结构有限元分析中的时域瞬态法

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瞬态结构动力学分析（又称时间历程分析），是用于确定结构随时间变化的动力学响应的一种方法。通过瞬态动力学分析，我们可以确定结构在稳态载荷、瞬态载荷和简谐载荷的随意组合作用下的随时间变化的位移、应变、应力及力。瞬态分析最大的优点就是考虑了惯性力和阻尼作用。

瞬态问题常见的分析方法有：

  · 时域瞬态分析；

  · 特征值提取（自然频率和模态）；

  · 稳态响应（频域的谐响应分析）；

  · 响应谱分析（冲击的峰值响应计算）；

  · 随机响应分析（由随机激励引起的振动）。

由于时域瞬态方法最为直观，适应各种线性、非线性的工况，使用率高。所以，本文只介绍时域瞬态法。

控制方程

瞬态动力学的基本运动方程是：

其中，[M] 是质量矩阵，[C] 是阻尼矩阵，[K] 是刚度矩阵。 是节点加速度向量， 是节点速度向量，{u} 是节点位移，{F} 是载荷。可以看出，结构瞬态方程是一个含有二阶时间导数的方程。求解二阶时间导数的方法很多，结构有限元中使用最为广泛的是Newmark隐式时间积分法。

常见求解方法

瞬态动力学有常见三种有限元求解方法：完全法、缩减法及模态叠加法。

1. 完全法

采用完整的系统矩阵计算瞬态响应。它是功能最强的，支持求解各类非线性特性（塑性、大变形、大应变等）。

优点是：

  · 容易使用，不必关心选择主自由度或振型;

  · 允许各种类型的非线性特性；

  · 采用完整矩阵，不涉及质量矩阵近似；

  · 一次分析就能得到所有时间历程下的位移和应力；

  · 允许所有类型的边界条件。

缺点是：

  · 开销大，费时，计算所得数据大。

2. 缩减法

通过采用主自由度及缩减矩阵压缩数据规模，在主自由度处的位移被计算出来后，将解扩展到完整自由度集上。

优点是：

  · 比完全法快且开销小。

缺点是：

  · 初始解只计算主自由度的位移；

  · 只能施加节点边界条件；

  · 所有载荷必须加在用户定义的主自由度上；

  · 时间步长必须恒定，不支持自动时间步长；

  · 不支持非线性（点对点接触除外）。

3. 模态叠加法

通过对模态分析得到的振型（特征值）乘上因子并求和来计算结构的响应。

优点是：

  · 比缩减法或完全法更快、开销更小；

  · 允许考虑模态阻尼（阻尼比作为振型号的函数）。

缺点是：

  · 时间步长必须恒定，不支持自动时间步长；

  · 不支持非线性（点对点接触除外）；

  · 不能施加非零位移边界条件。

由于完全法的优越性，及其在非线性问题的广泛应用。本文只介绍完全法。

   阻尼   

考虑阻尼的作用是瞬态分析优点之一。阻尼可以看做是一种能量的耗散，它来自于诸多因素，而有限元分析中，时常将阻尼看做是一种综合作用，而从数值角度施加阻尼。 

有限元中常见的阻尼设置有三种：直接阻尼，Rayleigh阻尼和复合阻尼。

  · 直接阻尼，可以定义与每阶模态相关的临界阻尼比，其典型的取值范围是在临界阻尼的1%到10%之间。

  · Rayleigh阻尼，假设阻尼矩阵是质量和刚度矩阵的线性组合。尽管阻尼是正比于质量和刚度矩阵的假设没有严格的物理基础，实际上我们对于阻尼的分布知之甚少，而实践证明Rayleigh阻尼在有限元法中是有效的，并被广泛应用。

  · 复合阻尼，可以根据每种材料定义一个临界阻尼比，这样就得到了对应于整体结构的复合阻尼值。当结构中有多种不同的材料时，复合阻尼更为有效。

在大多数线性动力学问题中，准确地定义阻尼对于结果十分重要。但是，阻尼算法和参数只是近似地模拟了结构吸收能量的特性，并非从原理上模拟引起这种效果的物理机制。因此，有限元分析中确定阻尼数据是很困难的。有时我们可以从试验中获得这些数据，有时必须要通过查阅参考资料或者经验来确定阻尼参数。

时间求解器

瞬态结构问题，由于二阶时间导数的引入，我们需要能求解时间导数的时间求解器。我们一般将此求解器分为两大类：显式求解器和隐式求解器。

1. 显式求解器

用上一步的结果和当前步的结果计算下一步的计算结果，显式求解器有不稳定区域，需要很小的时间步长。

好处是可以不需要非线性求解器（牛顿迭代求解器）来求解非线性特征，也不需要组装刚度矩阵。同时编码和算法相对简单，不需要额外的内存来存储额外中间数据。显式求解器的稳定步长可以估算得出，但是由于实际计算的复杂性，会设置的比理论步长还要小一些。显式算法要求质量矩阵为对角矩阵，而且只有在单元级计算尽可能少时速度优势才能发挥，因而往往采用减缩积分方法，容易激发沙漏模式，影响应力和应变的计算精度。

显式求解器的代表算法有：中心差分法，Euler向前差分法，Runge-Kutta，线加速度法等。

2. 隐式求解器

用当前步结果和下一步未知结果反复迭代下一步结果，必须通过迭代得到。隐式求解需要组建刚度矩阵，需要牛顿迭代求解非线性问题。

常用方法有：Newmark法和Wilson-Theta法，其变种算法可以通过修改算法中的alpha、beta和theta参数来实现，如HHT算法在一些问题上的计算效率和精确度有显著提高。

隐式求解法的最大优点是它具有无条件稳定性，即时间步长可以任意大。但是实际运算中上要受到迭代次数及非线性程度的限制，需要取一个合理值。同时如Newmark等算法具有二阶精度。

显式和隐式算法的比较如图所示

为了确保得到结构的全部反应并保证解的稳定性和收敛，选择正确的时间步长是很重要的。一般说来，时间步越短，解越精确；然而时间步越小，求解步数就越多，运行时间将显著增加。因此，求解所需要的时间将限制步长不可能太小。同时，时间步不能太大，否则计算容易漏掉结构的很多高阶频率，从而导致所得到的解不真实。

自动时间步长是一种能够优化瞬态求解效率的自动化算法，用户只需要设置初始步长和步长的最大、最小值。在求解过程中，求解器将根据需要自动减小时间步，以解析解中的任何快速变化。在结果变化较小的过程中，求解器能增大时间步，从而提高计算效率。

边界条件和初始条件

和静力分析不一样的是，由于瞬态和惯性的特征，瞬态分析支持速度和加速度边界条件。这些边界条件，尤其是加速度可以用来模拟激振的效果。

对于初始条件，瞬态分析一般会支持以下三种：

  · 线性静力结果，它指定了结构在某种静荷载作用下的初始位移。

  · 一个瞬态分析结果，它确定了结构在某时刻的瞬态反应，求解可以从任何指定的时间步开始。

  · 结构中所有自由节点的初始速度和初始加速度。

  · 初始速度条件是比较常见的初始条件，它常以体条件施加在某个结构体的所有节点上。

来源：WELSIM微信公众号（ID：welsim666），作者：小仿真。