非线性有限元本构模型(2)：塑性本构关系

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　　一维塑性
　　材料的塑性行为可以用它的屈服点和屈服后的硬化来描述。从弹性到塑性行为的转变发生在材料应力-应变曲线上的某个确定点，即所谓的弹性极限或屈服点，如下图。在屈服点上的应力称为屈服应力。大多数金属的初始屈服应力为材料弹性模量的0.05%到0.1%。

　　金属在到达屈服点之前的变形只产生弹性应变，在卸载后可以完全恢复。然而，一旦应力超过了屈服应力，开始产生永久(塑性)变形。与这种永久变形相关的应变称为塑性应变。

　　问题：

　　在有限元力学模型中，加载是任意的(如三维)，材料实验数据是单轴拉伸(如一维)，如何在有限元计算中建立联系，实现对应的应力状态，直到发生屈服和破坏?
　　  · 从屈服准则的建立来回答;
　　  · 从时间增量的计算来回到。

　　应力保持40MPa的蠕变试验数据与计算结果对比

　　最大切应力屈服准则 (Tresca’s Criterion)
　　无论材料处于什么应力状态，只要发生屈服，都是由于微元内的最大切应力达到了某一共同的极限值。在有限元计算中，材料的应力和应变状态等价于单轴拉伸实验数据的对应值，与加载历史相关，只要发生屈服，都是由于单元内的最大切应力达到了某一共同的极限值。

　　形状改变比能准则(Mises’s Criterion)
　　无论材料处于什么应力状态，只要发生屈服，都是由于微元的形状改变比能达到了一个共同的极限值。

　　形状改变比能：

　　体积改变比能：

　　失效判据：

　　设计准则：

　　塑性理论的主要内容
　　对于卸载后产生永久应变的材料称为塑性材料。塑性理论的主要内容有：

　　应变的每一增量分解成为弹性可逆部分和塑性不可逆部分

　　屈服函数控制塑性变形的突变和连续，是内变量和应力的函数

　　流动法则控制塑性流动，即确定塑性应变增量。

　　内部变量的演化方程控制屈服函数的演化，包括应变-硬化关系。

　　弹-塑性定律是路径相关和耗能的，大部分的功消耗在材料塑性变形中，不可逆换成其它形式的能量，特别是热。应力取决于整个变形的历史，不能表示成为应变的单值函数;而它仅能指定作为应力和应变的率之间的关系。

　　一维率无关塑性

　　典型弹-塑性材料的应力-应变曲线

　　应变的增量假设分解成为弹性和塑性部分的和，率形式：

　　应力增量(率)总是与弹性模量和弹性应变的增量(率)有关

　　非线性弹-塑性区段，应力-应变为：

　　应力-应变关系的是率均匀的。如果被任意的时间因子缩放，本构关系保持不变。因此，材料反应是率无关的。

　　通过流动法则给出了塑性应变率，常常表示为塑性流动势能的形式：

　　流动势能的一个例子是：

　　屈服条件为：

　　屈服行为是各向同性硬化;拉伸和压缩的屈服强度总是相等。

　　材料在初始屈服之后屈服强度的增加称为功硬化或者应变硬化(对应于应变软化)。硬化行为一般是塑性变形先期历史的函数。

　　一个特殊的模型，由：

　　塑性应变率写成为：

　　由此看出：

　　塑性模型称为关联的，否则，塑性流动是非关联的。对于关联塑性，塑性流动是沿着屈服面的法线方向。

　　仅当满足如下屈服条件时，发生塑性变形。

　　当塑性加载时，应力必须保持在屈服面上， 实现一致性条件。

　　其中：H为塑性模量。

　　对应塑性加载和纯弹性加载或卸载，切线模量为：

　　其中：β为塑性转换参数，弹性加载或卸载时，β=0，塑性加载时，β=1。

　　加载-卸载条件还可以写为：

　　典型的硬化曲线，塑性模量H

　　运动硬化
　　在循环加载中，各向同性硬化模型提供了金属应力-应变反应的粗糙模型。Bauschinger效果：在拉伸初始屈服之后的压缩屈服强度降低。认识这种行为的方法之一是观察屈服表面的中心沿着塑性流动方向移动。多轴应力状态：圆环屈服表面扩张对应于各向同性硬化(幂硬化)，它的中心平移对应于运动硬化。

