哈密顿力学——泊松括号和泊松定理

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从哈密顿力学开始，我们首先是从降阶拉格朗日方程的想法出发得到了哈密顿正则方程，然后从思考哈密顿力学的优越性切入得到了相空间的概念，当然，由于广义坐标和广义动量的选择比较广，因此相空间不仅仅能运用于力学的范畴中，如果将目标转向粒子的话，将成为统计物理研究的重要方法。

在得到相空间的概念以后，我们自然要研究相空间的各种性质，很自然的在其中就得到了泊松括号的性质，最后，泊松括号作为一种运算符号，我们利用其性质推导出了泊松定理，从而为如何寻找运动积分提供了一个简单的方法。

泊松括号与泊松定理

我们很多时候不是分析相空间的某一个点，而是相空间中的某种变化，这里如果我们考虑相空间里某函数f 对时间的变化

根据Hamlton正则方程：

可得：

对于求和号里面的内容，由于经常在处理相空间函数会出现求和号里面的内容，于是我们定义泊松括号

那么

就可以变成

特别的，如果这个函数是HamiIton函数H，那么：

若Hamilton函数不显含时间t，那么可以知道Hamilton函数是一个守恒量（运动积分）。

注：虽然泊松括号在这里仅仅是一个数学的小把戏，但是在量子力学中，泊松括号对应的内容是力学量的对弈关系，是量子力学的核心内容之一。
由于泊松括号是一种计算法则，那么我们可以根据定义归纳泊松括号的性质：

[c,φ]=0

[𝜙,φ]=-[φ,𝜙]

[c𝜙,φ]=c[𝜙,φ]

[𝜙,φ1+φ2]=[𝜙,φ1]+[𝜙,φ2]

[𝜙,φ1φ2]=φ1[𝜙,φ2]+φ2[𝜙,φ1]

ə/ət[𝜙,φ]=[𝜙,əφ/ət]+[𝜙,əφ/ət]

[qα,φ]=əφ/əpα；[pα,φ]=-əφ/əqα

特别的，如果φ=H，那么能用泊松括号表示Hamilton正则方程

  · 基本泊松括号

  · Jacobi恒等式

从Hamilton力学优势的分析中，我们知道相空间的优势在于能找到更多的运动积分，从而找到更多的守恒量，但是从操作上，我们如何找到运动积分是一个问题。

泊松定理：若f 和g 均是运动积分，则[f,g] 也是运动积分。

证明：

我们利用Jacobi恒等式：

代入运动积分的定义：

等号两边同乘-1：

根据泊松括号的第六个性质：

这个式子符合运动积分的定义，所以[f,g] 也是运动积分。

这里，定理看上去很美妙，好像可以得到无限的运动积分，但是事实上，重复使用泊松定理可能会得到之前运动积分的组合，换句话说，泊松定理是一个闭合循环。

来源：cyj的学术笔记微信公众号（ID：gh_0c99041641c2），作者：homingpigeon。