材料力学笔记之——弯曲与梁

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一、弯曲与梁

“曲”是相对“直”而言的，一杆件在载荷的作用下由“直线”形变为“曲线”的现象，通常称之为杆件变“弯曲”了或者弯曲变形。弯曲变形是工程中最常见的构件变形形式。文献[1-3中指出，凡以弯曲为主要变形的杆件通常称为梁。文献[6对梁的定义则是，承受垂直于轴线方向载荷作用的细长构件称为梁。从对梁的定义来看，前者以“变形”来定义比较形象直观，后者以构件与载荷之间的作用关系进行定义，相对较为隐晦。

其次，从[1-3,6对梁的“定义”来看，梁是细长构件或杆件，即其跨度 (l )远大于截面的高度 (h )和宽度 (b )，这类梁也称细长梁，是材料力学的主要研究对象。相对于细长梁而言，跨度相对于截面高度之比 (l/h ) 较小的梁称作深梁。从梁的约束形式上，梁可以分为简支梁（一端为固定铰支座，一端为活动铰支座)、外伸梁（一端或两端延伸在支座外）、悬臂梁（一端固定，另一端自由）。按照梁轴线的形态可以分为直梁和曲梁。曲梁的特点是具有弯曲纵轴线的杆件，并承受弯曲载荷，以弯曲变形为主要变形。弯曲梁一般不是细长杆，而且纵向轴线是曲线，横截面的尺寸较曲率半径大，比如吊钩、吊环。

二、弯曲内力

由于载荷的作用，梁内会产生剪力和弯矩，它们通常沿梁轴线变化。一般而言，剪力和弯矩作为轴线 (x ) 的函数，在分布载荷发生变化或集中力、集中力偶作用处是不连续的，或者斜率是不连续的。因此，剪力和弯矩函数必须对任意两个载荷不连续点之间的区间进行单独描述。剪力图和弯矩图则是描绘梁上剪力和弯矩沿梁轴线的变化重要形式。在实际操作中，一般先选定外力的不连续点（如集中力作用点、集中力偶作用点、分布载荷的奇点和终点等）为控制界面，求出控制界面的弯矩值；再分段化弯矩图，当控制界面间无载荷时，根据控制截面的弯矩值，即可做出直线弯矩图，当控制界面间有荷载作用时，根据控制截面的弯矩值作出直线图形后，还应叠加这一段按简支梁求得的弯矩图。

1. 内力的方向规定

剪力Q：绕研究对象顺时针转为正剪力，反之为负。

弯矩M：使梁变成凹形的为正弯矩；使梁变成凸形的为负弯矩。

2. 剪力、弯矩与外力间的关系

三、弯曲应力

1. 关于等直细长梁弯曲应力求解的基本假设

2. 弯曲应力的计算

(1) 纯弯曲的正应力计算

弯曲正应力公式，是根据横截面上的合力偶距等于线性分布的正应力关于中性轴的力矩这一条件求得。实际上，弯曲公式可适用于具有任意形状截面的梁，也可适用于梁的合内力偶矩作用于任意方向。但公式只能用在关于横截面惯性主轴弯曲的情况，这些惯性主轴的原点在形心，且平行和垂直于对称轴（若存在）的方向上。若力偶矩沿任意轴向作用，则必须将其分解为沿两个主轴的分量。而任一点处的应力可以根据每一个力偶矩分量产生应力，然后再利用叠加原理求得一点处总的正应力。对于15°锥度的矩形截面梁，利用基于弹性理论的数学分析得到的实际最大正应力，大约比根据弯曲公式计算的值小5.4%。当梁跨度 (l ) 与截面高度 (h ) 之比l/h 等于5时，用σ=My/Iz 计算得到的跨中截面上最大正应力，误差为1.07%。对于l/h 较小的深梁，由于跨度相对较短，边界的影响需要考虑，此时基于等直细长梁得到的计算公式将不再具有实用意义；对于弯曲梁，弯曲公式也不适用。

常见的弯曲多为横力弯曲，这时梁的横截面上不但有正应力还有切应力，横截面不能再保持为平面，同时也不能保证纵向没有正应力。虽然横力弯曲与纯弯曲存在这些差异，但深入的分析表明，采用弯曲公式计算横力弯曲时的正应力，并不会引起很大的误差。

由于公式中影响弯曲正应力的因素是弯矩和截面抗弯模量有关，对于等值杆件来讲，弯矩最大的位置，弯曲正应力最大；但对于阶梯形的梁，由于截面抗弯模量不在是一个常数，因此最大正应力不一定发生在弯矩最大的截面上。

