[转帖]五十知天命，有限元功盖四方

hyacinth

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有限元方法从1952年诞生到现在，经历50年的研究发展．今天， 在航空领域，用有限元方法进行 着全机、部件的静力动力分析，非线性的弹塑性分析。薄壁结构的
屈曲失稳分析，炮击与乌撞的动力响应分析。着陆响应分析、饥翼 结构在气动力作用的气弹颤振分析等等．既用以分析金属材料结 构，也用以分析复合材料的机翼结构；既用作强度评估，也用作优 化设计．不仅对于飞机设计十分重要，对于发动机结构设计更是不 可或缺．发动机的关键零件—转子M十片应力集中与凹南部位高 应力区的强度预估、裂纹尖端的疲劳载荷作用下的扩展规律、发动 机转子高速转动的动力特性分析、在千度以上高温环境下工作的 发动机燃烧室结构的温度场与热心力分析。食限元方法都在施展 威力．有限无方法技术经过4()年的发展。巴合伯当完整系统的求 解策略和适合57；问情况的解算方法．发展j‘以为人STK4＼有限 元程序为代表的、成熟的5十算机软件系统技术．理论基础牢固、学 科系统宏大，内存丰富深刻，集应用力学韧汁算数学之大成的科学 理论已经建立．经系统件总结，像＜四库全书＞那样庞大的＜有限元 方法手册》，在一大批专家群体共同编撰之下已经在西方出版．总 之，有限元方法和技术已经成为当今科学与工程分析的重要方法． 计算机模拟仿真技术的基本理论、设计技术的主要手段．它早已跨 计算机模拟仿真技术的基本理论、设计技术的主要手段．它早已跨 出航空航天，进入机械、桥梁土木建筑、造船等行业并获得广泛应 用，而且从传统的结构力学、固体力学领域向流体力学等各方面渗 透．不仅用于研究物质机械运动的规律，还用于研究热运动和电磁 运动的规律．在今日高科技成就 曰偷 殿堂中，有限元方法已经确 立其科学巨人的不朽地位． 有限元方法的科技地位，由力学家和 工程师奠基，由计算数学 家巩固．理论科学与实用技术共同塑造它的形象，增强它的智慧、 培育它的能力，有限元方法才有今天．大科学、大群体，大协作创造 出大成果的当今高科技发展的这一社会化特征，在有限元方法的 发展过程中，同样表现得十分明显．毫无疑问，除其他领域科技专 家的贡献之外，有限元方法之所以能取得伟大的成就，计算数学家 的功盖四方．
有限元模型是理论模型的一种离散近似．近似必然产生误差。 各种误差必然对限元方法分析计算、评估预测结果的正确可靠 性产生重要影响．这些误差是多种多样的．有限元模型的物理力学 近似不可能没有误差，载荷施加和边界条件计算处理导致误差．计 算求解有误差.正是数学家完成了系统性的数值误差分祈，揭露了 有限元计算精度依赖于有限元形状函数阶次的数量关系，揭露了 这些误差因素对最终结果精度产生何等程度的影响，才使有限元 计算分析从经验的水平上升到理论的水平．由我国数学家冯康教 授开创的这一研究，历时十年，捷克、美国、法国等许多国家的专家 学者广泛参与、最终断定力学家提出的分片等参数插值多项式的 有限元位移模式的逼近论性质、逼近度、有限元几何尺寸和多项式 阶次的关系，使有限元方法出现质的飞跃． 为了使有限元数学模型充分刻画问题的物理与力学的特性， 使有限元模型既可靠又简单，力学家从不同的力学原理出发、提出 了多种富有特色的有限元模型。它们是假定位移的最小势能模型， 假定应力近似的力平衡模型，既假定应力又假定位移的混合跺交 模型，以及变分犯规的非协调位移模型等．各种模型的数值试验揭 示，不同模型的计算结果有不同的误差收敛与发散的性状规律．为 改善协调位移模型使结构过于刚硬的缺陷，非协调位移模型采用 改善协调位移模型使结构过于刚硬的缺陷，非协调位移模型采用 变分犯规措施进行调节．但并不都一定奏效，有时事与愿违，得不 到正确的计算结果，使计算简单的非协调有限元模型的应用蒙上 了阴影．于是力学家建议，采用所谓patch test(补丁检查)模型可 靠性的检验措施予以补救．但是这些有力学依据的必要条件．最终 成为保证分析一定正确可靠的充分条件，也经历了较长期的努力、 由许多数学家做了大量的研究工作才告完成．在这一方面，我国数 学家的工作有重要意义，石钟慈教授对非协调元方法的系统性研 究就是一项世界公认的成就.  数学家为杂交元模型建立理论基础，克服有限元方法处 理不可压缩材料面临的收敛闭锁障碍，使有限元从固体力学进入 流体动力学等更宽广的领域，则更是大功一件．从此有限元法的发 展登上了新的高峰． 基于广义变分原理的混合／杂交有限元模型， 力学上直接而清 楚地刻画应力、应变、位移协调各种物理与力学的关系，应该是更 合理的有限元模型．但是它的鞍点问题特性，使问题复杂化了．对 一个混合供交有限元模型的假定应力模态和假定位移模态不加 限制，即便表面上是自然可取的，其结果未必是正确的．不加限制、 不是刚体位移的虚假零能模态有可能出现．自然不能保证有正确 的计算结果．是意大利计算数学家Brezzi借助泛函分析的数学理 论，建立了解决上述问题的理论框架．从原则上规定了混合砍交 元模型的假定位移和假定应力模态必须满足的充分必要条件．为 混合杂交元方法健康发展、广泛应用开创了一条广阔平坦的道路。 自此，有限元成为处理对流扩散运动的一种有力方法，使Navier—
