你这个问题其实跟信号处理没啥关系,你想知道的是:“凭啥子就从时域变到频域去了呢?”这个问题其实大部分数字信号处理的书上都不会讲,讲这个的应该是线性代数。
论坛并不适合介绍这个,我只能大概的说说,编辑帖子太麻烦了。
傅里叶变换的本质原理是:向量的基分解,以及同一向量在不同的基下坐标之间如何通过矩阵互相转换.而这也是理解傅里叶变换的一个最简单的方式。
一个大前提:波形就是向量
这点相当的反常识,向量的意思应该就是:"一个有方向的量或者右箭头的线段”,而波形跟向量之间八竿子打不着的样子。但是只要你对向量空间有一定的了解,你就知道波形也是一种向量。甚至任意一串数字,不管这串数字背后的含义,它都可以是一个向量。
下一个前提:平面几何向量可以用两个不共线的向量来分解,这是几何向量的固有特性。这点同样适用于波形,任意一个波形可以用不同频率的正弦和余弦波形来组合得到。
几何向量分解中用于描述原有向量的两个不共线的向量,在这个分解中被我们成为“基”。
比如说一个向量从原点O出发到点A(3,2);而两个基向量分别是x轴和y轴上由O点出发指向正方向长度为1 的向量,也就是a1=(1,0)和a2=(0,1) 论坛的这个编辑功能真是操蛋,不好写表达式
那么我们可以说向量OA 需要3个基a1和2个基a2来描述(建议你在纸上画一下)。所以我们说向量OA在这个基a1和a2下的坐标为[3,2]。那换一个其他的基呢?当然也可以这样分解,假设有另一个基b1=【-1,1】和b2=【-1,-1】(自己随便定的),那我们也可以得到这个向量OA在基b1和b2下的坐标假设为【-0.5,-2.5】。一个基对应一个坐标,这个对应有且唯一。
我们关心的是我知道两个基了,我知道其中一个基下的坐标。但是我不知道原来的向量是怎么样的,如何求另一个基下的坐标。答案是中间变换矩阵,方法是先获取两个基之间的表达关系,然后组合成一个变换矩阵。然后变换矩阵和一个基下坐标相乘就得到另一个坐标了。
本质上时域和频域都是描述的信号,只不过是从不同的角度来观察。这里的“不同的角度”指的是不同的“基”。
时域信号和频域信号是使用了不同基来描述同一个向量。这里不方便展开说,只能大概的说下:
一个4点的离散时域信号,假设为【1,2,3,4】,采样周期T=1秒,采样频率FS=4,这代表着如下:
时域的基很清楚,如下是一个4×4的矩阵的每一列。
1,0,0,0
0,1,0,0
0,0,1,0
0,0,0,1
且时域信号【1,2,3,4】为原始信号在时域基下的坐标
问题是频域的基如何确定,需要一个关键的参数采样频率而且牵扯到太多的东西。
最基础一个问题是频域的最基本成分是什么? 答案不是不同频率的简谐运动,而是不同频率的正弦和余弦运动,因为某一频率的简谐运动可以拆分成同一频率的正弦运动加同一频率的余弦运动之和的形式。
同事,有这么一个基本事实:你想画1Hz的正弦或者余弦运动,你只能用1Hz的正弦或者余弦运动去画,否则,你想用其他的无论多少个频率都画不出来的,不同频率的正弦/余弦函数相乘在一个周期内积分的话其结果为0.
即
另一个问题是频域里的频率成分有哪些?对于本例里的离散信号,频率成分是0Hz,1Hz,2Hz这三个,这是采样定律推导出来的。
有上面构建频率的基,这又有复数和实数两种形式。
我自己在写一个关于傅里叶变换原理的文章,从向量空间的角度去写的。等写好了,我传上来给楼主看看。论坛实在是不合适完整的说明这些东西。
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