         · 屈服面积改变，屈服中心不变，各向同性硬化;
　　  · 屈服面积不变，屈服中心平移，运动硬化。

　　材料硬化描述

　　(a)Bauschinger效果 (b)屈服面的平移和扩展

　　α为背应力的内部变量，则塑性流动关系：

　　屈服条件：

　　最简单的形式称为线性运动硬化，表示为：

　　对屈服条件微分，给出一致性条件

　　获得了一个等效塑性应变率的表达式：

　　在塑性加载时：

　　这里有

　　混合硬化

　　Combined hardening model

　　Stress-strain curve under cyclic loads

　　一维率相关塑性
　　在率相关塑性中，材料的塑性反应取决于加载率。弹性反应为：

　　与不能超过屈服条件的率无关塑性相比，为了发生塑性变形，率相关塑性必须满足或者超过屈服条件。

　　一种方法是过应力模型，等效塑性应变率取决于超过多少屈服应力

　　其中：Φ为过应力，η为粘度，n为率敏感指数。

　　当超越屈服条件满足下式时，将发生塑性应变。

　　结合使用Macaulay括号，如果：

　　给出应力率的表达式为：

　　应变软化

　　单调凸本构曲线不再成立。应变软化通过位移加载实现。

　　多轴塑性
　　从前面的一维塑性本构关系生成到多轴情况。给出一般处理大应变的次弹性塑性本构关系，这些公式典型地基于分解变形率张量成为弹性和塑性部分的和并取弹性反应作为次弹性。给出特殊形式如金属塑性的J2流动理论、土壤塑性的Drucker-Prager模型、含孔隙固体塑性的Gurson本构模型，作为一种特殊情况，给出了从一般的大应变公式退化到小应变的情况。描述了修正率无关的结果而获得率相关塑性(粘塑性)的情况。讨论了根据变形梯度的多项式分解使大变形塑性公式成为弹性和塑性部分。弹-塑性行为是基于弹性反应的超弹性表示。也考虑了单晶塑性的特殊情况。

　　次弹性-塑性材料

　　当弹性应变小于塑性应变时，一般应用次弹性-塑性模型。对于次弹性材料在变形闭合回路中能量是非保守的。然而，对于弹性小应变，能量误差是不显著的，并且弹性反应的次弹性表述常常是合适的。在这些本构模型中，假设分解变形率张量D为：

　　根据Cauchy应力与弹性反应特别是应用Jaumann率的形式，一个模型是弹性反应对于变形率的弹性部分应用次弹性定律：

　　塑性流动率给出为：

　　塑性流动方向取决于Cauchy应力和内部变量 q。标量内部变量的例子是累积等效塑性应变和孔洞体积分数。运动硬化模型的背应力是一个二阶张量内部变量的例子。对于大多数塑性模型需要内部变量的演化方程，可以特设为

　　通过下面的一致性条件获得塑性参数的演化方程。屈服条件为：

　　作为一维情况，加载-卸载条件可以写为一致性条件的率形式：

　　通过链规则扩展给出一致性条件：

　　如果塑性流动方向是与屈服面的法线成比例，r~f。

　　认为塑性流动是关联的，否则，认为是非关联的。对于膨胀材料和含孔隙塑性固体，如Gurson模型，大的膨胀伴随着塑性变形，J=1不再有效，在这种情况下，最好将屈服函数表示成Cauchy应力的形式，并且导致切线刚度不是对称的。Kirchhoff应力公式是类似于Cauchy应力公式，并且可以以Kirchhoff应力处处代替Cauchy应力获得。

　　Kirchhoff应力与Cauchy应力的关系：

　　在有限元程序中一般应用哪种屈服准则

　　J2塑性流动理论

　　前面讨论的基于von Mises屈服面的J2流动模型，它特别适用于金属塑性，而也是为此发展的。该模型的关键假设是压力对在金属中的塑性流动没有影响;这已被试验证明。屈服条件和塑性流动方向是基于应力张量的偏量部分。利用von Mises等效应力将观察到的单轴应力行为生成到多轴应力状态(另外地处理生成剪切行为)。

