知识 | 什么是分岔？

weixin

道路可以分岔，树枝可以分杈，这在日常生活中，是我们常见的。而在现代自然科学中，特别是在物理学、化学、力学、生态学、气象学中，近二十年来越来越多地遇到“分岔”(bifurcation) 这个名词。这个名词有许多译法，有时也译为“分叉”、“分歧”、“分支”或“分枝”。它在这里的含义，不像在道路和树枝的分岔或分杈那样具体，有点抽象和难捉摸。但是在众多的邻域中越来越多地提到，说明它的重要性越来越大，是从事自然科学的研究和教学的人应当了解的。它的含义是什么呢？我们将在这篇文章中简单给以介绍。

1. 从一个例子说起

为了具体说明什么是分岔现象，我们先来举一个比较简单的例子来分析。

如图1，考虑一个半径为a 的光滑的圆环，绕它的一根铅直直径以等角速度ω 仍旋转。在圆环上有一个质量为m 的光滑小环，我们来求小环在大环上的位置。

设小环处于大环上与铅垂成θ 角的位置。由于小环受大环的约束力R 必然是如图垂直于大环的方向，作用在小环上的惯性力是水平方向，重力是铅垂方向。作用在小环上的这三个力应当平衡。所以有

即

由这个式子可以算出θ 和ω 仍的关系，把角度θ 和ω 的关系曲线画在图上就得到图2上的两条线。一条线是 (θ= 0，另一条是θ=arccos(g/aω2) 。这后一条曲线是从点P=(θ,ω)=(0,±√g/a) 分出来的。即从ω=ω*=±√g/a，θ 不再是0而逐渐随ω 增加。当θ 趋近π/2时，转速ω 趋于无穷。这个点P 就称为分岔点。整个问题的解在分岔点分为两支，称为分岔现象。

这个例子是一个典型的、简单的分岔问题。在我们的例子中，θ 表征系统状态的量。此外在系统中还包含一个参量ω。显然系统的状态是依赖于参数的。当ω<ω*时，系统只有唯一的解，即小环处于θ>ω* 时，平衡解成为不稳定的，出现了另外一支解，小环处于θ=arccos(g/aω2)，随大环以角速度ω 旋转。就是说在系统的分岔点，原来的状态成为不稳定的，出现了另外一个稳定的状态分支。

从这个例子中，我们可以看出一个具有分岔现象的系统，要有以下的条件：

第一，要求有一组描述系统状态的量。

在上面的例子中，θ 就是这样的量。在一个复杂的系统中，描述系统状态的量，可以是很复杂的。它们可以是由许多数组成的向量或矩阵，也可以是描述过程的时间和空间的函数，还可以是许多函数组成的函数向量或矩阵。由于使用了复杂的描述状态的数量系统，人们就可以描述十分复杂的自然界的现象和过程。例如，刚体绕固定点运动，像导航控制中的陀螺的运动就需要三个角度来确定它的状态；飞机的飞行姿态则需要六个参数来确定；梁和杆的变形需要用一个定义在长度上的函数来确定它的挠度；确定大气流动情况需要在空间的每一点都给定三个速度分量，它们是空间和时间的三个函数，等等。一句话，只要引进了适当的描述状态的参量系统，在自然界的现象，不论是天上的白云、海里的波浪、反应罐中的化学反应过程、还是股票市场的涨落，都可以来描述。

第二，要求有一组表征过程的参量。

在上面的例子中，就是表征旋转角速度的ω。在实际问题中，为了使问题不过分复杂，这组参量只取一个，这个参数也称为系统的分岔参数。不过这个参数的实际意义可以是各式各样的，它可以是转动角速度，还可以是速度、加速度、长度、角度、温度、电磁场强度、时间、质量、密度、黏性系数，等等。于是我们讨论的问题就不是仅仅关于系统的一个状态，而是在参数变化时考虑系统的状态依赖参数变化的过程。在上例中，我们讨论的是系统的状态θ 依赖于旋转加速度ω 变化的过程。在实际的复杂系统中，就是要去研究这些复杂系统的状态随所选定的参数的变化过程。

