从太极图说起——再谈对称

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请看下边这张太极图和八卦图。按照对称的理解，把这个图经过平移或旋转或镜面反射，能够使它和自己重合，便是对称。可是你会发现，无论怎样都不能做到，只有旋转360°能够做到，不过任何图形旋转360°都是会和自己重合的，这种情形是应当除外的。再仔细看看，尽管它左右两半图形不同，但只是颜色不同，一边是黑一边是白，鱼形图的位置是一正一反，相互颠倒，即使是旋转180°图形能够重合，但是颜色又相反。按照原来我们对对称的理解，它们不算对称。不过，如果把我们关于对称的理解扩大一下，称它为“反对称”就更符合我们的直觉。这也是一种广义的对称，它进入我们的视野，在数学和力学中会产生意想不到的新东西。这正是一种“和而不同”的对称。

图1 太极与八卦图

图2是荷兰艺术家摩里茨·科奈里斯·埃舍尔 (M.C. Escher ,1898-1972) 1938年画的《天与水》的一幅画。同样，仔细观察其中鱼和鸟的变化，会体会到有类似太极图那样的对称。

图2 天与水

一、黎曼几何

在一张光滑曲面上给了一个坐标架场，即每一点给了不共线的两个向量e1、e2，还给了一个微向量

其中，dx1 和dx2 是坐标的微分，这个微向量的长度的平方应当是

如果把上式中的ei ·ej=gij  (i,j=1,2)，它们是坐标参量x1 和x2 的函数。这样，上式就可以写成

其中，按i、j 从1到2约定求和。（即凡有上标和下标相同，就对于指标变量从1到它的上界求和。）

显然因为ei ·ej=ej ·ei ，所以gij =gji ，即gij 对于下标是对称的。它也称为度量张量，或黎曼度量，有的情况也称为度规张量。

在曲面上每一点给了式

我们就能够计算曲面上任何两点之间的弧长，进而也能够计算曲面上的其他度量性质，例如相交两条线的交角、闭曲线所围的面积等。实际上，关键是给了作为坐标参量x1 、x2函数的gij，并无需知道坐标架，e1、e2。也就是说，我们只要知道了gij ，就能够知道曲面内的一切度量性质。把对于二维曲面的这个思想推广到n 维流形上，就是黎曼几何。下面我们就将上式中的上下标的变化范围扩大到n。

下面这四幅画，是荷兰艺术家摩里茨·科奈里斯·埃舍尔画的《圆的极限》。每一幅都画在一个半径为单位的圆内。画面从中心一直到边缘，逐渐变小，以致无限小。这几幅图中都是充满对称的图案。这种对称就不再是通过平移转动和镜面反射能够使图形重合，而需要引进适当的变换使图形重合。

图3 圆的极限

其中的奥妙就是采用的度量为

也就是

这样的二维黎曼空间，它的参数定义域是在一个单位圆内，这个圆称为庞加莱圆盘，是由法国数学家庞加莱首先引进的。有了度量，就很容易求出空间的测地线（它相当于欧氏平面上的直线）。把测地线的参数变化画在圆盘上，然后根据测地线的轨迹去构图。第三个圆盘上的首尾相连的鱼就是沿着测地线画的。

图4 黎曼像

德国数学家黎曼 (Georg Friedrich Bernhard Riemann , 1826-1866) 是一位有多方面贡献的数学家。在哥廷根大学毕业后师从高斯攻读博士学位，于1851年以有关单复变函数的论文获博士学位。1854年黎曼在哥根廷大学初次登台，为了提升讲师作了题为《论作为几何基础的假设》(Ueber die Hypothesen, welche der Geometrie zu Grunde liegen) 的演讲，开创了黎曼几何的历史。在这篇论文中，黎曼并没有用多少公式，其中列出的唯一重要的公式就是上文引用的。

黎曼这篇论文除了开辟了微分几何的新领域之外，在数论、复变函数论、微分方程、数学物理等方面，都有非常重要的贡献。

正如平面可以看作曲面的特殊情形，当黎曼几何的度量张量的数值gii=1，gij=0（当i≠j 时），黎曼几何就是通常的欧氏空间，亦即欧氏几何。

最早黎曼提出黎曼流形时，上式中关于dx i的二次型是正定二次型，这是由于上式左边是微弧的平方，不管在什么条件下都是正的。后来，人们考虑上式不一定要求是正定的，这时这种空间就称为伪欧氏空间。在狭义相对论中，定义时空距离为

