Lyapunov、Sylvester和Riccati方程的Matlab求解

Vickyvictoria

Lyapunov、Sylvester和Riccati方程是控制系统常用到的几个方程，应用和计算比较广泛。

一、Lyapunov方程

1、连续Lyapunov方程

连续Lyapunov方程可以表示为：

Lyapunov方程来源与微分方程稳定性理论，其中要求C为对称正定的n×n方阵，从而可以证明解X亦为n×n对称矩阵，这类方程直接求解比较困难，不过有了Matlab中lyap()函数，就简单多了。

>> A=[1 2 3;4 5 6;7 8 0]
>> C=-[10 5 4;5 6 7;4 7 9]
>> X=lyap(A,C)

2、Lyapunov方程的解析解

利用Kroncecker乘积的表示方法，可以将Lyapunov方程写为：

可见，方程有唯一解的条件并不局限与C对称正定，只要满足非奇异即可保证方程唯一解。同时也打破了传统观念，C必须对称正定的。

1. function x=lyap2(A,C)
   
2. %Lyapunov方程的符号解法
   
3. n=size(C,1);
   
4. A0=kron(A,eye(n))+kron(eye(n),A);
   
5. c=C(:);
   
6. x0=-inv(A0)*c;
   
7. x=reshape(x0,n,n)

复制代码

恩下面看一个示例，体会下符号解法：

>>A=[1 2 3;4 5 6;7 8 0];
>>C=-[10 5 4;5 6 7;4 7 9];
>>x=lyap2(sym(A),sym(C))

x =
[ -71/18,   35/9,   7/18]
[   35/9,  -25/9,    2/9]
[   7/18,    2/9,   -1/9]

3、离散Lyapunov方程

离散Lyapunov方程的一般形式为：

Matlab中直接提供了dlyap()函数求解该方程：X=dlyap(A,Q)

其实，如果A矩阵非奇异，则等式两边同时右乘 得到：

就可以将其变换成连续的Sylvester方程

而Sylvester方程是广义Lyapunov方程，故离散的Lyapunov方程还可以使用下面的方法求解：

1. B=-inv(A’)
   
2. C=Q*inv(A’)
   
3. X=lyap(A,B,C)

复制代码

下面总结下我们上面的讲到的知识点：

• X=lyap(A,C)                                 连续Lyapunov方程数值解法
• X=lyap2(A,C)                               连续Lyapunov方程符号解法
• X=lyap(A,B,C)                                广义Lyapunov方程，即Sylvester方程
• X=dlyap(A,Q)或者X=lyap(A,-inv(A’),Q*inv(A’))    离散Lyapunov方程
  

二、Sylvester方程Matlab求解
Sylvester方程的一般形式为：

该方程又称为广义的Lyapunov方程，式中A是n×n方阵，B是m×m方阵，X和C是n×m矩阵。Matlab控制工具箱提供了直接的求解该方程的lyap()函数：

1. A=[8 1 6;3 5 7;4 9 2]
   
2. B=[2 3;4 5]
   
3. C=[1 2;3 4;5 6]
   
4. X=lyap(A,B,C)

复制代码

同理，我们使用Kronecker乘机的形式将原方程进行如下变化：

故可以编写Sylvester方程的解析解函数：

1. function X=lyap3(A,B,C)
   
2. %Sylvester方程的解析解法
   
3. %rewrited by dynamic
   
4. %more information
   
5. If nargin==2,C=B;B=A';end
   
6. [nr,nc]=size(C);
   
7. A0=kron(A,eye(nc))+kron(eye(nr),B');
   
8. try
   
9.     C1=C';
   
10.     X0=-inv(A0)*C1(:);
    
11.     X=reshape(X0,nc,nr);
    
12. catch
    
13.     error('Matlabsky提醒您：矩阵奇异！');
    
14. end
    

复制代码

使用上面的数据，我们试验下该解析解法
>>X=lyap3(sym(A),B,C)
X =
[   2853/14186,    557/14186,  -9119/14186]
[  11441/56744,   8817/56744, -50879/56744]

三、Riccati方程的Matlab求解
Riccati方程是一类很著名的二次型矩阵形式，其一般形式为：

由于含有矩阵X的二次项，所有Riccati方程求解要Lyapunov方程更难，Matlab控制工具箱提供了are()函数，可以直接求解该函数：

1. A=[-2 1 -3;-1 0 -2;0 -1 -2]
   
2. B=[2 2 -2;-1 5 -2;-1 1 2]
   
3. C=[5 -4 4;1 0 4;1 -1 5]
   
4. X=are(A,B,C)

复制代码

来源：新浪iApollo的博客

zhangzy

全都是线性代数的知识  

eastar

zhangzy 发表于 2017-1-25 08:43
全都是线性代数的知识

确实  线性代数用的比较多 毕竟计算机处理的已矩阵居多

sh_lin30

不错 收藏啦

Raspberry

请问楼主如何求解形如Dx=Ax+xA'+xB'Bx+CC'的微分Riccati方程