简谐振动与李沙育图形-----图形的奥妙

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李沙育图形，又叫李萨如图形，就是将不同的两个频率信号分别加至示波器的Y轴输入端和X轴输入端，在示波器显示屏上将出现一个合成的图形，这个图形就是李沙育图形。

下图是在示波器下X轴、Y轴分别输入不同的信号而显示出椭圆图形，这是李沙育图形中的一种。

示波器显示李沙育图形▲

随着输入信号参数的改变，显示的李沙育图形有很多不同的形状，如下图所示。

李沙育图形的多样性▲

本节主要介绍以正弦函数表示的简谐振动信号，以及由简谐振动信号产生的李沙育图形。

一、简谐振动

1、什么是简谐振动？

简谐振动是一种简单和谐的机械振动。当某物体或或物体的一部分作简谐振动时，由于自身系统性质的原因而作周期性的运动，典型的有弹簧振子的振动和单摆的摆动。

●弹簧振子振动
下图给出了弹簧振子的示意图。

弹簧振子的三个位置▲

弹簧振子受外力作用后，在水平方向不断作出从O→A→O→A’→O→A……等点的往复来回振动，见下图。图中无法表示在一条直线上往复振动，只是示意性的表示，不要理解成绕圈运动。

弹簧振子来回往复直线振动▲

●钟摆来回摆动
下图演示摆锤的来回摆动。

摆锤来回摆动演示▲

●下图表示音叉受敲打而持续振动，并产生声波和发出音响。

音叉振动演示▲

上述弹簧振子的来回振动、摆锤的在一个平面里摆动、音叉的振动等都是简谐振动。这种振动的轨迹与时间变化的规律可由下列实验实现。

●实验
实验的条件、要求如下：

摆动实验▲

图中，铺上沙子的平板向右匀速运动，同时由于摆锤的摆动，结果在沙板上划出了一条曲线，这条曲线是表示简谐振动的规律，而且是正弦曲线。有的资料说是余弦曲线，也没错。正弦曲线与余弦曲线只是在相位上相差90°，其它都是相同的，关于“相位差”这个术语后面还要提到。

同理在电子电路中，由于电磁振荡产而产生周期性改变的电信号，这些电信号类似机械振动、声波信号等，也是简谐振动并用正弦曲线来描述。

●机械振动动和电磁振荡等简谐振动的方程式可统一描述为：

此方程式说明了正弦量x是时间t的函数。A是振幅，ω是与振动频率有关，ωt+φ是振动的相位角，T是振动周期，φ是t=0时的初始位置（初相位）。

2、简谐振动的要素
时间、幅值、周期、频率、圆频率、相位、初相位、相位差等都是简谐振动的重要元素和核心概念，下面将对它们逐一介绍。

●时间
时间，是简谐振动的第一要素，振动的幅度是时间的函数。时间的符号是t，单位是秒。

●幅值
幅值，是正弦量变化过程出现的最大数值，因为幅值只是某一时刻的正弦量的值，因此又引入了有效幅值的概念（即平均幅值），我们日常生活中使用的220伏特的交流电，指的是频率是50Hz的正弦交流电压的有效幅值，有效辐值比交流电的最大幅值要小。

●周期、频率
周期，是正弦量变化一周所需要的时间，用“T”表示，单位是“秒”。
频率，是每秒钟内正弦量改变的次数，用“f”表示，单位是“Hz”（赫兹）。
周期与频率互为倒数。即T﹡f=1。例如钟表的秒针旋转的周期T=60秒，频率f=1/60 Hz，这频率是相当低的。据了解，5G通讯中的微波段最高频率是5000MHz，即50亿Hz。

●圆频率
圆频率，也称角频率，符号是“ω”，单位是2π弧度/秒，即每秒走过多少个2π弧度，见下图。ω与f的关系是：ω=2π﹡f。

圆频率与初相位▲

●相位、相位差、初相位
相位是用角度表示的，又称为相位角，方程式中用弧度作为单位。见上图，波形上的P点的相位角为φ，与左边的圆上P’的φ角是对应的，这就说明了相位也叫做相位角的原因了。

下图中，红色曲线是激磁信号，蓝绿色为测得曲线。两条曲线从对称轴上方下穿下方（或下方上穿上方）时各自有一个时间（角度），它们之间的时间差（或角度差）称为相位差。

初相位，在简谐振动方程中，若t=0时正弦量的瞬时值为正值，则其初相位为正角；若t=0时正弦量的瞬时值为负值，则其初相为负角。下图中，信号1的方程式是X1=A1sin(ωt+Φ1)，信号2的方程式是X2=A2sin(ωt+Φ2)。那么按照上面的定义，初相位Φ1=+θ1 ,Φ2= -θ2 。

上述这些重要概念在李沙育图形中经常用到。

二、李沙育图形

李沙育图形随两个输入信号的频率、相位、幅度不同，所呈现的形状也不同。

两个信号分别输入示波器的X通道和Y通道进行合成的过程，可以用作图法来表示。作图法的原理是：李沙育图形上的每一个点的两个坐标都分别从以下对应的方程式得到： X=A1sin(ω1t+Φ1)，Y=A2sin(ω2t+Φ2) ，通过作图能做到这一点。

●当正弦曲线x=sin(t)和余弦曲线y=cos(t)=sin(t-π/2)分别输入X通道和Y通道，经合成形成一个圆并显示在显示器的屏幕上。下图用作图可以模拟示波器内信号合成的全过程。

正弦信号与余弦信号合成结果是圆▲

●当同频同幅的两个信号相位差为0时，合成图形为直线，此时两个信号合成一条倾斜的直线段。下图用作图法表示这两个相同的正弦信号合成为直线的过程。

●下图是，当相位差为π/4的两个正弦函数x=sin(t)与y=sin(t-π/4)进行合成后生成倾斜的椭圆，这个椭圆就是本节第一个例图中示波器显示的那个椭圆。

●下图是频率比为1:2的李沙育图形的作图过程。

●下图是频率比为2：3的李沙育图形动态演示。

●下图展示在示波器上显示的一部分李沙育图形。第一排中间显示的是椭圆（“90°”字样的下方）而不是圆，其原因是两个信号的幅值不相等，接入Y通道的信号幅值比X通道的大。各个图中两个信号的幅值的差值是不变的，但两个信号的频率比和相位差一直在改变。

●还有频率比为3:4和4:5的李沙育图形。

从这里可以看出，李沙育图实际上是一个质点同时在X轴和Y轴上作简谐振动形成的。但是，如果这两个相互垂直的振动的频率为任意值，那么它们的合成就会比较复杂，而且轨迹是不稳定的。然而，如果两个振动的频率成简单的整数比，这样就能合成一个稳定、封闭的曲线图形。

最后有一个问题或许你会想到，李沙育是个什么样的人？他是如何发现这样的图形？

李沙育发明的一种装置▲

在大约200年前，一位叫李沙育的法国数学家发明了一种装置（见上图），让一束光被一面固定在音叉上的镜子反射，然后再被第二面固定在音叉上的镜子反射，两个音叉震动方向互相垂直，两者音高也经常被设置为不同，以取得不同的谐振频率，同时，光束最后打到墙上，会形成各种图形。这种图形就是所谓的李萨如图形。这项发明是后来许多仪器的基础，如谐振记录仪。