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[mathematica] Mathematica入门教程

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发表于 2005-7-29 20:42 | 显示全部楼层 |阅读模式

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Mathematica的基本语法特征

  如果你是第一次使用Mathematica,那么以下几点请你一定牢牢记住:
Mathematica中大写小写是有区别的,如Name、name、NAME等是不同的变量名或函数名。

系统所提供的功能大部分以系统函数的形式给出,内部函数一般写全称,而且一定是以大写英文字母开头,如Sin[x],Conjugate[z]等。

乘法即可以用*,又可以用空格表示,如2 3=2*3=6 ,x y,2 Sin[x]等;乘幂可以用“^”表示,如x^0.5,Tan[x]^y。

自定义的变量可以取几乎任意的名称,长度不限,但不可以数字开头。
当你赋予变量任何一个值,除非你明显地改变该值或使用Clear[变量名]或“变量名=.”取消该值为止,它将始终保持原值不变。

一定要注意四种括号的用法:()圆括号表示项的结合顺序,如(x+(y^x+1/(2x)));[]方括号表示函数,如Log[x],BesselJ[x,1];{}大括号表示一个“表”(一组数字、任意表达式、函数等的集合),如{2x,Sin[12 Pi],{1+A,y*x}};[[]]双方括号表示“表”或“表达式”的下标,如a[[2,3]]、{1,2,3}[[1]]=1。

Mathematica的语句书写十分方便,一个语句可以分为多行写,同一行可以写多个语句(但要以分号间隔)。当语句以分号结束时,语句计算后不做输出(输出语句除外),否则将输出计算的结果。

一.数的表示及计算  
1.在Mathematica中你不必考虑数的精确度,因为除非你指定输出精度,Mathematica总会以绝对精确的形式输出结果。例如:你输入
In[1]:=378/123,系统会输出Out[1]:=126/41,如果想得到近似解,则应输入
In[2]:=N[378/123,5],即求其5位有效数字的数值解,系统会输出Out[2]:=3.073

2,另外Mathematica还可以根据你前面使用的数字的精度自动地设定精度。
  Mathematica与众不同之处还在于它可以处理任意大、任意小及任意位精度的数值,如100^7000,2^(-2000)等数值可以很快地求出,但在其他语言或系统中这是不可想象的,你不妨试一试N[Pi,1000]。
Mathematica还定义了一些系统常数,如上面提到的Pi(圆周率的精确值),还有E(自然对数的底数)、I(复数单位),Degree(角度一度,Pi/180),Infinity(无穷大)等,不要小看这些简单的符号,它们包含的信息远远大于我们所熟知的它们的近似值,它们的精度也是无限的。

二.“表”及其用法

“表”是Mathematica中一个相当有用的数据类型,它即可以作为数组,又可以作为矩阵;除此以外,你可以把任意一组表达式用一个或一组{}括起来,进行运算、存储。可以说表是任意对象的一个集合。它可以动态地分配内存,可以方便地进行插入、删除、排序、翻转等等几乎所有可以想象到的操作。

  如果你建立了一个表,你可以通过下表操作符[[]](双方括号)来访问它的每一个元素,如我们定义table={2,Pi,Sin[x],{aaa,A*I}}为一个表,那么table[[1]]就为2,table[[2]]就是Pi,而table[[3,1]]表示嵌套在table中的子表{aaa,A*I}的第一个元素即aaa,table[[3,2]]表示{aaa,A*I}第二个元素即A*I。总之,表每一层次上并列的部分用逗号分割,表可以无穷嵌套。

