静力学与超静定问题

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　　静力学是关于物体受力的合成、分解与平衡的学问。在静力学理论形成的过程中，有两位学者起到了关键作用：一位是古希腊阿基米德 (Archimedes,287 BC-212BC)，另一位是荷兰的斯梯芬 (Simon Stevin,1548-1620)。

　　图1 阿基米德(左);斯梯芬(右)

　　阿基米德的著作中系统的解决了平行力的分解与合成问题，而斯梯芬在著作《平衡术》(De beghinselen der weeghconst,1586) 中最后解决了两个不平行力的合成问题，也就是二力合成的平行四边形定理。

　　图2 斯梯芬书中关于二力合成的一张插图

　　阿基米德以前介绍得比较多，一般比较熟悉，现在简单介绍一下斯梯芬。

　　斯梯芬是一位军事工程师，曾当过商人的雇员。也可能是，他是文艺复兴以后第一位认真对力学问题钻研的人。斯梯芬和伽利略几乎是同时代人，他比伽利略年长，但是他们研究的领域是不同的，斯梯芬是在静力学方面的奠基人，而伽利略则是动力学的开山祖师，斯梯芬侧重在地面上的实际工程问题，而伽利略则对天体的问题有兴趣得多。斯梯芬是一位有多方面贡献的学者，在力学、数学、物理、建筑、军事工程、水利、音乐等方面都有重要贡献。值得注意的是，在音乐方面他独立发现了十二平均律，比明代朱载堉略晚。

　　斯梯芬在静力学上不仅对刚体，而且对流体静力学也做出了宝贵贡献。从他的著作中，已经可以看到虚位移或虚速度原理的萌芽。

　　在研究滑轮和滑轮组时，斯梯芬发现：在任何这种滑轮系统中，每个被支承的重物与它由于该系统的任意给定位移所带动而移过的距离的乘积在整个系统中处处相等时，该系统仍保持平衡。

　　斯梯芬得到了斜面上物体平衡的条件与合成的平行四边形定律，不过他没有给出证明，而是通过直觉给出的。他的思想是这样的：如图ABC三角形上挂以等距等重球组成的链，将AC直线下面的各球割去与否都仍应平衡。于是每边压于边上球的总重，与三边的长度成正比。所以，如果FAB、FBC分别表示每边上每个小球的力，那么必有

　　令

　　则有

　　所以有

　　这一事实用文字表示出来就是：放在斜面上的物体所受沿斜面方向的重力与倾角的正弦成正比。由此启发，他做了实验，如图所示，得到了平行四边形定律。

　　图3 斯梯芬的实验示意图

　　斯梯芬进行了流体压力实验，称为“流体静力学悖论”：承受的总压力与面积的大小和它上面的液体的注高的乘积成正比，而与容器的形状无关。这个结论再前进一步便是所谓的帕斯卡原理。他还测定了液体内各点的压强。

　　斯梯芬研究了浮体平衡问题。他发现物体的重心必与浮心处于同一垂线上。他猜想到：为了平衡稳定，物体的重心必须低于浮心，而前者比后者愈低稳定程度愈高。现在看来，这后一半说法不对，应当是：浮体的稳定性由重心相对于定倾中心(液体向上压力合力的作用点)的位置来决定。

　　在动力学方面，斯梯芬在他的著作中描述了他与他的一位朋友所作的落体实验：取两个铅球，一个的重量十倍于另一个，把它们同时从离开一块板30英尺的地方坠落，他们看到，它们似乎同时到达这块板。这是第一次对亚里士多德关于不同重量下落速度不同理论的反驳。

　　斯梯芬在数学上的贡献是引进了十进小数。在他之前，欧洲人记数大多采用古罗马记数法，如把348记为CCCXLVIII。意大利的达·芬奇把印度的十进制记数法传到了欧洲，但是还没有使用十进小数。斯梯芬引进了十进小数的思想是很了不起的，不过它迟迟不能推广。过了200多年，在法国大革命后的第二年，于1890年才在法国以法律的形式肯定下来。即使这样，在英国、美国等一些国家，至今有的书上还在使用12进制的单位。

　　好，我们回过来讨论静力学。在古希腊时代，通过杠杆的研究已经知道力矩平衡的规律，现在又知道二力、三力合成与平衡的规律。有了这两条，我们便可以去处理一切刚体的平衡问题，也可以处理一切复杂力系的化简问题。所以人们常说，斯梯芬与阿基米德是静力学的奠基人。

　　不过只有阿基米德和斯梯芬的工作，虽然已经能够解决许多静力学问题，例如一些物体的重心、求简单平行力、汇交力的合力等。但是还不能说静力学理论体系已经完善了。在他们之后还应当提起两位法国人在静力学上的工作，他们是：瓦利农 (Pierre Varignon,1654-1722) 和路易·班锁 (Louis Poinsot,1777-1859)。两位前后一百多年。