其中，c 是光速，t 是时间。这就是一个伪欧氏空间。易于验证这个式子是在洛伦茨变换之下的不变量。

顺便提一句，当二次式不一定是正定的时候，

而且后面还有dx i的一次项时，这种空间就称为芬斯拉空间 (Finsler Space)，研究它的学问就称为芬斯拉几何。我国数学家苏步青是芬斯拉几何的专家。

二、辛几何

上一节我们引进了黎曼几何的概念。并且说，把黎曼几何中的度量进行推广或少许改变就会得到新的几何。不过上面引述的几种改变都还保留了二次式的对称性质。

现在我们要引进一种比较大的改变，从而产生一种崭新的几何——辛几何 (Symplectic Geometry)。

改变的第一点是，令空间的维数n 为偶数，即n=2m；第二点，最重要的是改变微分dx i乘积的定义。原来的乘积是可交换的，即dx idx j=dx jdx i，就是两个元素相乘时，次序先后结果都一样。这种乘法对于次序的置换是对称的。现在把乘法的可交换改为交换次序后取反号，即dx idx j=-dx jdx i。也就是说，将原来坐标参数微分的乘法从对称改为反对称。为了区别于原来的乘法，把这种乘法取名为外积，乘法的符号也改用“∧”，于是我们有dx i∧dx j=-dx j∧dx i。在这样的改动下，上式就可以写为：

由于外积的性质，上式中必然有gii=0，gij=-gji。另外，即这时的度规是一个反对称张量。由于引用了外积，上式也不一定是正定的了，所以就不再有弧长的性质，我们不再保留下式左端的 (ds)2。

上面这个表达式还是有一点复杂的。现在我们引用一个定理（达布定理），这个定理说，下式在一定的条件下，总能够通过坐标参量的变换，

把它化为如下的标准型：

这个式子用矩阵的符号可以记为：

式中{dx 1,dx 2,···,dx m,dx m+1,dx m+2,dx 2m} 用花括号表示列向量。0m 与Em表示m 阶零矩阵和单位矩阵。度量矩阵 (gij ) 的形式为：

需要说明的是，外积的概念是在19世纪就已经产生了，到了二十世纪，法国著名数学家卡丹 (Elie Joseph Cartan, 1869-1951) 对它进行了系统的发展，并引进外形式和外微分的概念。表达式

或

就是一个二阶外微分形式，对于微分形进行外微分，可以得到更高阶的微分形。后来的研究发现外形式有着更为丰富的几何内涵。与之相对应的式

是仅仅考虑流形内的度量性质，对应的几何称为内蕴几何。而外形式则更多地考虑到流形的定向、低维流形与高维流形之间的关系，所以后来在力学、物理和微分方程的可积性等方面都有重要的应用。卡丹在李群理论及其几何应用、数学物理、微分几何等方面有很重要的贡献。

辛 (Symplectic) 这个词则是德国（后加入美籍）数学家魏尔 (Hermann Klaus Hugo Weyl, 1885-1955) 于1939年引进的。他首先引进了辛群 (Symplectic Group) 的概念，即一个线性变换群如果能够保持反对二次型

的反对称性质这个线性变换群就称为辛群。对辛群，魏尔在1946年出版的专著《经典群，它们的不变量与表示》第六章中有较详细的讨论。

抗日战争胜利后，蒋介石想制造原子弹，曾派出华罗庚（数）、吴大猷（理）、曾昭抡（化），各带一二位研究生于1946年赴美考察。后来他们知道，美国政府规定：凡与原子弹有关的研究机构和工厂，一律不准外国人进入。这三位和他们所带的研究生只得“各奔前程”。华罗庚就去访问普林斯顿接触到魏尔，并把Symplecyic翻译为“辛”，介绍到中国。

图5 卡丹（左）与魏尔（右）像

三、几何学与力学

以上所介绍的黎曼几何、辛几何、外微分以及相关的几何概念和变换群理论，都是数学家从19世纪中叶开始到20世纪中叶近百年中发展起来的成果。这些成果最初对大多数物理学家和力学家都是不熟悉的，它们逐渐显露出深入研究力学与物理的强大力量。于是到20世纪五十年代以后，有一个逐渐向力学界和物理界传播和普及的过程。这个过程的主要特征是出现了大量好的教材，和用这些新的几何语言重新整理经典的物理和力学理论的成果。这个趋向被一些学者称为“物理的几何化”。

在数以百计的这类书中，有一本比较通俗的著作，这就是前苏联学者阿诺尔德所写的《经典力学的数学方法》，该书是作者1966-1968年对莫斯科大学数学力学系数学专业3到4年级的讲义基础上写成的。尽管有人评论这本书写的像数学，但由它不一定能够学会力学，不过它仍不失为一本好书。他把经典力学的发展归结为三步：牛顿力学相应于欧氏几何，拉格朗日力学相应于黎曼几何，哈密尔顿力学相应于辛几何。

1. 牛顿力学

牛顿力学是研究关于自由质点在外力作用之下的运动规律的，令向径r(t )=(x(t ),y(t ),z(t )) 表示质点在瞬时t 在三维欧氏空间中的位置，m 是质点的质量，U(x,y,z) 是质点上所受力的位势函数。

则质点运动的方程是

这里▽U(x,y,z) 表示U(x,y,z) 的梯度，即

2. 拉格朗日力学

在牛顿的《原理》出版后的101年，也是法国大革命的前一年，即1788年，却在法国出版了一本不含几何推理也没有任何几何插图的力学书。这就是J.L. 拉格朗日(Lagrange) 著的《分析力学》。这本书的出版标志了力学发展的一个新阶段。

