直线段；

  · 直线段可以无限延长；

  · 以任意一点为中心、以任意给定的线段为半径可以作一个圆；

  · 所有的直角都相等；

  · 若一条直线段与另外两条直线段相交，且一侧的内角之和小于两个直角，则该两条直线段无限延长后必相交。

所谓的公理化体系，是指在《几何原本》13卷（1-6卷讲平面几何、7-10卷讲数论、11-13卷讲空间几何）中的467个命题，全部可以由5个公理和5个公设导出，或者由它们导出的定理导出。换句话说，有了这5个公理和5个公设，就可以得到整个数学大厦。爱因斯坦曾高度赞赏了《几何原本》严密的公理化体系，他说：“在逻辑推理上的这种令人惊叹的胜利，使人们为人类未来的成就获得了必要的信心。”

《几何原本》的公理化体系也成为后世许多著名科学家争相效仿的榜样，如牛顿就以牛顿三大力学定律为基本原理，构建了牛顿力学体系；此外，现代政治学创世人Thomas Hobbes（霍布斯，1588-1679），哲学家Baruch Spinoza（斯宾塞，1632-1677），博学家BertrandRussell（罗素，1872-1970），经济学家Ludwig von Mises（第四强度米塞斯的哥哥，1881-1973）等，都曾采用公理化的演绎结构为自己的理论创建基本原理 (element)。

然而，美中不足的是欧几里得第5公设，如图2所示，根据第5公设，可知：当线1与线2和3相交，其一侧的两个角度相加小于两个直角之和，则线2和3相交。与前4个公设相比，第5公设在描述上略显繁琐，读起来更像是一个定理，而非公设。因此，许多数学家认为第5公设可能不独立于前4个公设，并尝试由前4个公设导出第5公设。

图2 几何原本第5公设示意图

但令人遗憾的是，许多声称自己证明了第5公设的数学家后来都被证明他们采用了与第5公设等价的命题，因此证明也是无效的。这其中也包括古希腊天文学家托勒密（Ptolemy，约100-约170），苏格兰数学家普莱费尔（John Playfair，1748-1819）指出，托勒密的证明用到了平行公设，而平行公设与第5公设是完全等价的，平行公设现在被描述为：过给定直线外一点，可以作一条直线并且只能作一条直线，与已知直线平行。

证明第5公设的工作是旷日持久的，延续了2000多年，但他们无一例外的均以失败告终。但这些失败也非完全没有收获，人们得到了一系列的与第5公设等价的命题，其中的两个命题是这样：

  · 三角形的内角和等于180度（与平行公设等价）；

  · 有矩形存在（与平行公设等价）。

图3 三角形内角和为180度示例

著名的法国数学家勒让德（Adrien-Marie Legendre，1752-1833）曾导出“若三角形内角和等于180度，则第5公设成立；若小于180度，则第5公设不成立。”我们不禁想问，有内角之和小于180度的三角形吗？

这可以利用萨开里四边形来证明，萨开里（Giovanni Girolamo Sacceri，1667-1733）是17世纪意大利数学家，萨开里四边形假设四边形有两个直角，而另外两个有三种可能：锐角、直角和钝角。如图4所示四边形，设∠A=∠B为直角90度，AD=BC。在不使用第5公设的前提下即可证明∠D=∠C，这时∠D和∠C的取值有三种可能：

  · ∠D=∠C，都小于直角（锐角假设）；

  · ∠D=∠C，都等于直角（直角假设）；

  · ∠D=∠C，都大于直角（钝角假设）。

图4 萨开里四边形

如图5所示，我们假定△ABC为已知三角形，D、E是它两条边上的中点，过D、E作直线l。过A点作l的垂线，垂足为F。在l上作G和H两点，使得GD=DF，HE=EF。这样，可以导出两对全等三角形：

  · 由于∠ADF=∠BDG（对顶角），AD=DB（D是AB中点），又GD=DF
     所以，△ADF全等于△BDG。

  · 由于∠AEF=∠CEH（对顶角），AE=EC（E是AC中点），又HE=EF
     所以，△AEF全等于△CEH。

由这两对全等三角形可知，有∠GBD=∠DAF和∠HCE=∠EAF，因此，萨开里四边形中∠GBC和∠HCB之和就是三角形的内角和。如果我们采用了萨开里锐角假设，则三角形内角和小于180度时；如果采用直角假设，则三角形内角和等于180度；如果采用钝角假设，则三角形内角和大于180度。