　　上面展示的各向同性硬化公式可以扩展到运动硬化结合各向同性硬化。在多轴大应变运动硬化模型中，需要背应力张量的客观性。

　　对于材料如土壤和岩石，摩擦和膨胀效果是明显的。流动模型J2不适合这些材料，为此而发展了代表材料摩擦行为的屈服函数。在这些材料中，塑性行为取决于压力，相比之下的vonMises塑性独立于压力。因此，对于摩擦材料，关联塑性律常常是不适当的。

　　Mohr-Coulomb本构模型

　　摩擦滑移屈服表面

　　滑移方向(塑性流动)是水平的(沿Q 的方向)而不是垂直屈服面。这是非关联塑性流动的例子。对于连续体和多轴应力-应变状态的行为，M-C准则具有普适性。它应用于模拟颗粒状的土壤和岩石。

　　M-C准则是基于这样的概念，即当任意面上的切应力和平均法向应力达到临界组合时在材料中发生屈服：

　　c是内聚力，通过μ= tanΦ定义内摩擦角。

　　在Mohr平面上的两条直线代表了方程式，它们是Mohr圆的包络并称为Mohr破坏或者失效包络。假设主应力σ1>σ2>σ3。

　　应力状态：

　　屈服准则：

　　Mohr-Coulomb屈服行为

　　Mohr-Coulomb屈服表面和Drucker-Prager屈服表面

　　考虑Φ=0的特殊情况并让c=k代表剪切屈服强度，上式成为σ1-σ3-2k=0，即为Tresca准则。

　　在Tresca和M-C屈服表面上的直线线段便于塑性问题的解析处理。 然而，从计算的观点看，夹角使得本构方程难以建立(例如，计算屈服面的法线)。通过改进von Mises屈服准则结合压力的影响，Drucker-Prager屈服准则避免了与夹角有关的问题：

　　这是一个光滑圆锥的方程，选择常数有：

　　D-P屈服表面通过了M-C屈服表面上的内部或者外部顶点(取加号对应于内部顶点，而取减号对应于外部顶点)。

　　含孔隙弹-塑性固体：Gurson模型
　　Gurson本构模型(1977)的发展是为了模拟通过空穴形核和长大的累积微观破裂，它被扩展应用于模拟金属的延性破裂(例如，Tvergaard和Needleman，1984)。可以推导出模型的不同形式，例如，模型的小应变率无关塑性形式，考虑了延性钢材中的起始裂纹。这里展示大变形、次弹性、率无关塑性形式。Needleman(1983) 给出了率相关公式。

　　材料包含基体和空穴，应用体积分数f(在本节中，用Φ表示屈服函数，用f表示空穴体积分数)，空穴体积分数和基体材料的累积塑性应变是模型中的内变量。本构模型的起点是对变形率张量分解成为弹性和塑性部分后求和。在次弹性应力率关系中采用Cauchy应力的Jaumann率(模量一般取常数和各向同性)，并且塑性流动方程基于Cauchy(真)应力，应用Mises型的屈服条件。

　　屈服函数作为塑性流动的势，因此这一理论是关联的。给出屈服条件为：

　　等效宏观Cauchy应力和偏量Cauchy应力分别为：

　　f*空穴体积分数的函数，在Tvergaard-Needleman的方法中，当空穴体积分数达到临界值fc时，引入修正后并给出为：

　　注意ff是在材料完全丧失承载能力时的空穴体积分数。

　　在材料中空穴的增加是由于已存在空穴的长大和新空穴的形核，可以写成：

　　在不可压缩的基体中(忽略弹性应变的微小贡献)由空穴长大的运动和应用宏观塑性流动法则，得到空穴长大的表达式为：

　　形核是典型地考虑到控制应变和应力，这里忽略了形核。

　　通过使宏观和微观的塑性功率相等，获得累积等效塑性应变的演化表达式，

　　本文根据百度文库PPT讲义《非线性专题-本构模型》整理而成。讲义原作者庄茁，由qiannianyiri分享。