第三，要有一组控制系统状态的方程，即描述系统状态的量所必须满足的方程。

在上面的例子中，平衡方程就是这样的方程。这组方程通常是根据系统的状态所遵从的物理化学规律得到的，它的复杂程度和描述系统状态的量的复杂程度是相关的。在上面这个简单的例子中，一个方程就够了，在多个量描述其状态的系统中，一般说来，有多少个量就要有多少个方程。进一步，如果系统的状态是由函数描述的，则这种方程还需要是常微分方程（对状态量是单自变量函数的情形）或偏微分方程（对状态量是多自变量函数的情形）。对于讨论分岔现象来说，方程必须是非线性的。就是说，在方程中，问题的未知量包括系统的分岔参数，它们之间不能只是以一次项的形式出现。

关于非线性，我们还需要略作介绍。设描述系统的n 个状态量记为x1，x2，L，xn，如果系统的n 个控制方程是

其中，aij (i, j=1, 2, L, n) 都是常数。这种形式的方程称为线性方程。研究表明，由线性方程控制的系统是不可能有分岔现象的。不过也不是所有的由非线性方程所控制的系统都会产生分岔，例如在平面上画一条弯曲的光滑曲线，它不是直线，所以是非线性的，但是这条曲线上并没有分岔点。而我们所举的例子中解曲线是由在分岔点相交的两条光滑曲线组成的。所以分岔问题是非线性问题，但是它比一般的非线性问题更为复杂，因此分岔问题也被称为实质的非线性问题。这是因为，对于一般没有分岔的非线性问题，可以逐段用线性问题来逼近，如同平面曲线可以用逐段的直线去逼近。而对于分岔问题，在分岔点附近，是不可能用线性问题去逼近的，就像在我们的例子中，过图2的p 点作直线，只能逼近解的一支而不能对两支都逼近。

2. 形形色色的分岔现象

最常见的分岔有两类：一类是平衡解的分岔，如果在旋转的圆环中来看小环，上面的例子就是一个平衡解的分岔，起先小环在大环的最低点平衡，在旋转参数ω 超过临界值后，就在大环的另一点平衡，这种分岔也叫静分岔；一类是霍普夫 (Hopf) 分岔，它是由平衡状态分出一支周期运动，在上面的例子中，如果在固定参考系中来看小环，在临界转速后， 小环便产生了一个周期运动。

一根理想的弹性直杆，在两端压力P 的作用下，直的状态总是一种平衡位置。如果把图2上的ω 轴换作参数p，把状态θ 换为杆中点的挠度w，则p 轴是一种平衡。当压力p 增加时，起初杆还是直的。一旦p 超过了某个临界压力p*，直杆的直的状态就不再是稳定的了，杆便产生了弯曲变形，w 与p 的关系类似于图2上的曲线。我们看到当超过临界压力时，挠度随压力增加的是很快的，这是一类典型的静分岔问题。

我们知道，许多结构物都是由受压的杆或其他的受压元件组成的，这些结构的受压部分的行为也像受压杆一样，超过某个临界压力结构的挠度或变形会迅速增加而常常导致结构破坏。

人们常见的口琴上有许多簧片，拿其中的一片来看，当吹的风小时，簧片不发生运动；而当吹的口风稍大时，即超过了某个临界风速，簧片就会产生周期运动而振动起来。这是一 种典型的霍普夫分岔。风琴、唢呐、单簧管、双簧管、号、笛等乐器，都是利用这个原理制作出来的。进一步讲，如果激发振动的来源不是风，而是摩擦或水力等其他作用，大量的弓弦乐器也都是这种分岔。当然，霍普夫分岔并不只可以被利用来制作乐器给人们带来快乐，也还带来烦恼和灾难。