图5 三角形内角和小于180度的示例

第5公设告诉我们，一条线与两条线相交，其一侧的内角和小于180度时，两条线延长后相交。但是在萨开里四边形中，却出现了相反的情况，如图4所示，AD与AB和DC相交，其一侧的两个内角之和，如∠D+∠A，显然小于180度，但CD却平行于AB。这说明“当一条线与两条线相交，其一侧的内角和小于180时，两条线也可能成为平行线”。这样，萨开里就在锐角假设下，导出了“过线外一点可以有多条直线与已知直线平行”的结论。

萨开里得到这一结论时，认为这是如此的荒谬，因此他更加坚定了自己欧几里得信仰，并于1733年出版了一本书《欧几里得几何无懈可击》。然而，萨开里在锐角假设下导出的现象只是与人们的直观感受矛盾，并没有逻辑上的矛盾。这使得人们对第五公设能否证明产生了怀疑。与其不厌其烦的去证明第5公设，倒不如思考承认萨开里锐角假设、钝角假设和直角假设一样，都可以作为第5公设构建新的几何体系。

最早这样尝试的是大数学家高斯（Johann Carl Friedrich Gauss，1777-1855）。1792年，高斯试图以萨开里四边形的锐角假设更换欧几里得的第5公设，并建立一种新的逻辑几何学。1794年高斯在写给好友的信中指出，在这种几何中，三角形的内角和小于180度，而且面积依赖于内角和、而不依赖于边长和高。他给这种几何起名为反欧几何（后来称非欧几何）。但高斯深知这样做的风险极大，因为担心发表这些结果会遭致“黄蜂绕耳”的攻击，高斯选择不发表。

30年后的1826年，俄国数学家罗巴切夫斯基（Nikolai Lobachevsky，1792-1856）首次公开了他的研究成果，即以萨开里四边形的锐角假设替换欧几里得第5公设创建了一种新几何体系，当时他将其称为“想象中的几何”，从1829年开始，罗巴切夫斯基发表了一系列的有关非欧几何的学术论文，这就是后来被认为称为罗氏几何的来源。现在我们为罗巴切夫斯基感到荣幸，但在当时他却遭受了各种不公正的待遇，在孤独中度过了他的晚年。后来人们发现高斯生前曾做过与他相同的研究，才对罗巴切夫斯基的工作开始重视并进一步的研究。

前面已经可以看出，从萨开里四边形出发，有三种可能，即锐角假设、钝角假设和直角假设。直角假设导出的就是欧氏几何，锐角假设导出的就是罗氏几何，很显然还有一种钝角假设。从钝角假设出发，构建新几何体系的是德国数学家黎曼（Georg Friedrich Bernhard Riemann，1826-1866）。

我们知道罗氏几何是在锐角假设下构建的，第5公设等价于“在平面上，过已知直线外一点可以作无数条直线与已知直线平行。” 相反，在黎曼的非欧几何体系中，第5公设则等价于“在平面上，过已知直线外一点不能作任何一条直线与已知直线平行。”

可能，在你看到这些描述时仍然觉得的不可思议，没关系，我们可以做这样一个尝试。假设你在纸上画出两条平行线，假想它们可以无限延长，纸的面积太小，我们直接画在大地上，为了方便描述，我们画两条南北走向的线，然后无限延长它，穿过城市、穿越国境线，无限延长的结果就是你发现当到达北极或南极时，它们都相交了。

图6 相交的经线

这就是“过直线外一点，无法作一条直线与已知直线平行”，我们所谓的平行，只是在相对小的范围内成立，当我们放大视野后，会发现在球面上做不出平行线，黎曼所构建的几何正是在球面上的几何。另外一种非欧几何，罗巴切夫斯基非欧几何被兰伯特（Johann Heinrich Lambert, 1728-1777）预测是发生在半径为虚数的球面上的几何，后来被证实。

后来，人们将欧氏几何（直角假设）、罗巴切夫斯基的非欧几何（锐角假设）、黎曼的非欧几何（钝角假设）统一称为黎曼几何，三种假设下的几何体系就成为了黎曼几何的特例：欧几里得几何所对应的曲率为0的空间；黎曼的非欧几何对应的是曲率为正常数的空间；而罗巴切夫斯基的非欧几何所对应的是曲率为负常数的空间。

这样，弯曲的空间出现了，爱因斯坦的相对论找到了数学基础，弯曲的时空观出现了！

说明：本文主要参考了李忠的《并不神秘的非欧几何》，这是李大潜主编的《数学小丛书》中的一本。另外，瑞士数学家兰伯特（Johann HeinrichLambert, 1728-1777）、匈牙利数学家波尔约（J.Bolyai，1802-1860）也做出了重要贡献。

来源：力学酒吧微信公众号（ID：Mechanics-Bar），作者：张伟伟。