谈谈关于浮体的平衡

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浮体的平衡问题，是与造船工程技术密切相关的理论课题。本文简要谈谈这个问题的要点。

由拉格朗日关于平衡与稳定的定理，当物体系统所受力的势能最小时，平衡是处于稳定的。

如图，浮体的重心为C 有重力P 作用于它，浮心为M 有浮力F 作用于它。在平衡时，P 和F 的大小是相等的，于是两个力的势能之和为

要使势能最小，上式P 是给定的，所以只有当l 最小时，势能才是最小的。所以我们有定理：当浮体的重心与浮心距离最小时，浮体的平衡是稳定的。

有了如上的一般结论，我们来考虑两个例子：

例1：均质的浮在水面上的半圆柱。

如图浮在水上的半圆柱，在半圆柱倾斜时，浮心的轨迹和圆柱面同心的弧ab。显然，重心C 与浮心轨迹上各点以CM 为最短。所以浮体的稳定平衡位置是以CM 铅直时为稳定平衡的位置。对于半球浮体平衡的讨论也完全一样。

例2：比重为0.5的正方形截面的均匀柱体。

如图，考虑边长为a 的正方形截面，在截面相对于水平面cd 旋转一个角度α 的时候，cd 线下方部分的重心就是整个正方形截面的浮心。易于求得浮心在正方形截面坐标上的位置是

这个式子是对于α 在0°到45°之间得到的，在这个角度之外，可以利用对称性补齐以得到整个0°到360°之间的浮心的坐标。

由浮心的坐标很容易计算出浮心与重心o 的距离。我们得到当α=0°时，距离为a/4；而当α=45°时，距离为1/3√2a。前者距离是极大，后者是极小。所以我们可以得出结论：这个正方形截面的柱体，当α=45°时是平衡是稳定的；当α=0°时，也是一个平衡位置，但是平衡是不稳定的。

考虑对称性。正方形截面柱体共有8个平衡位置，其中4个是稳定的，4个是不稳定的。下图表示柱体稳定平衡的位置。

来源：武际可科学网博客，作者：武际可 北京大学力学系。