几乎所有的噪音，如树叶的沙沙声、机器的隆隆声、摩擦噪音、有时水管子流水的嗡嗡声等，都是和霍普夫分岔相关的。在20世纪三、四十年代，航空中曾经有一种可怕的空难， 在飞行中当速度超过某个临界速度时，由机翼产生突然的“颤振”而发生的机毁人亡。如果把机翼看作上面说的口琴上的簧，那么“颤振”现象就容易理解了。不仅如此，在1940年建成的美国一座吊桥，长853。4m的塔科姆 (Tacom) 大桥，建成后不久，由于同年11月7日的一场不大的风（仅每秒19m）引起了振幅接近9m的“颤振”，在这样大振幅振荡下结构不一会便塌毁了。

在生态学研宄中，有一种所谓“捕食者”的模型。它是研究有两种动物，例如是大鱼和小鱼，大鱼吃小鱼。一般讲，大鱼和小鱼可以在一定的数量上得到平衡。不过，还有一种更为常见的现象是，大小鱼的数量周期性地振荡变化。当大鱼多时，小鱼就少了，于是大鱼就因为找不到食物而饿死减少；大鱼少了，小鱼又因为没有天敌大量繁殖而增加，如此周而复始。这种振荡也是一种典型的霍普夫分岔。同样，股票市场的涨落、经济危机的周期性地发生、沙漠中沙丘周期性地起伏、心脏从正常跳动转化为颤动，这些也都是一种分岔现象。

1900年，法国人白纳 (Benard) 做了一个实验。在温度均匀的水平金属板上盛放一薄层液体。当加热金属板且上下的温差不大时，液体的状态处于静止，热量是通过热传导的方式自下向上传递。当温差达到某个临界值时，静止平衡的液体成为不稳定的，液体开始流动。此时流场成规则的胞状结构，在每一胞中，流体自中心至边沿形成环流。这个现象解释了，白天在日照下地面温度升高后产生局部地区的风的成因。

在物理学中，从19世纪中叶就发现物质气、液、固三态之间的变化，是依赖于压力和温度等参数的。并且发现这些态之间变化和所谓的临界参数有关，例如临界温度、临界压力等。水在普通气压的条件下在摄氏100°C沸腾，变为气相。这100°C就是一种临界温度，也就是一个相变的分岔点。临界现象在磁学，电学中还可以找到许多。

好了，分岔现象的例子我们已经举了许多。实际上，还可以举出更多。这些例子足以说明它同现代的自然科学多么密切，同现代技术的联系多么紧密，这也就是为什么分岔现象近年来研究得如此之多的原因。

3. 分岔现象研究的过去和将来

分岔现象的研究可以追溯到关于平衡的稳定性问题的提出。1644年，意大利著名学者伽利略的学生，托里拆利给出了关于平衡的稳定性的最原始的提法。他说：“如果物体的重心可以沿一个球运动，而且将物体提离球的最低点，则物体不可能保持静止。” 1788年法国学者拉格朗日在他的《分析力学》中将托里拆利的平衡条件加以推广，提为：“当保守系统处于势能极小的状态时，系统处于稳定平衡。”这是判断静力平衡稳定性的最早的一般论述。当平衡系统依赖于参数时，稳定性可以随参数变化发生改变。这种从稳定到不稳定、 或者从不稳定到稳定的变化，就是静力平衡问题的分岔。从托里拆利讨论平衡的稳定性之后，过了100年，欧拉在1744年给出了弹性受压杆在屈曲（即直杆平衡不稳定）后的大变形分析，即所谓的欧拉弹性线，这可能是弹性体平衡分岔的最早的例子。

最早关于动力学分岔的例子，大概是法国学者庞加莱开始的。1855年，他研究在万有引力场作用下的旋转流体团，他经过精密的计算得到结论说：“让我们想象一个旋转的流动物体由于冷却而收缩，但是收缩慢得足以保持均匀，并使旋转在一切部分都一样。一开始，形状很近似一个球的这团物体，变成一个旋转椭球，它将变得越来越扁，然后在某个一定的时刻，它将变成一个有三个不同轴的椭球。再后来，形状不再是椭球，而成了梨形，直到最后这一团物体在它的腰部越来越凹进去，分成两个隔开的、不同的物体为止。”庞加莱并且提出了在非线性振动问题中，存在极限环的现象。所谓极限环，是考虑在平面上运动的质点，它的轨道趋向于一个闭曲线，这个闭曲线就称为这个问题的极限环。庞加莱的这些研究工作都是针对在天体力学中提出的问题得到的。