你可以通过Append[表,表达式]或Prepend[表,表达式]把表达式添加到表的最前面或最后面,如Append[{1,2,3},a]表示{1,2,3,a}。你还可以通过Union[表1,表2,......],Jion[表1,表2,......]来把几个表合并为一个表,二者不同在于Union在合并时删除了各表中重复的元素,而后者仅是简单的合并;你还可以使用Flatten[表]把表中所有子表"抹平"合并成一个表,而Patition[表,整数n]把表按每n个元素分段作为子表,集合成的表。如Flatten[{1,2,{Sin[x],dog},{{y}}}]表示{1,2,Sin[x],y},而Partition[{1,2,Sin[x],y},2]把表每两个分段,结果为{{1,2},{Sin[x],y}};还可以通过Delete[表,位置]、Insert[表,位置]来向表中按位置插入或删除元素,如要删除上面提到的table中的aaa,你可以用Delete[table,{3,1}]来实现;Sort[表]给出了表中各元素的大小顺序,Reverse[表]、RotateLeft[表,整数n]、RotateRight[表,整数n]可以分别将一个表进行翻转、左转n个元素、右转n个元素等操作,Length[表]给出了表第一个层次上的元素个数,Position[表,表达式]给出了表中出现该表达式的位置,Count[表,表达式]则给出表达式出现的次数。各种表
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 楼主| 发表于 2005-7-29 20:43 | 显示全部楼层
三.图形函数
Mathematica的图形函数十分丰富,用寥寥几句就可以画出复杂的图形,而且可以通过变量和文件存储和显示图形,具有极大的灵活性。
  图形函数中最有代表性的函数为Plot[表达式,{变量,下限,上限},可选项],(其中表达式还可以是一个"表达式表",这样可以在一个图里画多个函数);变量为自变量;上限和下限确定了作图的范围;可选项可要可不要,不写系统会按默认值作图,它表示对作图的具体要求。例如Plot[Sin[x],{x,0,2*Pi},AspectRatio-1]表示在0<x<2Pi的范围内作函数Sin[x]的图象,AspectRatio为可选项,表示图的x向y向比例,AspectRatio-1表示纵横比例为1:1,如果不写这一项,系统默认比例为1:GodenRatio,即黄金分割的比例(注意,可选项的写法为可选项名-可选项值),Plot还有很多可选项,如PlotRange表示作图的值域,PlotPoint表画图中取样点的个数,越大则图越精细,PlotStyle来确定所画图形的线宽、线型、颜色等特性,AxesLabel表式在坐标轴上作标记等等。

.二维函数作图

Plot[函数f,{x,xmin,xmax},选项]

在区间{x,xmin,xmax}上,按选项的要求画出函数f的图形

Plot[{函数1,函数2},{x,xmin,xmax},选项]

在区间{x,xmin,xmax}上,按选项的要求画出几个函数的图形

.二维参数画图函数

ParametricPlot[{x[t],y[t]},{t,t0,t1},选项] 画一个X轴,Y轴坐标为{x[t],y[t]},参变量t在[t0,t1]中的参数曲线

.三维函数作图

Plot3D[f[x,y],{x,x0,x1},{y,y0,y1},选项]

在区域 上,画出空间曲面f[x,y].

除Plot,二维参数方程作图的ParametricPlot[{x(t),y(t)},{t,下限,上限},可选项]、三维作图的Plot3D[二维函数表达式,{变量1,下限,上限}, {变量2,下限,上限},可选项}]、三维参数方程作图的ParametricPlot3D[{x(u,v),y(u,v),z(u,v)},{u,下限,上限},{v,下限,上限},可选项]外,还有画二维等高线图ContourPlot[二元表达式,{变量1,下限,上限}, {变量2,下限,上限},可选项}]、画二维密度图的DensityPlot[二元表达式,{变量1,下限,上限}, {变量2,下限,上限},可选项}]等等不一而足。 

  除使用上述函数作图以外,Mathematica还可以象其他语言一样使用图形元语言作图,如画点函数Point[x,y],画线函数Line[x1,y1,x2,y2],画圆的Circle[x,y,r],画矩形和多边形的Rectangle和Polygon,字符输出的Text[字符串,输出坐标],还有颜色函数RGBColor[red,green,blue]、Hue[],GrayLevel[gray]来描述颜色的亮度、灰度、饱和度,用PointSize[相对尺度]、Thickness[相对尺度]来表示点和线的宽度。总之Mathematica可以精确地调节图形的每一个特征。

四.数学函数的用法

Mathematica系统内核提供了丰富的数学计算的函数,包括极限、积分、微分、最值、极值、统计、规划等数学的各个领域,复杂的数学问题简化为对函数的调用,极大地提高了解决问题的效率。 

  Mathematica提供了所有的三角、反三角、双曲、反双曲、各种特殊函数(如贝塞尔函数系、椭圆函数等),各种复数函数(如Im[z],Re[z],Conjugate[z], Abs[z],Arg[z]),各种随机函数(如Random[n]可以通过不同的参数产生任意范围内整型、实型任意分布的随机数),矩阵运算函数(如求特征值特征向量的EigenVector[],EigenValue[],求逆的Inverse[]等)。 