　　图4 瓦利农(左);班锁(右)

　　瓦利农，他从1686年开始了他的数学教授生涯，它与当时的名人牛顿、莱布尼茨和伯努利家族都有交往。他的出名主要在于传播科学和教学上，比他晚了大约一百年，由于拉格朗日引用他的工作，他才得以闻名于世。他一生写过几部数学教科书，在力学的主要著作是1725年出版的《新力学》，主要贡献于图解静力学和静力学。他在静力学上至今仍为人知的工作是：如果力系等价于一个过一点的合力，则它也等价于一个过另一点的合力外加一个与这个合力垂直的力偶距，这个结论现在被称为瓦利农定理。他在研究力的合成时引进了实际上就是现在的向量积的概念。

　　路易·班锁，大学时期在巴黎综合工科学校学习，毕业后任道桥工程师。1804年起到大学任数学教授，从1809年起，在巴黎综合工科学校任教。1813年被选为法国科学院院士，继承拉格朗日的席位。

　　班锁对力学的主要贡献集中在他所写的《静力学原理》(1803年) 与《力偶转动新论》(1834年) 两书中。在这两本书中，他虽然对静力学的基本原理上没有提供多少新东西，但却重新整理了这门学科，使力系的简化至于比较完整的水平。他最重要的贡献是系统讨论了力偶的性质。提出了明确的静力平衡条件，即合力为零与合力矩为零。

　　根据班锁总结的静力学结论，我们来看刚体的平衡条件。作用在一个刚体上的合力与合力矩要等于零，在一般的情况下，一共可以得到六个标量等式。就是说，如果表述作用在它上面外力的未知量，有六个或六个以下，我们可以通过这六个等式把它们求解出来;如果表述作用在它上面外力的未知量大于六个，则由我们仅有的六个平衡条件等式，不足以把它们完全确定下来，这种情况我们就称为超静定问题，有时也称为静不定问题。在比较特殊的条件下，例如考虑所有的力是交于一点的情形，这时合力矩对这一点是自然为零的，所以只能得到三个方程，这时如果表述未知外力的未知量超过三个，由静力学的平衡条件就没有办法得到全部未知量，就属于超静定问题。

　　作为例子，我们考虑如图5两个人抬一段木头的问题。如果已经知道木头的重量和它的重心的位置，也知道两个抬木头的人与重心的距离，两个未知的木头的力是与重力平行且向上的。这时由平衡条件我们有两个等式，一个是重力与两个抬木头的力之和为零，还有个是三个力对某一点的力矩之和为零，于是我们就能够由这两个等式把两个抬木头的力确定下来，就知道每个人承受的力是多少。

　　图5 二个人抬木头

　　图6是四个人抬木头，左边的情形要确定各人承受的重力是不可能的，因为它是一个超静定问题，而采用右边的方案，则很容易从木头的受力平衡和两根抬杠的受力平衡把各人所承受的重力求出来，它是一个由静力平衡条件完全可以确定下来的问题。其实如果按照图7左边的办法，即使是三个人抬，也是一个超静定问题。

　　图6 四个人抬木头

　　图7 一根多支承的连续梁

　　图7是一个支承在多个桥墩上的连续梁，即使已经知道桥上车辆的重量和重心位置以及桥的单位长度的重量，因为支承的个数大于二，所以要求桥墩的支撑力也是一个超静定问题。

　　上面说的静力学处理仅由一个刚体形成的问题，还是比较简单的。对于有许多刚体组成的结构来说，就要复杂的多。例如我们讨论过的桁架，就是由许多杆件连接在一起的结构。我们说过桁架的每一根杆只承受拉压力。桁架的连接点是铰接，而且外力只作用在节点上。桁架设计的最基本的任务，是要根据它所受的外力计算出每根杆件所受的力。

　　我们首先要问，怎样的桁架是只用静力学就能够计算出每一根杆的受力，这就是静定桁架;而怎样的桁架单凭静力学没有办法计算出每一根杆的受力，这就是超静定桁架。这个问题困惑了结构工程师们许多年，最后于1864年才由麦克斯韦 (James Clerk Maxwell,1831~1879) 解决的。这就是静定与超静定桁架的判据。

