说说动力时程分析中的振型个数

吵吵把火

　　如果您在超限分析过程中遇到过如下一些问题：
　　“大震弹塑性基底剪力大于大震弹性基底剪力?”
　　“地震作用下上层楼层剪力大于下层楼层剪力?”
　　“大震弹性时程分析应该选择哪种方法?”
　　“高阶振型只影响上部结构么?”
　　“高阶振型对于内力的影响大还是对于位移的影响大?”
　　请仔细阅读本文。

　　动力时程分析时，需要输入振型个数，如果振型个数输入过少，会因没有考虑足够的振型数而导致结果误差较大。如果振型个数取的过多，计算结果精度上能够保证，但又会带来计算时间的增加。因而如何选择合适的振型个数，找到计算精度和计算效率的平衡点是动力时程分析的一个比较重要的问题。

　　动力时程分析求解方法总体上可以分为两大类：振型叠加法和直接积分法。下文将针对两种方法分别进行阐述。

　　1、振型叠加法

　　振型叠加法是将多自由度结构的反应等效为多个单自由度体系振型反应的组合。由于振型叠加法基于叠加原理，因而这种方法仅适用于弹性时程分析。采用该方法求解速度较快，因而一般将其作为弹性时程分析的首选方法。采用振型叠加法进行动力时程分析时，可以参照《建筑结构抗震规范》5.2.2条条文说明中对于振型分解反应谱法的要求，振型个数应保证振型参与质量之和达到总质量90%以上。

　　在SAUSAGE软件中进行模态分析，分析结束以后，在工程目录下会生成Ultimate_Total_Eta.dat和Ultimate_1_Modal_Eta.dat两个文件，如图1和图2所示。

　　图1 振型参与质量之和

　　图2 各振型及各方向的振型参与质量

　　Ultimate_Total_Eta.dat中给出的5个数据分别为：地震作用方向个数，振型个数，X方向、Y方向、Z方向的振型参与质量之和;

　　Ultimate_1_Modal_Eta.dat中分别给出了各振型三个方向的振型参与质量，方向依次为振型1-X方向，振型1-Y方向，振型1-Z方向，振型2-X方向，振型2-Y方向，振型2-Z方向，…。

　　如果动力分析不需要考虑竖向地震，则可以重点关注X方向和Y方向的振型参与质量之和，如果不满足90%的要求，则需要增加振型数，重新进行模态分析。如果需要考虑竖向地震，则还应该关注Z向的振型参与质量。

　　进行大震弹塑性分析的同时，经常采用同一条地震波进行大震弹性时程分析，进而对大震弹性分析和大震弹塑性分析的结果进行对比。如果弹性时程分析选择振型叠加法，而振型个数按照默认的10个计算，可能导致振型参与质量达不到90%，进而大震弹性时程分析的基底剪力过小，有可能出现大震弹性时程剪力小于大震弹塑性时程剪力的异常情况。

　　2、直接积分法

　　直接积分法是指将分析时间长度分割成若干个微小的时间间隔，进而采用数值积分算法求解微小时间步内的动力学方程的一种方法。与振型叠加法仅适用于弹性时程分析不同，直接积分法可以用于弹性和弹塑性时程分析。

　　2.1 显式算法与隐式算法
　　直接积分法可以进一步分为“显式算法”和“隐式算法”，显式算法仅通过上一步的结果就可以直接求解出当前步的结果。而隐式算法中当前步的表达式中除包含之前步的参数以外，还包含了当前步的一个或多个参数，因而无法直接得到当前步的结果，必须通过迭代来完成。隐式算法的代表是NewMark-ß法，MIDAS、Perform 3D等软件均采用该种方法。显式算法的代表是中心差分法，SAUSAGE、ABAQUS中采用该种方法(ABAQUS也提供了隐式算法，但是进行动力弹塑性分析时一般采用显式算法)。关于隐式算法和显式算法两种算法的对比，不是今天文章的重点，因而这里不做论述。