标志拉格朗日的新阶段，是他用统一的方法处理带约束的力学系统。所谓分析力学，实际上可以看作约束体系的力学。

他首先引进可以完全描述力学系统状态的有限个参数，采用拉格朗日的符号，记为qj (j=1,2,···,n) 称为广义坐标，后人也称为拉格朗日坐标。其次，他在系统运动时计算系统的动能T，用以下函数表示

即

我们把上式与后来黎曼引进的微弧长式对比，发现除了前面差一个1/2的系数外，完全是弧长对于时间微商平方的表达式。

拉格朗日以下式表示作用量，

使I 最小的qj (t ) 便是真实运动。拉格朗日称之为最小作用量原理。并且论证真实运动必须满足方程

这里Qj 是作用力在广义坐标中的表达式。如果将他表为qj 的函数，且是有势力的情形，即

这时，若令L=T-U，则有

这个方程称为第二类拉格朗日方程，函数L 是S.D. 泊松引进的称为拉格朗日函数。

上式中如果Qj=0，则它的解相当于是以T 为黎曼度量的短程线。在欧氏空间中不受外力的质点运动轨迹是直线。而有约束的力学系统在黎曼空间的运动轨迹是黎曼空间的测地线。

上式表示，如果以L 为黎曼度量，则该力学系统在这种空间的运动轨迹是L 度量之下的短程线。因为这些微分方程都是相应的作用量取极值条件下的解。

我们还看到，分析力学中引进的广义坐标实际上是最早高维空间的概念。后来黎曼引进了黎曼几何、黎曼流形，他的度量二次型实际上就相当于拉格朗日引进的动能的表达式。这才对力学上的广义坐标给了一个比较深刻的解释，所以我们也可以说，分析力学是流形上的力学。拉格朗日使力学摆脱了古典欧氏几何的束缚，但并没有使它永远脱离几何，而是使力学与更高层次的几何——流形几何或现代微分几何相联系在一起。

3. 哈密尔顿力学

1834与1835年，哈密尔顿发表了两篇著作，《论动力学中的一个普遍方法》与《再论动力学中的普遍方法》。在这两篇论文中，包含了他对分析力学的主要贡献。

哈密尔顿引进了

后人将H 成为哈密尔顿函数。将pi，qi 称为哈密尔顿的广义坐标。

利用pi= əL/ ə ，从中解出为pi，qi   的函数代入上式，再降上式作变分可得

注意式中的自变量的变分是任意的，我们便可得到

这边是以哈密尔顿函数H 与哈密尔顿变量p、q 表示的运动方程。后人也将它称为哈密尔顿方程。p、q 决定的流形，也称为相空间，显然它是2m 维的。

现在把上式写成矩阵的形式，我们有

这个式子中右端的矩阵就是式

就是说上述矩阵方程的反对称性质和辛几何中的二次型

的结构是相同的。于是，讨论关于上述矩阵方程的许多问题就和研究辛几何的问题相一致起来了。例如要在相空间进行一个变换，使它在新的相空间的方程扔具有上述矩阵方程的形式，就和辛空间的参数变换使得二次型

的形式不变是同一个问题。这样的变换在力学中称为正则变换，在辛几何中称为辛群。

哈密尔顿方程不仅是从形式上将拉格朗日的二阶方程组变为一阶方程组，使它更易于求解，而且由于使它与辛几何对应，开辟了从研究辛几何去获得关于解的性质的途径。进而它告诉我们，一切具有能量守恒的力学系统，或者说二阶方程组都能够化归为哈密尔顿系统求解，近年来，有些学者将理想流体的欧拉方程组，化归为哈密尔顿系统来研究，得到了一些新的结果。另外，由于哈密尔顿系统具有守恒性质，或者说每一步都是保辛的格式，则计算精度会更好。在这方面，我国学者冯康、钟万勰做过很好的工作。

本文开头，我们提到太极图，然后引出对称的黎曼几何和反对称的辛几何。我们并且说，黎曼几何是关于流形内的几何性质，而辛几何以及外形式是关于流形外部的性质。二者相辅相成。这正符合道德经所言：“道生于一，一生二，二生三，三生万物，万物负阴以抱阳，冲气以为和。”阴阳，也是一种对称，反对称也是一种对称。进而，力学内容和它的几何表述也是一种对称。是一种“和而不同”的对称。在力学发展的每一个阶段都有对应的几何与之相应，这又是一种多么和谐的对称啊。在未来新的力学出现时，是否也可以期待随之而出的新几何呢。这实在是一个吸引人的问题。

参考文献：
[1] 阿诺尔德著，齐民友译，经典力学的数学方法，高等教育出版社，2006
[2] 武际可、黄克服编著，微分几何及其在力学中的应用，北京大学出版社，2011
[3] 钟万勰著，经典力学辛讲，大连理工大学出版社，2013

来源：武际可科学网博客，作者：武际可 北京大学力学系。