从一根悬臂梁说开去

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　　一、梁的历史学说

　　1638年伽利略在他的著作《关于两门新科学的对话》中，系统地介绍了他对梁强度问题的研究。其中一个关键问题就是悬臂梁的强度问题，这个问题一直影响着后来近两百年的研究。伽利略并没有正确地解决他提出来的问题，在讨论悬臂梁的强度时，书中隐含了两个错误，一是将根部AB截面上的拉应力看作是均布的;二是把梁的中性层取在梁的下侧。

　　伽利略关于两门新科学的对话中悬臂梁的插图

　　在伽利略的基础上，马略特、胡克、伯努利、铁木辛柯等对梁的理论进行了逐步完善，最终形成了可应用于工程的材料力学体系。亚·沃尔夫在他1935年出版的《十六十七世纪科学技术和哲学史》一书中，把伽利略、马略特和胡克理论得到的应力分布列在下面。

　　伽利略、马略特和胡克理论的应力沿截面分布图

　　二、悬臂梁的应力分布

　　本文不想谈那些复杂的公式，从直观感觉出发寻找应力分布的逻辑。假设如下图所示的一根悬臂梁，在端部受到竖向集中力的作用。

　　悬臂梁示意图

　　假设悬臂梁内部的材料组织是离散的，可能发生怎样的情况呢?

　　第一种情况，如下图所示，为横截面之间的错动。如果大家去工地上搬砖，应该能见到这个神器，这就是利用了砖与砖之间的摩擦力，临时形成了一根梁。

　　梁横截面之间的剪力

　　第二种情况，如下图所示，为纵截面之间的错动。下图中书本的变形就是一个典型例子，因为书页之间的摩擦力非常小，书页(纵截面)间存在相对的错动。所以书本悬挑端部的变形非常大，本身也无法承受荷载。

　　梁纵截面之间的剪力

　　第三种情况，就是横截面弯矩，现在所有的结构人应该都很清楚其应力分布。对于悬臂梁来说，根部的弯矩最大。

　　梁根部的弯矩

　　因此，一根悬臂梁要想能成为可以承受荷载的构件，需要能抗剪，而且是两个方向;同时，需要能抗弯。

　　对于一根建筑中常用的实腹梁，梁纵剖面之间的抗剪承载力非常高，常常被我们忽视。但理论上，任何结构都必须能够抵抗以上三种破坏模式。

　　三、悬臂结构

　　首先说明一点，如果将悬臂结构旋转90度，那就可以看成高层建筑。悬臂结构上的竖向荷载就是高层建筑的水平力;悬臂梁的横向剪力就是层间剪力;悬臂梁根部的弯矩就是倾覆力矩。

　　将悬臂梁旋转90度后的受力情况

　　围绕着悬臂结构如何抵抗剪力和弯矩，将结构类型分为以下两类：

　　1.剪力由构件的抗弯能力抵抗
　　如下图所示的一个悬臂结构通常称为空腹桁架。该悬臂结构的横向剪力由上下弦杆的抗弯能力抵抗，其纵向剪力由竖腹杆的抗弯能力抵抗。悬臂结构根部弯矩由弦杆的弯矩和轴力承担，若杆件的尺度都差不多，那么弦杆的轴力较小。将手机转过90度，该悬臂结构就是框架结构。该结构的刚度，取决于杆件和节点的抗弯刚度。

　　空腹桁架示意图一

　　假设我们将竖腹杆的抗弯刚度设为无穷大，如下图所示。增强竖腹杆的刚度，竖腹杆所承担的剪力就会增大，上下弦杆承担的轴力会因此而增大。弦杆的共同作用增强，该悬臂结构根部的抗弯能力得到增强。

　　空腹桁架示意图二

　　马克俭院士的盒式结构即利用了这个原理，其本质上是一个空腹桁架。通过将竖腹杆的刚度做得很大，以此增加上下弦杆的共同作用。

　　盒式结构示意图及实景图

　　如果进入另一个极端，假设我们将竖腹杆的抗弯刚度设为零，即竖腹杆两端铰接，如下图所示。此时，两根弦杆变成独立的两根悬臂梁。将手机转过90度，就是排架结构。由于该悬臂结构无法承担纵向剪力，因为该结构的刚度最弱，类似于错动的书页。

　　排架示意图

　　由以上分析可知，一个悬臂结构纵横两个方向的抗剪能力都将影响整个结构的受力性能。剪力墙结构中的连梁可以看作空腹桁架的竖腹杆。弹性阶段，连梁的刚度完整，其承担着整个悬臂结构的纵向剪力，剪力墙整体作用明显;在大震作用下，连梁开裂刚度削弱，无法承担整个悬臂结构的纵向剪力，剪力墙中的轴力减小，结构抗侧刚度削弱。

　　林同炎设计尼加拉瓜美洲银行时，即应用的此原理。在风及小地震作用下的周期T=1.33秒，地震水平力F=2700KN;大震作用下连梁开裂后，其抗剪承载力削弱，结构主周期变成T=3.5秒，地震水平力F=1300KN。

　　剪力墙与连梁的关系示意图及震后的美洲银行

　　2.剪力由构件的抗拉(压)能力抵抗
　　如果增加一根斜杆，如下图所示的悬臂结构称为桁架。此时我们发现，悬臂结构的水平和竖向的剪力都由斜杆轴力的分量来承担了。如果将手机转过90度，这就是支撑框架。

　　桁架示意图

　　四、构件与结构

　　一般我们认为结构可以看成是由一个个构件组装而成，但也可以看成由一根巨大的构件从中掏空而成。本文即介绍了将结构作为构件来考虑的一种逻辑。这两者应该是一个辩证的关系。这两种不同的看法，还会形成结构形态优化的两种截然不同的方法。一种是枚举法、一种是拓扑优化(扯远了，以后再介绍)。

　　由于人类对于材料的认知，目前还停留在一维的阶段。对于结构验算，我们倾向于将结构看成由构件组装而成，所有的结构验算都是将非常复杂的问题降维。直至降维到钢材的单向受拉承载力、混凝土的单向受压承载力。

　　表1 结构、构件、材料的关系

　　但为什么我们做设计时感觉是在验算构件?因为常用的设计软件通过各种近似手段，将结构的内力降一维到了构件层次的外力，再将材料的承载力升一维到构件承载力。最终体现在操作层面就是我们在验算构件。本文第三节是从设计的角度讲了一下升维的逻辑，一般我们所说的结构概念大抵是这样一个升维的概念吧。

　　三体世界中一个11维的粒子可以包含整个太阳系的信息，并且可以任意地降维、升维。如果有一个比人类超前得多的文明，看到我们还在通过把三维的问题降到二维的层面上去解决，是否会觉得可笑。未来如果有一天，计算一栋楼就像计算一根构件一样，不用再降维，那效率应该是很高的。

　　参考文献：
　　[1] 科学网 武际可 《说梁》
　　[2] 季天建 《感知结构概念》

　　来源：iStructure公众号(ID：iStructure2017)，作者：海盗猪。

德玛西亚1654

简单易懂

henrythoreau

逻辑清晰，期待结尾部分的深化讲解，谢谢