理论力学之：科氏惯性力与振动陀螺

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1832年法国工程师科里奥利 (Coriolis, G) 在研究水轮机时发现，在转动的坐标系里存在一种特殊的加速度，称为科里奥利加速度，简称科氏加速度（图1）。加速度的产生是由于相对运动引起牵连速度变化，和牵连运动引起相对速度变化所引起。如坐标系的角速度为ω，质点的相对速度为vr，科氏加速度ac 的计算公式为

将科氏加速度ac 乘以质量m，增加负号，就成为科氏惯性力。

物体的动力学过程，可表达为实际作用力F 与包括科氏惯性力Fc 在内的惯性力之间的平衡。

科氏惯性力是理论力学教材里不可省略的重要概念，落体偏东、台风形成、河岸冲刷是最常引用的例子。在《嫦娥探月与限制性三体问题》一文里曾有过说明，科氏惯性力也是月球和人造卫星保持位置稳定性的关键因素。

图1 科里奥利 (G. Coriolis, 1792-1843)

利用科氏惯性力可以量测载体的转动角速度。将一只音叉形状的装置固定在载体上，将两臂的质量集中为两个质点A 和B（图2）。激励音叉的两臂使其持续振动，振型保持对称。则A 和B 的相对运动方向相反，所产生的科氏惯性力FA 和FB 也方向相反，其幅值与载体角速度ω 成正比。两侧的科氏惯性力组成一个交变的力偶，作用在音叉的立柱上。考虑立柱的弹性变形，音叉在交变的惯性力矩驱动下作扭转振动。振动的幅值与科氏惯性力成正比，也就与载体角速度成正比。为增大信息的强度，可令激励频率接近音叉的固有频率，使音叉接近谐振状态。这种量测载体角速度的装置称为振动陀螺 (vibratory gyroscope)。这里的  “陀螺”  只是个借用的称呼，因为实际上并不存在高速旋转的陀螺转子。

图2 音叉式振动陀螺

有趣的是，发明振动陀螺的灵感竟来自小小的苍蝇。苍蝇的飞行能力极强，不仅速度每小时可达20公里，而且能在飞行中急速转变方向，能垂直上升下降甚至定悬在空中。这种超强的飞行技能与苍蝇自备的导航系统密切相关。苍蝇仅用前翅飞行，后翅演化成一对小棒锤，称为楫翅（图3）。苍蝇在飞行过程中，楫翅以每秒330次的频率作对称的振动。这对楫翅就成为天然的振动陀螺，苍蝇依靠它就能在飞行中灵敏地感知自身的转动角速度，判断飞行方向。从苍蝇的楫翅到振动陀螺的发明，是仿生学的一个成功范例。

图3 苍蝇的楫翅

将振动陀螺装在飞机或导弹的导航系统中，所测出的载体角速度经过积分转换为转角信息，就能确定载体的姿态。近年来，由于大量新型电子产品的问世，振动陀螺在民用领域里也大显身手。以手机为例，它的许多功能都需要角速度和姿态信息。例如“摇一摇”功能，图像随机身转动的功能，指示水平面的功能，记录走路步数的功能，自主导航功能等等。不过要将振动陀螺装进手机，首先必须缩小它的体积。利用微机电系统 (Microelectromechanical Systems) 加工技术，在硅基或金属基上借助电子芯片的印刷蚀刻等特殊方法，就能使这种可能性变为现实。制造出的微型陀螺元件可缩小到毫米尺度（图4）。

图4 微缩的振动陀螺

最简单的微型振动陀螺是一个二自由度质点弹簧系统（图5）。沿x 轴施加交变的激励力，使质点作接近谐振的周期运动。基体绕z  轴转动时，所产生的科氏惯性力驱使质点沿y 轴方向振动，幅度与载体角速度ω 成正比。

图5 质点式振动陀螺

和质点弹簧系统的原理相同，将一个弹性柱体的侧面贴上压电基片，沿x 轴方向施加交变激励，使柱体产生 (x, z) 平面内的弯曲振动。当载体绕z 轴转动时，产生科氏惯性力，激起 (y, z)平面内的弯曲振动。在相隔90°的柱体另一侧面也贴上压电基片，量测y 轴的弹性位移即得到角速度信息（图6）。

若不施加交变激励，仅由质点上作用的外力，如重力或因加速运动产生的惯性力压缩或拉伸弹簧，所产生的静变形与重力或加速度成正比，则构成微型加速度计。可用于确定垂直轴的方向，也可将测出的加速度信息积分后，确定速度和路程用于自主导航。

图6 柱状振动陀螺

1890年，英国人布瑞安 (Brian, G.H) 观察到，当一个半球形玻璃酒杯受到敲击后，玻璃杯口可呈现出4个波腹伴随4个节点的拍振动。当玻璃杯绕杯柄转动时，杯壁沿径向的相对运动产生沿切向的科氏惯性力使拍振动的节点产生偏移。受这一现象的启发，产生了半球谐振陀螺 (hemispherical resonator gyroscope)（图7）。

图7 半球谐振陀螺

如将半球的质量集中于边缘，即演变为微缩的圆环型振动陀螺（图8）。沿图中x 轴和y 轴方向施加交变的激励力，使圆环产生接近谐振的径向拍振动。在A、A'、B、B' 点处有最大径向相对速度。当载体绕z 轴以角速度ω 转动时，圆环上各点产生沿切向的科氏惯性力。在A 点至B 点的范围内，此惯性力的合力Fc 作用于45°方向的节点C。A' 点至B' 点范围内的科氏惯性力合力Fc' 作用于节点C '。对第二和第四象限做类似分析，得到D 和D' 点作用的科氏惯性力FD 和FD'，但方向相反。圆环在交变的惯性力驱动下，在节点C、C '、D、D ' 处产生附加径向振动。其振幅与角速度ω 成正比。

图8 圆环式振动陀螺

利用科氏惯性力的微型振动陀螺成本低廉，可批量生产。与导航系统的精密陀螺仪相比，精度虽低但满足民用要求已足够，因此，是广泛用于民用产品的惯性元件。除手机以外，在照相机防抖、虚拟现实的眼镜、自平衡滑板、汽车的气囊安全系统等其它消费领域，微型陀螺仪和微型加速度计也大有用武之地。

（原文注：改写自 刘延柱. 趣味刚体动力学（第2版）, 5.2节. 北京：高等教育出版社，2018）

来源：刘延柱科学网博客，作者：刘延柱。