　　2.2 瑞利阻尼与振型阻尼
　　直接积分算法本身与振型个数没有任何关系。如果采用瑞利阻尼模型C=a0M+a1K，只要已知任意两阶振型的周期和阻尼比，即可通过求解得到a0(质量因子)和a1(刚度因子)，进而得到阻尼矩阵C，因而采用瑞利阻尼进行动力时程分析求解时，不存在振型个数的问题。采用显式算法求解动力学方程式时，如果选择瑞利阻尼，为了方便对动力学求解公式进行解耦，一般舍弃瑞利阻尼中的刚度项，此时瑞利阻尼退化为质量阻尼，阻尼随着频率的增加而减小，高阶振型阻尼比会偏小，导致高阶振型响应偏大。基于这一点，采用SAUSAGE软件进行弹塑性分析时，一般推荐采用振型阻尼。

　　2.3 振型阻尼对于振型个数的要求
　　与振型叠加法对于振型个数的要求不同，采用直接积分方法(同时采用振型阻尼)时，振型个数主要影响结构的阻尼。假定选择10个振型，结构为混凝土结构(阻尼比定义为5%)，则动力分析时，结构前10阶振型的阻尼比为5%，而10阶以后振型的阻尼比为0(程序可根据分析需要给予一个较小的数值)。

　　采用显式方法求解的计算量与所取的振型个数成正比，振型数取的越多，固然计算可能越精确，但是由此也会导致计算效率降低，这一点在进行弹塑性分析时候需要更加注意。因而选择合适的振型数量是采用显式方法求解的一个关键问题。

　　选取振型个数的总原则：继续增加振型数对于结构响应影响比较小。由于高阶振型对于楼层剪力的影响大于其对于楼层位移的影响，可以以楼层剪力为基准，如果继续增加振型数对其影响比较小，则可以认为选取的振型个数已经足够。

　　案例1：某剪力墙结构

　　某剪力墙结构如图3所示，平面及立面均为规则布置，仅高度超限。Y向为结构弱轴，故将Y向作为主方向，选取一条人工波RH1TG045进行加载，楼层剪力如图4所示，层间位移角如图5所示。底部楼层剪力结果基本一致，误差在2%范围以内。结构中上部楼层剪力相差较大，部分楼层达到20%左右，而层间位移角曲线则基本重合，因而可以认为高阶振型对于楼层剪力的影响大于其对于楼层位移的影响。

　　结构中上部楼层剪力的误差可以归结为高阶振型(11阶~20阶)影响，采用10阶振型计算时，程序对于11~20阶振型的阻尼比采用质量阻尼，约为0.2%~0.4%。采用20阶振型计算时，11~20阶振型的阻尼比是5%，阻尼比的差异导致中上部楼层剪力产生较大差距。

　　此外，通常经验认为地震作用从上到下逐层累积，因而下部楼层剪力应该大于上部楼层剪力，而本模型采用10个振型计算时，21层和38层附近均出现了与经验相反的现象。也是由于上述高阶振型阻尼比影响导致的，高阶振型阻尼比小了以后，高阶振型影响增加，导致计算结果出现了反常现象。增加振型数为20个时，楼层剪力结果比较正常。

　　本结构平面及立面布置均比较规则，高度为165.6米，短边长度为16米左右(局部突出)，结构高宽比为10左右，结构高宽比比较大，结构整体刚度偏柔，因而高阶振型影响较大。

　　案例2：某双塔结构

　　某双塔结构如图6所示。采用修正中心差分算法，同时阻尼采用振型阻尼模型，分别计算10个振型和20个振型，楼层剪力对比如图7所示，上部楼层楼层剪力基本一致，曲线在底盘位置出现偏离，基底剪力相差8.7%左右。

　　对于大底盘的结构，高阶振型除了对上部结构影响以外，底盘部分的振动一般也位于高阶振型。如图8~图10所示，结构前两阶振型都是底盘以上部分的振动，而比较明显的底盘部分的振动出现在第16振型。

　　3、结论

　　(1)采用振型叠加法进行弹性时程分析时，应选取足够多的振型数以保证振型参与质量满足规范90%以上的要求。如果不满足该要求，将会导致楼层剪力偏小，计算结果不准确。

　　(2)采用显式算法求解动力学方程式，如果阻尼模型选择振型阻尼，大多数情况下，计算10个振型即可基本保证结构计算结果的精确性。对于一些特殊情况，高阶振型影响较大，仅计算10个振型可能产生不小的误差。如多塔结构、大跨空间结构、大底盘结构等复杂结构，需要适当增加振型数。