周期性离散信号的DTFT和DFT之间的关系

weixin

　　计算机能够处理的信号是离散的数字信号，因此必须对模拟信号进行采样，采样信号满足fs>2*f0。同时，输出的频率也必须是离散的，这样计算机才能处理或保存。

　　我们知道离散的采样信号在频域具有周期性，因此DTFT(离散时间傅里叶变换，对模拟信号进行采样后获得，采样频率满足fs>2*f0)具有周期性，我们对切只对其主周期[-π，π)或者[0，2π)进行分析，对于整个频谱[-∞，+∞]我们可以进行周期性的拓展获得。

　　离散时间信号频域具有周期性，但是在却是连续的频谱;我们仍希望能够让频域也离散，那么只有使这些离散的时间序列进行周期性拓展，成为周期离散信号的DTFT(当拓展无穷个周期，就是DFS)，以获取离散的频谱。下面以xn=[2，-1，1，1]这个离散时间序列进行分析，使用matlab编程为：

n=0:3;

xn=[2,-1,1,1];

[y1,w1]=freqz(xn,1,2000,'whole');

%序列xn的DTFT,2000是指把[0,2*pi]分割的分数

Nw=1000;

dw=2*pi/Nw;

%2*pi分为1000份

k=[-500:499];

np=0:[500*4-1];

%拓展500个周期后的序列位置

xp=xn(mod(np,4)+1);

%拓展后的周期序列

[y2,w2]=freqz(xp,1,2000,'whole');

%xn拓展500个周期之后的DTFT

w0=[0:3]/4*2*pi;

y3=fftshift(fft(xn));

%序列xn的DFT

subplot(3,1,1),

plot(w1,abs(y1),'red');

xlabel('xn序列的DTFT曲线');

hold on,

stem(w0,abs(y3));

%xn序列DFT曲线与DTFT曲线画在一起

subplot(3,1,2),

plot(w2,abs(y2),'red');

xlabel('xn序列拓展500个周期后的DTFT曲线');

subplot(3,1,3),

stem(w0,abs(y3),'red');

axis([0 7 0 5]);

xlabel('xn序列DFT曲线');

　　画出的DTFT、周期拓展后的DTFT、DFT曲线分别如下图：

　　从上图可见，对xn周期性拓展后进行DTFT和xn原始序列的DFT所在的频点是一样的，不同的只是幅度值的大小。因此可以用DFT来表示周期信号的DTFT(从第2和第3图比较看出)。

　　以上为周期离散信号的DTFT(当拓展无穷个周期，就是DFS)和DFT的关系。

　　以下为原始离散信号的DTFT和DFT的关系：
　　而原始序列xn的DFT同时又是其连续谱上的几个采样值，其幅度大小都一样(从第1个图看出)，将整个频域[0，2π)分为4等份(采样数N=4)，如果对其后补96个零，使xn=[2，-1，1，1，zeros(1，96)];

n=0:99;

N=100;

xn0=[2,-1,1,1];

%原始序列

[y0,w0]=freqz(xn0,1,1000,'whole');

xn=[2,-1,1,1,zeros(1,96)];

%补零后的序列

wn=n/N*2*pi;

y=abs(fft(xn));

plot(wn,y,'*');

xlabel('xn0补零后的DFT变换');

hold on,

plot(w0,abs(y0),'red');

　　可以比较DTFT曲线和补零后的DFT曲线如下图：

　　由此可见，DFT是在DTFT连续谱上的样值，如果DFT变换点数量足够多，完全可以用其DFT来表示其DTFT信号的频谱。

　　注：DFS是周期性序列的傅里叶级数，之所以没有提及，是因为已经把它当做DFT进行处理了，DFS是在时域和频域都具有周期性的信号，DFT在时域和频域上都取其主周期进行计算。

　　本文内容来源于新浪LAY1984_XL的博客(2010年5月13日)。