材料力学之圆轴扭转时的应力

weixin

横截面为圆形的直杆受扭时的应力，需要综合研究几何、物理和静力等三方面的关系。以下是我们研究的一个思路。

确定横截面上切应力的方法与过程

一、变形几何关系

在轴表面作圆周线和纵向线，在扭转力偶矩作用下，圆周线长度形状不变，各圆周线间距离不变，只是绕轴线转了一个微小角度；纵向平行线仍然保持为直线且相互平行，只是倾斜了一个微小角度。变形如图所示。

圆轴扭转的平面假设：圆轴扭转变形前原为平面的横截面，变形后仍保持平面，形状和大小不变，半径仍保持直线，且相邻两截面间的距离不变。

二、物理关系

这里需要注意，一定要在线弹性范围内。接下来研究用到了切变模量、切应力互等定理、剪切胡克定律等知识。

1、变形协调方程推导应变、应力分布规律

设到轴线任意远ρ 处的剪应变为γ(ρ)，则有如下几何关系：

式中，dφ/dx 为扭转角沿长度方向变化率。

距圆心为ρ 任一点处的γρ、τρ 与到圆心的距离ρ 成正比。

2、物性关系——剪力胡克定律

至此，我们已经求出了切应力的表达式，但是扭转角沿长度方向的变化率还不知道。这就需要静力学方程来解决了。

三、列静力学方程

微分面积：

dA 上的微内力对圆心的力矩：

对上式进行积分（扭矩定义）：

横截面上的扭矩应与截面一侧的外力偶距相平衡

我们引入一个极惯性矩

式中，Ip 为横截面对形心的极惯性矩（截面二次极矩，单位为m4）。

在圆截面边缘上有最大切应力：

令

抗扭截面系数（单位：m3）

公式适用条件：

  · 圆杆；

  · τmax≤τp。

其中极惯性矩和抗扭截面系数，在实心轴与非实心轴中的计算是不一样的。

  · 在实心轴的情况下：

其中，D 为圆截面直径。

以上就是完整的求圆轴扭转时的应力的方法和过程了！

来源：力创空间公众号（ID：mechanics786），作者：蔺斯诺 李运杰。