深入理解流体力学中的加速度和物质导数

不许动

导读
很多人在学习流体力学时，都觉得加速度和物质导数是一个难点。可以毫不夸张地说，一大半学过流体力学的人都没有真正理解物质导数的真正含义，甚至一些流体力学教师也是照本宣科地讲解这一部分。实际上这个问题并不是很复杂，主要原因就是加速度是基于拉格朗日坐标定义的，而流体力学用的是欧拉坐标。但这么说，恐怕只会让本来不理解的人更加迷茫。我曾经制作过一些流体力学的教学视频，现在把加速度部分单独拿出来，加上一些图文来解释一下，希望能让更多的人理解流体力学中奇怪的加速度表达式的含义。

拉格朗日法和欧拉法

拉格朗日和欧拉都是欧洲的数学家，一提起数学很多人就头大了，不过我们这里讲的都是实际的物理现象，虽然用到一些微积分知识，但都是有明确物理意义的，不需要担心。

拉格朗日法和欧拉法指的是描述物体运动的方法。拉格朗日法就是我们从小学就学习的方法，比如，下面的问题都是采用了拉格朗日法：

1. 小明和小丽两人从郊区进城，小明先走，小丽后追，问小明先追上小丽还是小丽先到达。
2. 运动小球A与静止小球B发生弹性正碰，问碰撞后两小球各自的速度。
3. 太阳系八大行星轨道问题。

所谓的拉格朗日法，就是选定一个研究对象，对它的运动和受力进行研究的方法。

但有时我们并不关心具体某个东西的运动或受力，而更关心整体情况。比如上面的第1个问题，如果变成研究周末主干道的交通问题，就需要统计郊区人口进城的数量和路线等数据，而不在关心谁追上了谁这种事。第2个问题，变成房屋抵抗洪水冲击的问题，关心的就是洪水对房屋产生的持续冲击力，而不再关心具体某个水滴是怎么被弹回去的。第三个问题，变成研究银河系与仙女座碰撞后的变化问题，就应该用宏观的方法，而不是关心某个星球的运动了。

当遇到这种需要关注数量巨多的物体运动，而其中单个物体的运动不重要的时候，我们就采用欧拉法。欧拉法是一种有点像上帝视角的方法，同时关注大量物体运动的总体规律。听起来好像很高深，其实也很简单。比如我们想了解一个停车场的停车位情况，主要关心的就是目前的空位数，进入的车辆数和离开的车辆数。如果空车位不多，并且进入的车俩一直比离开的车俩多，那可能很快车位就满了。这就是一种欧拉法，在这个过程中我们根本不关心进来和出去的都是什么型号的车，车速是多少，开车的司机是男是女，女司机漂不漂亮等等，对所有车都是一视同仁的。

欧拉法特别适合描述一般的流体运动，因为流体就是没什么差别的，无数相同的水滴组成了水流，根本不需要关心具体的某个水滴。比如小学数学应用题中的水池进排水问题，就是一种欧拉法，关心的是单位时间流入的水量和流出的水量。关注的只是池子里的水，还没流进来的和已经流出去的水都不关心。因此流体力学中的欧拉法的正式描述是：不直接追究质点的运动过程，而是以充满运动流体质点的空间——流场为对象。研究各时刻质点在流场中的变化规律。将个别流体质点运动过程置之不理，而固守于流场各空间点。通过观察在流动空间中的每一个空间点上运动要素随时间的变化，把足够多的空间点综合起来而得出的整个流体的运动情况。

好了，现在我们已经了解了欧拉法的意思了，而且知道了它适合描述流体。不过事情也不是绝对的，不能说流体力学都采用欧拉法，而固体力学都采用拉格朗日法。比如流体力学中要研究几种颜料的掺混过程，就需要用到拉格朗日法，因为这时我们需要关注不同种类的流体质点的运动。而要研究流沙的问题，或者整个星系的运动，虽然是固体，也可以采用欧拉法，因为这时我们不再关心个体的运动。