自然科学中的普遍问题，特别是力学中的重大课题，经常是从两方面提出来的。一方面是从天文学中提出来的，另一方面是从地球上的生产实践中提出来的。周期解和极限环的问题也是这样。

1782年瓦特发明了蒸汽机上的离心调速器。起初这些调速器工作得很好，可是随着蒸汽机的功率增大，有些调速器就不灵了，情况是蒸汽机的速度产生了振荡现象，这就是一种周期解。如何消除这种讨厌的振荡，成了改进蒸汽机的关键。后来这种现象引起人们从理论上加以研究。最早从理论上研究这个问题的是麦克斯威尔，他在1868年发表论文讨论这一问题，并且给出了一个使调速器稳定工作的条件。在二极管（1904年）和三极管 (1906) 发明后，人们利用三极管制成了用于通讯的振荡器。电子振荡器的状态变化也是一种周期运动。1926年人们研究了一个描述电子振荡器状态的微分方程，称为范德泊尔方程。这个方程中含有一个参数，周期解的形状是随着这个参数变化的。它正好就具备了我们前面介绍的关于讨论分岔问题所必须的三个条件，所以它是从一般观点讨论动力分岔的一个典型的例子。

1928年，苏联力学家安德罗诺夫在讨论振动和极限环时引进了自振的概念。随后德国数学家霍普夫在1942年严格论证了一个动力系统从平衡解转化为周期解的条件。这个结论说明分岔是在动力系统中十分普遍的现象。所以后人把从平衡状态进入振荡状态的分岔称为霍普夫分岔。也有人称为安德罗诺夫一霍普夫分岔。

现在看来，分岔可以看作一个依赖于参数的系统，当参数达到某个值时，即临界值时，系统的状态发生了与原来状态很不同的情况。从这种观点来看，自然界的许多现象，凡是发生突然变化，而且变化前后有显著不同的情况，都可以从分岔的角度加以研究。不管这个系统是属于科学的、技术的、经济学的、心理学的，还是社会学的。

湍流是常见的现象，不管我们去观察河水的流动还是烟筒中冒出的烟，都可以看见湍流，它被认为是近代科学中十分困难的难题。所谓湍流是流体微团作不规则运动，它和层流不同，层流中流体微团在作光滑的规则的运动。流体力学中的从层流转为湍流，即湍流的形成机理 的研究，是非常重要的基本理论课题。近年来，人们较多地从分岔的观点研究这一课题。因为人们认为既然湍流和层流有着很不同的特点，它们显然是同分岔相联系的。有的人认为无穷多次分岔产生湍流，也有人认为只要若干次分岔便可以产生湍流。

近年来在整个自然科学中还有一个非常时髦的名词：“混沌”。所谓混沌，大略说来，是系统的状态呈现了一种不规则的状态。在机械振动中出现混沌、在电子运动中有混沌、在小行星的转动中还有混沌，人们把混沌理解为在不同系统中的湍流。由于混沌的普遍性，有人竟提出说“处处有湍流”的论点。与对湍流的研究一样，既然系统的规则运动状态同它的混沌状态是很不同的状态，人们也把它看作一种分岔，从分岔的角度加以研究。

总之，对分岔问题的研究，一方面来自各个具体的出现分岔现象的邻域，这种研究的目的在于揭示那些具体领域中现象的本质；另一方面人们把分岔作为一种各个领域共有的普遍规律来研究，旨在发现分岔问题共同规律。前一方面的研究是属于各门具体的学科，而后一方面的研究则是数学或数学物理的课题。由于在分岔研究中，人们遇到越来越复杂的方程，这些方程又都是非线性的，所以大多要借助于计算机求解去发现分岔点和追踪系统分岔后的行为。因之，关于分岔问题在计算机上的数值方法，就成为分岔研究和数值方法的一个重要的研究方向。

附记：本文是《分叉问题及其计算方法》一书的绪论部分。

来源：武际可科学网博客，作者：武际可 北京大学力学系。