  Mathematica还提供了大量数学操作的函数,如取极限的Limit[f[x],{x,a}],求微分的D[f[x],x],全微分的Dt[f[x],x],不定积分的Integrate[f[x],x]和定积分的Integrate[f[x],{x,a,b}],解任意方程的Solve[lhs=rhs,x]及微分方程的DSolve[lhs=rhs,x],解幂级数和付立叶展开的Series[f[x]],Fourier[f[x]]及其逆变化InverseSeries,InverseFourier, 求和函数Sum[],求积函数Product[],以上函数均可以适用于多维函数或多维方程。  

  Mathematica中还有相当数量的数值计算函数,最常用的是N[表达式,整数]可以求出表达式精确到指定有效数字的数值解,还有如数值求积分的NIntegrate[],求方程数值根的NSolve[]和NDSolve[],最小、最大值的NFindMinimum[]和NFindMaximum[]等等。 

Mathematica还有各种表达式操作的函数,如取分子、分母的 Numerator[expr] , Denormator[expr],取系数的Coefficient[expr],因式分解的Factor[expr],以及展开的Expand[expr]和ExpandAll[expr],表达式化简的Simplify[expr]等。expr代表一个任意的表达式。
 楼主| 发表于 2005-7-29 20:43 | 显示全部楼层
微商和微分
在Mathematica中能方便地计算任何函数表达式的任意阶微商(导数).如果f是一元函数,D[f,x]表示 ;如果f是多元函数,D[f,x]表示 .微商函数的常用形式如下:
D[f,x]
In[1]:=D[x^x,x]
Out[1]:=
下面列出全微分函数Dt的常用形式及其意义:
Dt[f] 全微分
Dt[f,x] 全导数
Dt[f,x1,x2,…] 多重全导数
In[1]:=Dt[x^2+y^2]
Out[1]:=

. 求极限
计算函数极限 的一般形式是:
Limit[expr,x->x0] x->x0时函数的极限
Limit[expr,x->x0,Direction->-1] x-> 时函数的极限
Limit[expr,x->x0, Direction->1] x-> 时函数的极限
In[1]:= Dt[x^2+y^2]
Out[1]:=1

. 不定积分和定积分

1. 不定积分 Integreate函数主要计算只含有1“简单函数”的被积函数. “简单函数”包括有理函数、指数函数、对数函数和三角函数与反三角函数。不定积分一般形式如下:

Integrate[f,x] 计算不定积分

Integrate[f,x,y] 计算不定积分

Integrate[f,x,y,z] 计算不定积分

In[1]:=

Out[1]:=

In[2]:=

Out[2]:=

2.定积分

计算定积分的命令和计算不定积分是同一个Integrate函数,在计算定积分时,除了要给出变量外还要给出积分的上下限。当定积分算不出准确结果时,用N[%]命令总能得到其数值解.Nintegrate也是计算定积分的函数,其使用方法和形式和Integrate函数相同.用Integrate函数计算定积分得到的是准确解,Nintegrate函数计算定积分得到的是近似数值解.计算多重积分时,第一个自变量相应于最外层积分放在最后计算.

Integrate[f,{x,a,b}] 计算定积分
NIntegrate[f,{x,a,b}] 计算定积分
Integrate[f,{x,a,b},{y,c,d}] 计算定积分
NIntegrate[f,{x,a,b},{y,c,d}] 计算定积分

. 幂级数

幂级数展开函数Series的一般形式:
Series[expr,{x,x0,n}] 将expr在x=x0点展开到n阶的级数
Series[expr,{x,x0,n},{y,y0,m}] 先对y展开到m阶再对x展开n阶幂级数
用Series展开后,展开项中含有截断误差

. 常微分方程

求解常微分方程和常微分方程组的函数的一般形式如下:
Dsolve[eqns,y[x],x] 解y(x)的微分方程或方程组eqns,x为变量
Dsolve[eqns,y,x] 在纯函数的形式下求解
NDsolve[eqns,y[x],x,{xmin,xmax}] 在区间{xmin,xmax}上求解变量x的数的形式下求解常微分方程和常微分方程组eqns的数值解

.线性代数

1. 定义向量和矩阵函数 定义一个矩阵,可用函数Table或Array.当矩阵元素能用一个函数表达式时,用函数Table在定义矩阵大小的同时也给每个矩阵元素定义确定的值.用函数Range只能定义元素为数值的向量.Array只能用于定义向量、矩阵和张量,并规定矩阵和张量的元素下标从1开始.Array的一般形式: Array[向量元素名,n,f] 定义下标从f开始的有n个元素的向量,当f是1时可省略. Array[矩阵元素名,{m,n}] 定义m行n列的矩阵.其中:矩阵元素名是一个标识符,表示矩阵元素的名称,当循环范围是{u,v,w}时定义一个张量. Table[表达式f,循环范围] 表达式f表示向量或矩阵元素的通项公式;循环范围定义矩阵的大小. 循环范围的一般形式:{循环变量名,循环初值,循环终值,循环步长}. 在Array或Table的循环范围表示方法略有区别.