还有些时候，同一个问题，到底采用拉格朗日法还是欧拉法，还要看各自关注的角度。比如高校的教育问题，学校和老师主要采用的是欧拉法，关注一届又一届的学生的生源质量，毕业生质量，学生对学校声誉的贡献，学校如何在整体上提高教学质量等等。这就是欧拉法，因为生源质量和毕业生质量就相当于高校的进出口，高校的教育主要起作用的是从学生入学到毕业这个阶段，而这个阶段是在高校这个“空间”内的。这个方法有一定的问题，比如同一年的入学分数很高但毕业生质量偏差，对应的是两拨学生，并不能完全说明高校本身的问题。对于学生来说，每一个学生都是一个独特的个体，学生自己一定要用拉格朗日法，不能傻乎乎地跟着学校用欧拉法看待问题，而是应该关注自身的提高与发展，自己的几年真正学到本领才是最重要的。

欧拉法中的加速度

速度和加速度都是针对具体的东西而定义的，从伽利略到牛顿到爱因斯坦的理论体系都是这样。根据相对论我们知道，物体的速度不能超过真空中的光速，但有些现象是可以超过光速的。比如某一时刻我们大喊一声，过几秒后火星上的人也大喊一声，再过几秒后木星轨道上的人也大喊了一声......这样像烽火台一样传递下去，这个传递速度就超光速了。但这不是真正的超光速，发出喊声的人相互之间没有沟通，也传递不了信息。还有，我可以这一秒想着在火星，下一秒想着到了木星，思想的速度也可以超光速。显然，这些“速度”都不符合速度的定义。
我们似乎天马行空离题万里了，其实明白速度定义这一点很重要。现在看和流体力学相关的情况。欧拉法研究一个空间（流体力学书中称为控制体），这个空间只是一个容器，空间点只有位置属性，而没有速度、加速度、温度、压强等属性。所谓空间某点处的速度或压强，指的是位于那点处的流体质点的速度或压强。

现在来看流体的加速度，流体质点在时刻t1的速度是V1，在时刻t2速度变为V2，如果流体是在做恒加速运动，则加速度为：

a=(V2-V1)/(t2-t1)

当这两个时刻无限接近时，就可以用导数表示出这个流体质点的加速度了:

a=dV/dt

在拉格朗日法中，就是这样了，但是现在我们用的是欧拉法，观察者盯着空间一点，想知道这一点的加速度，这就有点麻烦。因为空间点的加速度指的是位于那个空间点的流体质点A的加速度。而流体质点A是在运动着的，时刻t1在这一点，速度为Va1，时刻t2就跑下游去了。你要想研究这个质点的加速度，在时刻t2就要去下游看这个质点的速度Va2，然后用上面方法得出加速度：

a=dV/dt=lim[(Va2-Va1)/(t2-t1)]

需要注意的是，Va1是在我们研究的空间点上，而Va2是在下游，不在这个空间点上了。这样看来欧拉法不行啊，只研究某个空间点也得不到流体质点的加速度啊。

别急，微积分就是这么巧妙，实际上数学直接就可以解决这个问题。上面的导数是对时间的全导数，表示的就是流体质点速度的变化；如果是偏导数，表示的就是空间点的速度随时间的变化了：

partial(V)/partial(t)=lim[(V2-V1)/(t2-t1)]

上面的V1和V2都是空间点的速度，V1=Va1，而V2≠Va2，V2表示的是时刻t2时，位于我们观察的空间点上的流体质点的速度（这时原流体质点在下游，速度是Va2）。

把速度对时间的全导数展开，发现除了偏导数一项外，还有一项，就是对空间求导的一项。偏导数表示了只考虑速度V随时间变化，不考虑质点随空间运动的情况，对应的就是只关注固定空间点的情况。偏导数项称为当地加速度，而和空间有关的一项称为对流加速度，它们俩虽然称为加速度，但都不是加速度，它们的和才是流体质点真正的加速度。

物质导数

采用欧拉法造成的困扰不止作用于加速度，当需要研究流体其它性质随时间的变化时，都会遇到相同情况，所以就产生了物质导数这么一个概念。物质导就是流体的某个性质随时间的变化，这些性质都是针对流体质点的，当采用空间点来描述时，就需要用物质导数。

一般认为物质导数是在欧拉法和拉格朗日法之间建立的桥梁。学过流体力学的人可能知道雷诺输运定理，其实雷诺输运定理和物质导数完全是一回事，雷诺输运定律是积分关系式，而物质导数是微分关系式，它们之间可以通过数学方法互相推导。上面的视频里也介绍了一些物质导数的公式和推导，也可以去看流体力学书。