什么是超混沌系统

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　　近日，在查文献的时候，遇到了超混沌振荡这个概念。对于混沌振荡，大家很容易理解，就是在非线性动力系统中表现的确定性、类随机的过程，这种过程既非周期又不收敛，并且对于初值具有敏感的依赖性。那么什么是超混沌振荡呢?超混沌振荡和混沌振荡又有什么区别呢?

　　这里需要引入李雅普诺夫指数的概念，表示相空间内相邻轨迹的平均指数发散率的数值特征，又称李雅普诺夫特征指数，是刻画非线性系统混沌特征的有效方法之一。李雅普诺夫指数的个数与系统状态空间的维数n相同，如果系统的李雅普诺夫指数都小于零，系统就处于稳定状态;只有一个李雅普诺夫指数大于零，系统是混沌的;而当至少有两个李雅普诺夫指数大于零时，系统就处于超混沌振荡状态。大于零的李雅普诺夫指数越多，系统的不稳定程度越高，一般来说，系统的状态参量个数越多(如高维系统，对离散系统来说，n>2),它可能出现不稳定的程度越高。需要说明的是，高维系统也不一定会出现超混沌振荡，这主要看与系统李雅普诺夫指数相关的各参数组合。以下通过一个例子说明，什么是超混沌系统。

　　Vaidyanathan等在2015年发现了一个新的三维混沌系统

　　其中，x1、x2、x3 是状态参量，a、b、c、d 是正的常数。

　　当各参数取a=10，b=15，c=1，d=12，初始点为x1(0)=0.6，x2(0)=1.8，x3(0)=1.2时，该三维系统的李雅普诺夫指数为L1=2.71916，L2=0，L3=-1372776，系统就会表现为含双涡卷奇怪吸引子的混沌振荡，如图1所示。

　　图1 混沌振荡图

　　图2 超混沌振荡

　　通过对上述系统施加状态反馈控制，从而使三维系统变为四维系统，表达式如下

　　其中，x1、x2、x3 、x4 是状态参量，a、b、c、d 、p、q 是正的常数。
　　当各参数取a=15，b=18，c=2，d=13，p=1.4，q=0.4初始点为x1(0)=0.6，x2(0)=1.8，x3(0)=1.2，x4(0)=0.5时，该四维系统的李雅普诺夫指数为L1=3.05638，L2=0.08646，L3=0，L4=-20.12087因为系统有两个正的李雅普诺夫指数，所以系统表现为超混沌振荡，如图2所示。

　　图1和图2看起来非常相似，但存在本质性的区别。

　　来源：漫步力学微信公众号(ID：Walking-mechanics)，作者：马新东 天津大学。