1. 矩阵的运算符号和函数
表达式 意义
A+c A为矩阵,c为标量,c与A中的每一个元素相加
A+B A,B为同阶矩阵或向量,A与B的对应元素相加
cA A为矩阵,c为标量,c与A中的每个元素相乘
U.V 向量U与V的内积
A.B 矩阵A与矩阵B相乘,要求A的列数等于B的行数
Det[M] 计算矩阵M的行列式的值
Transepose[M] M的转置矩阵( 或 )
Inverse[M] 计算矩阵M的逆矩阵( )
Eigenvalus[A] 计算矩阵A的全部(准确解)特征值
Eigenvalus[N[A]] 计算矩阵A的全部(数值解)特征值
Eigenvectors[A] 计算矩阵A的全部(准确解)特征向量
Eigenvectors[N[A]] 计算矩阵A的全部(数值解)特征向量
Eigensystem[A] 计算矩阵A的所有(准确解)特征值和特征向量
Eigensystem[N[A]] 计算矩阵A的所有(数值解)特征值和和特征向量

1. 方程组求解函数
在Mathematica中用LinerSolve[A,B],求解满足AX=B的一个解.如果A的行列式不为零,那么这个解是方程组的唯一解; 如果A的行列式是零,那么这个解是方程组的一个特解,方程组的全部解由基础解系向量的线性组合加上这个特解组成. NullSpace[A]计算方程组AX=0的基础解系的向量表,用LinerSolve[A,B]和NullSpace[A]联手解出方程组AX=B的全部解. Mathematica中还有一个美妙的函数RowReduce[A],它对A的行向量作化间成梯形的初等线性变换.用RowReduce可计算矩阵的秩,判断向量组是线性相关还是线性无关和计算极大线性无关组等工作.
解方程组函数 意义
RowReduce[A] 作行的线性组合化简A,A为m行n列的矩阵
LinerSolve[A,B] 求解满足AX=B的一个解,A为方阵
NullSpace[A] 求解方程组AX=0的基础解系的向量表, A为方阵

五.程序流程控制  

  循环语句有For[赋初值,循环条件,增量语句,语句块]表示如果满足循环条件,则执行语句块和增量语句,直到不满足条件为止,While[test,block]表明如果满足条件test则反复执行语句块block,否则跳出循环,Do[block,{i,imin,imax,istep}]与前者功能是相同的。还有Goto[lab], Label[lab]提供了程序中无条件跳转,Continue[]和Break[]提供了继续循环或跳出循环的控制,Catch[语句块1]和Throw[语句块2]提供了运算中对异常情况的处理。另外,在程序中书写注释可以用一对"(*  *)"括起来,注释可以嵌套。

六.其他   1. 使用帮助,Mathematica的帮助文件提供了Mathematica内核的基本用法的说明,十分详细,可以参照学习。 
  2. 你可以使用"? 符号名"或"??符号名"来获得关于该符号(函数名或其他)的粗略或详细介绍。符号名中还可以使用通配符,例如?M*,则系统将给出所有以M开头的关键词和函数名,再如??For将会得到关于For语句的格式和用法的详细情况。 
  3. 在Mathematica的编辑界面中输入语句和函数,确认光标处于编辑状态(不断闪烁),然后按Insert键来对这一段语句进行求值。如果语句有错,系统将用红色字体给出出错信息,你可以对已输入的语句进行修改,再运行。如果运行时间太长,你可以通过Alt+.(Alt+句号)来中止求值。  
  4. 对函数名不确定的,可先输入前面几个字母(开头一定要大写),然后按Ctrl+K,系统会自动补全该函数名
发表于 2006-4-19 20:22 | 显示全部楼层

谢谢

为什么不作成文档?这样方便下载啊!
发表于 2006-6-21 15:43 | 显示全部楼层
谢谢啦!
但是我们这次的作业还是不知道怎样完成!!
唉~~
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