如何区分超临界Hopf分岔和亚临界Hopf分岔？

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　　假定一个Hopf分岔发生，如何判断它是超临界的还是亚临界的呢?通过线性化的方法是不能判断的，因为在这两种情况下，一对特征值都是从左边移到右边。

　　对于Hopf分岔是超临界还是亚临界的判断，大家首先想到的是计算第一李雅普诺夫系数，当第一李氏系数小于零时，该Hopf分岔是超临界的;当第一李氏系数大于零时，该Hopf分岔是亚临界的。但该方法实行起来比较麻烦且容易出错，大家如果有兴趣研究该方法，可以参考Yuri A. Kuznetsov的《Elements of Applied Bifurcation Theory, Second Edition》一书，书中对该方法进行了详细的说明。

　　另一种区分方法是通过计算机数值模拟，若在不动点失稳后，马上出现一个极限环，如果随参数反向变化时，极限环的振幅收缩回零，那么这个Hopf分岔就是超临界的，否则，就可能是亚临界的，在这种情况下，最近的吸引子可能离不动点很远，而且随参数反向变化时，系统会出现滞后现象。对于数值模拟结果，在图像上最显著的区别是：当参数变化，从稳定的平衡点到稳定的极限环的就是超临界Hopf分岔;当参数变化，从不稳定极限环到稳定的平衡点就是亚临界Hopf分岔。当然，计算机模拟结果不等同于证明，因此，在做任何确定性的结论之前，都需要对数值结果进行检验。

　　最后，还应注意退化Hopf分岔。对于一个有阻尼钟摆系统：

　　当阻尼参数μ从正值变为负值时，在原点的不动点从稳定变为不稳定的螺线。但当时，由于在分岔的另一侧没有极限环，因此不存在一个真正的Hopf分岔。

　　图1 超临界Hopf分岔过程

　　图2 亚临界Hopf分岔

　　来源：漫步力学(ID：Walking-mechanics)
　　作者：马新东 天津大学