形状记忆合金常用的三种本构模型简介

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　　目前形状记忆合金的本构模型分为唯象理论模型和细观力学模型。在智能结构的力学分析和工程应用中，采用最多的是Tanaka系列模型、LIANG和ROGERS模型和BRISON模型，它们都属于唯象理论模型，其本构关系均基于热力学、热动力学和相变动力学，下面分别介绍这三种本构模型。

　　1、Tanaka模型
　　Tanaka基于自由能驱动力概念提出了形状记忆合金一维本构模型。该模型考虑了材料的马氏体相变和逆相变，认为材料状态是内部参数，用马氏体百分数表示(马氏体体积与材料总体积的比值)。材料状态的一般表达式可写成

　　Helmholtz自由能Γ=E-TS是状态变量E的函数。由热力学第一定律、第二定律可得

　　从上式可得到形状记忆合金材料热力学本构关系的微分形式如下：

　　式中：D为弹性模量;Θ为热弹性张量;Ω为相变张量。D、Θ、Ω通称为材料特性系数，可按下式计算：

　　Tanaka认为对于马氏体相变和逆相变的过程中，马氏体含量ξ与温度T和外加应力σ的关系为指数形式，表示如下。

　　奥氏体向马氏体转变，A→M：

　　马氏体向奥氏体转变，M→A：

　　式中：aM、bM、aA和bA分别是材料常数，用下式表示：

　　Tanaka认为cA，cM分别是奥氏体和马氏体转变时的应力与温度的等效转换系数。

　　2、Liang and Rogers模型
　　式(3)中的系数D、Θ、Ω由是式(4)知，是关于状态变量(ε，T，ξ)的函数。Liang和Rogers1990提出在小应变情况下变量D、Θ、Ω可当做常数处理，因此在Tanaka模型的基础上将式(3)积分后进一步得到了用全量形式表示的本构关系，其关系式如下：

　　下标0表示初始状态。

　　对于马氏体相变动力学模型，Liang和Rogers提出了用余弦形式表示。

　　马氏体向奥氏体转变，M→A：

　　奥氏体向马氏体转变，A→M：

　　式中：
　　aM、bM、aA和bA分别是材料常数，用下式表示：

　　Liang和Rogers提出

　　α、β分别是如图1所示的相变直线的斜率。由热力学Clausius-Clapeyron方程知，在相变过程中应力与温度关系接近线性的(Liang，1900)。Goldstein用试验证实了这个结论。一般认为，相变温度Ms和As与应力关系分别是线性的，而相变温度Mf和Af与应力变化要复杂得多。Liang和Rogers假设Mf和Af与盈利的关系曲线分别与温度Ms和As与应力关系曲线平行。

　　在σ为常数时，由式(9)、式(10)得到的马氏体含量ξ与温度T的曲线关系如图2所示。

　　图1 SMA 的温度、电阻和相变的关系图

　　由图3知，形状记忆合金加热和冷却过程的结构内部的马氏体含量-温度关系是不同的，即加热和冷却循环有迟滞现象。

　　图2 想变温度和应力的关系

　　图3 σ=0时 ξ-T曲线

　　式(9)和式(10)中余弦函数的变量取值限制在[0，π]区间，因此应力取值范围为如下。

　　奥氏体向马氏体转变，A→M：

　　马氏体向奥氏体转变，M→A：

　　式(13)变为

　　式(14)变为

　　在Liang本构模型基础上，考虑SMA丝在某温度T(Ms≤T≤As恒定时发生加载和卸载的过程。其初始状态为

　　在线弹性范围内式(8)变为

　　因此线弹性极限应力、应变σlim、εlim可根据式(16)和式(8)得到

　　当作用应力超过σlim时，应力将诱发马氏体相变，式(8)成为

　　其初始状态为

　　当ξ=1时卸载，由式(20)得到回复应变极限εL：

　　即

　　试验结果(Cross et al.，1970) 表明，相变过程中的最大可回复应变εL近乎是常数(8%)且SMA的杨氏模量D在相变过程中变化显著。杨氏模量D和马氏体含量ξ满足如下关系：

　　式中：DA和DM分别为奥氏体态下的杨氏模量，DA和DM的比值通常为3或更大。

　　因此，式(22)可化为

　　3、Brinson模型
　　式(9)、式(10)所描述的是线弹性行为，难以描述材料的非线性特性。于是Brinson提出了

　　式中：ξs表示由于应力诱发的马氏体体积百分数;ξΓ表示由于温度引起的马氏体体积百分数则式(3)修正为：

　　仍然假设D、Θ、Ω和Ωs是常数，上式变为

　　下标0表示初始状态值式中：ξs和ξΓ可按下述方法计算。

　　(1)材料在外力作用下处于拉伸状态，内部晶格由奥氏体(A)向马氏体(M)转变的情况下：

　　当

　　其中，如果Mf＜T＜Ms，同时T＜T0

　　其余：

　　(2)材料在外力处于回缩状态，内部晶格由马氏体(M)向奥氏体(A)转变的情况下：

　　当

　　式中aM与aA的计算方法同Liang和Rogers本构模型，其它符号含义同前所述。

　　本文内容摘录自姚熊亮撰写的《舰船结构振动冲击与噪声》一书。