(2) 横力弯曲的切应力计算

上式中，Q 为横截面上的剪力；Iz 为整个截面对中性轴的惯性矩；Sz*为截面上距中性轴为Y 的横线以外的部分对中性轴的静矩；b 为距中性轴为y 处的截面宽度。

剪切公式适用于由均匀线弹性材料制成的等截面直梁,同时内部剪力也一定沿横截面的一个对称轴方向。尽管该公式推导中只考虑了作用于梁纵向平面内的切应力，但根据切应力互等，该公式同样适用于求解梁横截面上的横向切应力。根据假设，切应力沿整个横截面的宽度t 是均匀分布的，即计算所得是宽度上的平均切应力。对于扁平的横截面，或者横截面发生突变处，以及在倾斜的边界点处，不能用剪切公式计算切应力。

(3) 薄壁杆件中的剪切流

  · 类似薄壁杆件扭转问题中的剪切流，在承受弯曲荷载的薄壁杆件中也存在剪力流。其特点是：

  · 对于薄壁杆件，只有平行于杆件壁方向的剪力流起作用；

  · 剪力流沿垂直于剪力Q 方向的部分是线性变化的；

  · 沿倾斜或平行于剪力Q 方向的部分是按照抛物线变化的；

  · 在横截面上，剪力沿壁“流动”以构成剪力Q，而且也满足水平和竖直方向力的平衡。

3.  应力分布

四、应用

一般来说，梁的横截面上同时存在着正应力和切应力，但长梁的强度通常取决于弯曲正应力，按照弯曲正应力选择梁的截面尺寸，再按照切应力强度条件进行校核。对于钢梁，多数为薄壁截面，当跨度较小或载荷离支座较近时，切应力强度条件也可能转化为控制因素；只有实体截面的钢梁总能满足切应力强度条件，此时只需按照弯曲正应力条件来确定即可。提高梁的承载能力一般需要考虑两大因素，一是弯矩，二是截面形状。具体有以下措施：

  · 合理安排梁的支撑，选择合理的跨度，降低最大弯矩。

  · 合理布置载荷，降低最大弯矩。

  · 选择合理的梁截面。当弯矩一定时，最大正应力的数值随抗弯截面模量Wz(Iz/y) 的增大而减小。为了减轻自重、节省材料，就要求所选截面面积较小，抗弯截面模量Wz 较大，或者说抗弯截面模量与该截面的面积之比Wz/A 尽可能的大。对于“工字”钢梁，腹板的主要功能之一是抗剪，翼缘的主要作用是抗弯。

  · 根据材料的特性选择截面。对于抗拉和抗压强度相等的塑性材料，其截面形状宜对称于中性轴，这样截面上、下边缘的最大拉应力和最大压应力相等，同时达到最大的许用应力。但对于脆性材料，由于抗拉和抗压强度不等，因此在选择材料时，最好是使中性轴偏向于受拉一边，通常采用T 形截面。

  · 等强度梁。等截面梁在剪切弯曲时，各截面的弯矩是不等的，如此以最大弯矩来确定截面尺寸，则除弯矩最大的截面外，其他各截面的应力均低于许用应力。为了减轻自重或其他方面的要求，可以使梁截面沿轴线变化，以达到各截面的最大正应力都相等的等强度梁。对于圆形截面的轴或梁而言，可以考虑做成阶梯状。

  · 对于薄壁杆件，因其抗扭刚度较差，确定其剪切中心并使外力作用线尽可能通过剪切中心；对于非对称的实心截面梁，由于剪切中心一般靠近形心，产生的扭矩不大，并且实心梁的抗扭刚度较大，一般可不必考虑扭转影响。

参考文献：

[1] 俞茂宏 编著 材料力学(第2版)[M]，北京：高等教育出版社，2015.3

[2] 江晓禹等 修订 材料力学(第4版)[M] 成都: 西南交通大学出版社，2009.2

[3] 刘鸿文 主编 材料力学I(第4版) M]，北京：高等教育出版社，2004.1

[4] 徐芝纶 弹性力学简明教程(第4版) [M] 北京：高等教育出版社，2013.6

[5] 徐芝纶 弹性力学(5版)[M] 北京：高等教育出版社，2016.3（2017.10重印）

[6] R.C.Hibbeler 著，材料力学 [M] 汪越胜等 译 北京：电子工业出版社，2006.8

[7] W.A.纳什 著，材料力学(第4版)[M] 赵志岗 译， 北京：科学出版社 2002.1

[8] 夏桂云 等，深梁理论的研究现状与工程应用[J] 力学实践 2015.6,37(3)

来源：产品设计研习社微信公众号（ID：gh_ecd074a00e00），作者：探路者510。