非线性科学与混沌综述之非线性动力学

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　　线性是指量与量之间的正比关系;在直角坐标系里，这是用一根直线表征的关系。近代自然科学正是从研究线性系统这种简单对象开始的。由于人的认识的发展总是从简单事物开始的，所以在科学发展的早期，首先从线性关系来认识自然事物，较多地研究了事物间的线性相互作用。理论家们在对大自然中的许多现象进行探索时，总是力求在忽略非线性因素的前提下建立起线性模型，至少是力求对非线性模型做线性化处理，用线性模型近似或局部地代替非线性原型，或者借助于对线性过程的微小扰动来讨论非线性效应。经过长期的发展，在经典科学中就铸造出一套处理线性问题的行之有效的方法，例如傅立叶变换、拉普拉斯变换、传递函数、回归技术等;就是设计物理实验，也主要是做那些可以做线性分析的实验。从这个特点看来，经典科学实质上是线性科学。线性科学在理论研究和实际应用上都有十分光辉的进展，在自然科学和工程技术领域，对线性系统的研究都取得了很大的成绩。
　　线性科学的长期发展，也形成了一种扭曲的认识或“科学思想”，认为线性系统才是科学探索的基本对象，线性问题才存在理论体系，而非线性系统只是例外的病态现象和非本质特征，没有普遍的规律，只能作为对线性系统的扰动或采取特殊的方法做个别处理。所以经典科学的长期发展，都是封闭在线性现象的圈子里进行的。线性与非线性物理现象有着质的差异和不同的特征。非线性要比线性系统复杂得多，"线性系统"与"非线性系统"的不同之处有以下几个方面。(从抛物线谈起——混沌动力学引论 郝柏林上海教育出版社)
　　第一，线性是简单的比例关系，而非线性是对这种简单关系的偏离。
　　第二，线性关系是互不相干的独立贡献，而非线性则是相互作用。
　　第三，对于理解混沌动力学有极为重要意义的一条：线性关系保持讯号的频率成分不变，而非线性使频率结构发生变化。
　　第四：线性系统可以使用叠加原理，而非线性系统则绝对不能!
　　第五：非线性系统对初值极敏感，而线性系统则不然，这是两者最本质的区别。
　　非线性动力学研究非线性力学系统各种运动状态的定量和定性规律，尤其是运动模式和演化行为。正是由于非线性系统对初值具有特有的敏感性，我们在处理非线性方程时，不能得心应手地使用一些已经非常成熟的数学方法：如线性迭加、微扰、摄动、无穷小分析等等。只能对具体问题做具体分析，针对个别问题的特点采取特殊的处理方法。所以历史上虽然有过一些解非线性方程的巧妙方法，但与大量存在的非线性问题相比，只算是凤毛麟角;甚至人们一遇到非线性系统或发现方程中的非线性项时，就想尽办法回避，或加以舍弃，使之“线性化”。为了能够对错综复杂的非线性系统进行研究，我们需要一些新的方法和思维方式。目前，非线性动力学已从经典的以摄动法和渐近分析的方法为基础的弱非线性、弱耦合系统的研究阶段，进入到近代的更深入地研究系统的复杂行为的阶段。适时应运而生的系统论、信息论、耗散结构、协同学等理论，成为研究非线性系统的有力武器。对有限维系统来说，研究的中心问题是分岔和混沌。混沌是非线性系统中存在的一种普遍现象，它也是非线性系统所特有的一种复杂状态。混沌理论(chaos theory)作为其中的一种，可谓一枝独秀，已渐渐成为非线性科学的主要研究对象。