数值模拟基础：初值问题与边值问题求解方法

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　　初值问题 IVP

　　在区间 [t0,b] 上的解是一可微函数 y=y(t)，使得：

　　求解方法：
　　1. 欧拉法(忽略步长的二次项)

　　步长减少1/2，可期望全局误差降至约1/2。

　　2. 休恩法(heun)
　　休恩法是一种预测校正法，欧拉法用来预测，梯形法用来校正。

　　步长减少1/2，可期望全局误差降至约1/4。

　　3. 泰勒级数法
　　利用N阶泰勒展开式，选定不同的N，可以拥有不同的精度。其缺点是先要确定N，并且要计算高阶导数，较复杂。

　　对于4次泰勒方法，步长减少1/2，可期望全局误差降至约1/16。

　　4. 龙格库塔法
　　常用4阶龙格库塔法，一般没必要使用更高阶的方法。

　　对于4次RK，步长减少1/2，可期望全局误差降至约1/16。

　　5. 龙格库塔菲尔伯格法
　　上述方法都称为单步长法，它们只利用前一个点的信息来计算下一个点。其实还可以采用多步法，即用计算出的若干个点来计算下一个点，如亚当斯-巴什福斯法等。多步法的优点是可以确定它的局部截断误差(local truncation error, LTE)，并可以包含一个校正项，用在于每一步计算中改善解的精确度。

　　高阶微分方程：
　　如弹簧、阻尼、质量系统为典型微分方程。

　　对于二阶方程，通过变量替换：

　　从而可以得到两个1阶问题的方程组，继而求解。

　　边值问题BVP

　　另一类微分方程具有形式：

　　边界条件为：

　　求解方法：
　　1、线性打靶法(分解为两个初始值问题)

　　2、有限差分法(利用中心差分公式近似导数，得到差分方程计算微分方程。)

　　偏微分方程：

　　其中A，B，C是常数，称为拟线性(quasilinear)数，有三种拟线性方程。

　　椭圆型方程：

　　抛物型方程：

　　双曲型方程：

　　本文来源于新浪举举的博客，封面图片来自西北工业大学计算机仿真技术精品课程。