《古今数学思想》读书笔记（四）

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第三章：古典希腊数学的产生。本篇记录埃利亚学派和诡辩学派。

埃利亚学派

“毕达哥拉斯派发现不可公度比这一事实突出了使所有希腊数学家迫切要想解决的一个难点——离散与连续的关系。……芝诺把离散与连续的关系问题惹人注意地摆了出来。……他提出一些悖论，其中四个是关于运动的。……我们不确切知道芝诺所说的话，只能依靠亚里士多德的引述，而亚里士多德引他的话则是为了要批评他。”

第一个悖论叫做两分法悖论（Dichotomy）。为了从A到B，必须先到达它们的中点C。为到达C，又需要先到达AC的中点D，如此等等。有限长度含无限多的点，这就不可能在有限时间内通过有限长度。

按：这个悖论的精髓似乎跟下一个悖论相同，都是无穷集合的总体性质可以是有限的。

第二个悖论是阿喀琉斯（Achilles，又译阿基里斯，希腊的神行太保，《伊利亚特》里的头号英雄）追不上乌龟。因为阿喀琉斯首先必须到达乌龟出发之点，但当到达时，乌龟已经前进了一段。阿喀琉斯又要到达这个新的出发点，可是到达时，乌龟又前进了一段。如此循环往复，这样的过程经过无限次，阿喀琉斯还是在乌龟后面。

按：这个问题其实非常深刻。普通人会被搞糊涂。学过微积分的聪明人会一眼看出解答：等比数列的无穷项之和是有限值。但思想更深邃的人会想到这与计时的方法有关（方励之《力学概论》里有详细解释）。计时的基础是人类认为一些过程消耗的时间是相等的，如日升月落、光走过相同的距离，把它们作为计时单位。但如果这些过程实际消耗的时间不等呢？阿喀琉斯每次到达乌龟的出发点，就可以视为一种计时单位。但在这种单位下无限长的时间在我们日常看来只是有限长的时间，也就是说，在这种单位下经过无限长的时间之后，仍然还有时间。焉知我们现在感觉的时间不也是如此？

第三个悖论是飞矢不动。箭在运动的任一瞬间必在一确定位置，因而是静止的。

按：解答这个悖论需要函数概念。运动的箭与静止的箭的区别不在于当前的位置，而在于位置对时间的函数。前者是改变的，后者是不变的。

第四个悖论叫操场或游行队伍悖论。它说的可能是这样的意思：设有A，B，C三队兵，最初处于纵向对齐的状态。设在最小的时间单位内，B向左移动一位而C向右移动一位，于是相对于B而言C就移动了两位。因此必有一个使C向B的右方移动一位所需的较小时间单位，否则半个时间单位将等于一个时间单位。

按：由此可见不存在最小的时间单位，时间是连续可分的。但是！把量子力学和引力理论结合起来，还真会得到一个最小的时间单位，即普朗克（Planck）时间，约等于5.4E-40（科学计数法，5.4乘以10的-40次方）秒。在这种情况下是如何避免操场悖论的呢？谁知道？

“我们可把色雷斯地区阿布德拉（Abdera in Thrace）的德谟克利特（Democritus，约公元前460-约前370）也归入埃利亚学派。……他写出关于几何、关于数、关于连续的直线和立体的书。他的几何著作很可能是欧几里得《原本》问世以前的重要著作。”德谟克利特是个大牛人！单凭提出原子论一点，就足以不朽。马克思的博士论文题目就是《德谟克利特的自然哲学和伊壁鸠鲁的自然哲学的差别》。李约瑟在《中国古代科学》里指出（贵州人民出版社2009年8月第一版，27页）：“公元2世纪开始，原子理论一而再、再而三地传入中国，然而这些理论始终未能在中国科学文化的沃土上落地生根。”顾准和陈敏之讨论过《道德经》中“窈兮冥兮，其中有精”的精是不是粒子（《老子的“道”及其他》），两人都反对精是粒子的任继愈之说。

诡辩学派

“在雅典的第一个学派——诡辩派中包括各方面的学者大师，如文法、修辞、辩证法、演讲术、人伦，以及对本书有关的几何、天文和哲学方面的学者。他们研究的主要目标之一是用数学来了解宇宙是怎样运转着的。”辩证法的原意，是指在辩论中揭露对方议论中的矛盾并克服这些矛盾的方法。

“有好些数学结果是为解决三个著名的作图问题而得出的副产品。这三个作图题是：作一正方形使其与给定的圆等面积；给定立方体的一边，求作另一立方体之边，使后者体积两倍于前者体积；用尺规三等分任意角。”这就是著名的三大尺规作图问题：化圆为方、立方倍积（或称倍立方）、三等分角。无数的数学家为这三大难题殚精竭虑，始终不能解决，但也引出了许多附带的成果。后来高等数学证明，三大问题都不能用尺规实现。其他文明有没有研究尺规作图的？

伊利斯（Elis）的希比亚斯（Hippias）是诡辩学派的头面人物，在设法三等分角时发明了割圆曲线。让竖直的单位线段AB匀速顺时针转90度变成水平线段AD，同时让初始高度为1的水平单位线段BC匀速下移到AD，两条线段的交点划出的轨迹就是割圆曲线。用现代的记法，可以发现其方程是arctan(y/x) = πy/2，即y = x*tan(πy/2)。这条曲线如果能作出，就可三等分任意角，但可惜它是不能用尺规作出的。

安提芬（Antiphone，公元前5世纪）在解化圆为方问题时想到用边数不断增加的内接多边形来接近圆面积，布赖森（Bryson，约公元前450年）又用外切多边形来丰富这一思想。安提芬进一步提出把圆看作是无穷多边的正多边形。欧多克索斯在穷竭法里采纳了这些想法。

来源：袁岚峰科学网博客

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楼主读到哪里了？好久没更新了呀