单自由度体系受迫振动

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这期主要带给大家在单自由度体系的自由振动。简单的说就是运动方程后面不再是0，加了一个荷载项，那么运动方程也就变成了非齐次方程了。方程如下：

二阶常系数非齐次微分方程。通解由补解和特解组成：

补解Uc(t)由体系的自由振动反应确定：

对于受迫振动体系，补解中的常数的A、B 应由微分方程的通解（补解+特解）而不能仅由补解确定！

    荷载p(t)不同，微分方程的特解Up(t)的形式是不同的。

   假设p(t)是简谐荷载，荷载的变化趋势如下。

简谐荷载作用下结构体系的运动方程：

对于无阻尼体系，该动力方程的解为：

1号框表示将荷载p0 静止地放在体系上所产生的位移；

2号框表示动力放大系数，表示简谐荷载的动力放大效应；

3号框表示按荷载作用频率振动的反应分量：稳态反应；

4号框表示按体系自振频率振动的反应分量：瞬态反应。

用图表示如下：

动力放大系数：

从图中可以看到，当b=1时，动力放大系数会变的无限大，位移特别大，这就是所说的共振效应。结构建筑物发生共振是特别危险的，所以如何避免共振在设计中就很重要。

    谐振荷载作用下单自由度体系的稳态反应解为：

     第一项按自振频率Wd 振动，由初始条件确定的自由振动反应。由于阻尼，这一项很快会衰减为零，即瞬态反应；第二项按荷载频率振动，即稳态反应；有些场合，如冲击荷载、地震等，应分析瞬态反应；一般情况下，瞬态反应对结构强迫振动分析的意义不大，这里主要讨论稳态反应的特性。

     反应的振幅与所引起的静位移的比值称为动力放大系数：

当发生共振时，