变形力学对变换的看法（演化史）

weixin

在上世纪80年代前，我国力学界流行的是坐标变换，把一个坐标系下的物理量变换到另一个坐标系下。这个变换是点-点变换。其数学上的原则是：A系下的点变换为B系下的点。由于A系和B系的度规不同，要按张量法则进行物理分量的变换。当然，运动方程也得变化到对应的坐标系下。

这个点变换的基本理论一般是用雅可比行列式来说明。而且，特别的强调，雅可比行列式不是张量，但是它结定了张量的变换系数（行列式）。

很多人对张量理论的认识也就止步于此。

这个概念的哲学属性是：不同的坐标选择下如何实现点的客观性。它不改变点与点间的物理客观性，只是容许用不同的坐标系来描述点间的关系。这个不变的物理属性是取微分长度的平方为客观不变量（不因主观描述改变而变化的量）。

把坐标变换作为变形的基本力学定义，是那个时代前的重要力学进展。格林用微分平方长度变化定义应变，而它的表达方式自然是由参考位形的坐标与当前位形的坐标（原坐标+位移）变换给出的。此时，使用的是物质坐标系概念。所以，它是对点集变换概念的应用。

Truesdell等理性力学家进一步发展了将位移梯度等同于坐标变换的概念。所不同的是，因为变形是客观的物理现象，所以位移梯度是张量。这个表达位形变化的张量是何种数学属性呢？如何证明它是张量呢？这个问题就成为压垮Truesdell等理性力学家的大山。他们最后给出的概念是：位移梯度是两点张量 (two points tensor)。以此在上世纪70年代结束学术上的争论。

基于位移梯度是张量这个基点，用张量的不变量建立了应力-应变之间的抽象物理-力学关系，建立了现代的本构方程（物性方程）。这是力学理论上的又一个重大进展。我国学界泛称的现代非线性力学指的就是这一大块。

我国力学家陈至达先生在上世纪80年代后，把变形用点集变换表达。所谓点集变换是一个位形（点集）变换为另一个位形（点集），点集自身的坐标（内禀坐标，也称拖带坐标）是不变的，但是两个位形的度规是不同的。从而，这是对变形的精确数学-力学描述。其张量属性是在使用最传统的基矢变换概念下自然获得证明的。其数学基础是Clifford几何代数理论。

在物理学家中，点集变换的概念被看成是老理论，现在一般是用流形变换概念来论述。而在论述流形变换时，往往是先论述点-点变换，或作为特例使用。这样，很多的著作中都在概念上把点-点变换混同于流形变换，而没有突出流形变换的真实物理含义。

所以，我的结论是：目前，物理学和力学上，理论的进展远远超过了当前时代的流行理论（或共识性理论）。这得力于现代数学近一个世纪的飞速发展。但是，把现代数学的语言变成物理、力学的基本语言还是有很多待开拓的领域的。

在高校，如何把新理论教给学生呢？这是一个高难度的系统工程。然而，好像压根就没人想着这事。大家的共同口号是：这半个世纪以来，基础科学理论基本上没有重大进展。这话对吗？

欧美的激进科学家认为：用Clifford几何代数理论重新整理已有的基础科学理论是本世纪最为重大的理论进展，大量的新发现是可以期待的。好像我国学界压根就不相信这类欧美的激进科学家的言论。我所能确认的是：哈佛大学的本科生讲稿中，用Clifford几何代数理论语言讲授基础科学理论课已经好几年的历史了（我看了不少它们的讲稿）。何为一流大学？可见一斑也！

来源：肖建华科学网博客，作者：肖建华教授