　　麦克斯韦是这样解决这个问题的。

　　考虑一个桁架，把它孤立出来，它所有承受的外力，包括约束力都已经通过静力学求解出来了。它由p个节点s根杆构成，我们对它的每一个节点的外力和所有对这点连接的杆的作用力列出平衡方程，由于是共点力，所以在一般情形下，合力在三个相互垂直方向的投影要等于零，即每个节点有三个方程。整个结构一共能够得到3p个方程，不过这3p个方程是不完全独立的，需要去掉整个结构外力已经满足的静力学六个平衡条件。事实上，把3p个平衡条件相加，就得到整个桁架上外力平衡条件，把3p个平衡条件求和对某一点力矩，就得到整个桁架上外力矩为零的条件。这是因为，对桁架中的任何一根杆对两端节点的作用力是大小相等方向相反的，求和时它们会互相抵消。可见对这个桁架从静力学能够得到的独立的平衡条件是3p-6个。这就是说，对于一般情形的桁架，只有杆数s=3p-6时，桁架才是静定的，当s大于3p-6时，桁架就是超静定的了。

　　同样的道理，对于特殊的平面桁架，即杆件都处于一个平面内，外力也作用在这个平面内，这时只有当s=2p-3时，桁架才是静定的，当s大于2p-3时桁架就是超静定的。这是因为平面桁架每个节点的平衡条件是两个，整个桁架的平衡条件是3个。

　　图8 两个静定桁架

　　在这里我们需要顺便对麦克斯韦做一个简单的介绍。他是英国著名的物理学家，是剑桥大学卡文迪什实验室第一任主任。在1850年，他还只有19岁的时候，发表了一篇题为《弹性固体的平衡论》的论文。文中讨论了若干个弹性力学的特殊问题，如三角形受力问题等，这些问题的精确解大半已为其他学者解出。他把这些解与利用光弹性方法测得的结果进行验证，结果符合的很好。所以后人认为麦克斯韦是以光弹性方法实际求解弹性力学应力场的第一人，也是光弹性仪器的实际发明者。

　　图9 麦克斯韦

　　到10世纪末，光弹性方法迅速扩展成为测量应力方法的重要手段。

　　麦克斯韦在早期作了弹性力学与结构力学的研究之后，兴趣转向了光学、电磁学，他以综合提出控制电磁场的麦克斯韦方程而出名。由于狭义相对论早先就是首先对控制电磁场的麦克斯韦方程讨论引出矛盾才出现的。所以我们需要顺便介绍他在物理上的贡献。

　　麦克斯韦1850年以优异的成绩考入剑桥大学，1856年在阿尔伯丁被任命为教授，1871年接受剑桥大学实验物理学教授的聘任。在剑桥期间组建了卡文迪什实验室。该实验室对20世纪的物理研究产生了巨大的影响。

　　麦克斯韦在1857年对土星的光环进行研究时，他认为，如果光环是固体或液体的话，就会由于旋转时所受的引力和惯性力而破裂。只有光环是由无数小颗粒组成才会稳定的观点。随后麦克斯韦从微小颗粒的观点讨论气体，他考虑到分子不仅在各个方向上运动，而且在不同速度上运动，分子之间以及和器壁的碰撞是完全弹性的。由此和当时也讨论这个问题的奥地利物理学家玻尔兹曼 (Ludwig Boltzmann,1844-1906) 同时创建了麦克斯韦-玻尔兹曼气体分子运动论。他并且认为温度是分子运动的平均速度有关的宏观物理量，从而给以前流行的热质说的热流动的说法最后的打击。

　　玻尔兹曼还设想，如果有两个盛有相同温度气体的容器，由一个小门连接起来，有一个妖精把门，当运动慢的分子到右边门就打开，运动快的分子到左边，门也打开，它们向相反的方向运动，门就关闭。这样左边的容器就会愈来愈热，右边的容器会愈来愈冷。这是违背热力学第二定律的一种设想。这个妖精被称为麦克斯韦妖。

　　麦克斯韦发展了英国物理学家法拉第 (Michael Faraday 1791-1867) 关于电磁场的概念，用一组偏微分方程把电场与磁场连接在一起。这组方程后来被称为麦克斯韦方程组。他用这组方程证明了电荷的振荡会产生电磁波，并且提出光也是一种特殊的电磁波，这些看法后来都被实验所证实。

　　麦克斯韦在流变学方面最早提出应力应变关系与时间有关的概念。并且引进了现今称为麦克斯韦粘弹性体的应力应变关系。此外，他在数学上最早定义了向量场的旋度，他对陀螺仪、光学、彩色摄影、原子结构等方面也有重要的贡献。

　　虽然麦克斯韦在结构力学中有许多贡献，如求解超静定结构的方法，静定结构求位移的方法等。判定桁架的超静定只是其中之一，不过由于他在物理中电磁理论和统计物理方面的名气太大，以至于在他的一些传记著作中，连他在结构力学中的贡献，要么一笔带过，要么根本就不提起。

　　麦克斯韦是伟大的，很可惜天不假以寿，他逝世时年仅48岁。

　　最后需要说明的一点是，对于超静定问题，不仅需要动用静力学的全部方程，还要考虑结构的变形才能够把结构中的受力分析清楚。

　　来源：武际可科学网博客，作者：武际可教授，北京大学力学系。