Stokes方程的有限元模拟出现新局面．从而克服了在这领域有限差 分（FDM）独霸天下的局面。
在有限元模型分析方面，数学家借助广义函数和索波列夫空 间理论，偏微分方程的HiILert空间方法等基础理论，不仅完成了 上述有关有限元近似的基础理论问题，阐明了数值上奇异的种种 现象的内在依据，有十分重要不可磨灭的贡献，而且在有限元计算 方面，诸如算法设计、算法可靠性、精确性分析和算得更快，有更高 计算效率方面，在充分利用计算机硬件资源，更充分地发挥各部件 的潜力方面，数学家更是责无旁贷而且驾轻就熟，使大规模的有限 元分析计算效率不断地成倍增长． 有限元分析最基本的环节是求解结构刚度矩阵为系数的线代 数方程组．对于飞机全机结构分析，它通常是上万阶的对称正定稀 疏矩阵．算法的优劣，不仅影响计算结果有效数字的多少，而且计 算机CPU的时间长短，内存储量的大小，内外存储交换的频率差 异都可能很大．这一方面的研究，经数学家的努力，已经上了两大 台阶，从变带宽的矩阵分解直接消元法，发展到矩阵条件数预处理 共扼梯度叠代方法，最终有今天的多重网格叠代方法．计算量从O(n^3)的量级降低到O(n)的量级．今天，人们普遍认为计算机 处理器速度性能，每3-5年提高10倍，是计算机发展最快的一个性 能指标．对于矩阵阶数100000的问题，计算方法改进所达到的 计算速度提高，似乎并不比计算机硬件速度改进慢多少． 计算速度提高，似乎并不比计算机硬件速度改进慢多少． 像一个细长体悬臂梁式的飞机结构，振动模态计算是有限元 动力分析的基础，是设计十分关心的一项主要数据，这一问题归结 为数值代数中的广义特征值和特征向量问题的计算．计算数学在 这一方面对有限元分析作出的支持，同样也是强有力的．从最小振 动频率、次小频率、一个接一个精确叠代计算的一整套方法已经齐 备，在实际设计分析中发挥着基本的作用． 有限元方法是计算的方法．计算数学对有限元有多方面的贡 献，对所用的算法会有许多重大的改进和发现，会是十分自然的．没 有有限元数学，就不会有有限元方法的今天，应该是绝对正确的． “欲穷千里目，更上一层楼．”有限元方法尽管势力范围很大， 新近又进入加工制造领域，在金属板材塑性成形加工中成为控制 手段，为航空航天器复杂几何零部件加工发挥新的作用．但是放眼 科技世界，面对新形势下新的要求，一个新的历史阶段已在面前， 模拟的问题越来越复杂，计算规模越来越大，粗网格高精度是 自然的要求．为了显著节省计算工作CPU时间，在场变量变化剧 烈区，计算节点密集；非剧烈变化区，计算节点布置稀疏，但网格疏 密过度导致网格几何畸变．为了计算的自适应，要求有限元模型对 此是几何不敏感的．对于传统的有限元模型，计算发现的另一个问 题是收敛性闭锁现象发生．对于接近不可压缩材料和考虑横向剪 切影响的模型参数依赖的问题，采用常规的有限元模型，表面上看 似乎十分自然，实际上导致计算的发散性．这种所谓lOCking现象?  是有限元“鲁棒性”(robustness)差的重要表现．这些问题逼使人们 作出对于新的比传统格式性能更强的有限元离散格式的追求． 基于不同变分原理构造不同的新的有限元离散格式的研究， 可以追溯到有限元的童年时期，一直是有限元发展的一个重要的 原动力．但是，按上述性能标准，品质优良的所谓最佳的有限元格 式的研究只是新近逐渐引起关注的重要课题．
九十年代美国的Simo教授等发现一个通称为WU93n有限元 的非协调格式，除了20年前计算上发现的高精度之外，尚有不会 locking的优良特性．于是开始了使用新型有限元位移插值的所谓 增强格式enhanced scheme5的探索，这种新的有限元基函数的构 造特点是着重增加单元内部自由度而不顾及基函数的协调．协调 性损失换来内部自由度经“静力凝聚”局部消除，计算效率显著提 高．因此它们对在有限元商业软件系统中至今还占统治地位的等 参协调插值，提出了最大的挑战．人们有理由怀疑：等参协调插值 是有限元位移近似的合适选择吗?  尽管有关的数学理论分析仅仅是一个开始，但是Wilson插值 法由于不顾及协调性，从内部增加自由度提高逼近度的观点，从计 算效率看，是有限元插值观念的一种思想解放．从这一方向提高有 限元分析效率有着十分诱人的前景． 无论对于粘性不可压缩流动，还是Mindlzn—Reissner 板弯问题，著名的气泡函数(bubble)就是内部自由度增加稳定性 的典型措施．混合元模型在它们的配合下对locking不稳定性的强 阻尼作用已经引起数值的和理论分析的广泛研究．因此，多个方面 分析，用内部自由度丰富型非协调插值方法，取代等参协调插值在 分析，用内部自由度丰富型非协调插值方法，取代等参协调插值在 现今有限元方法中的地位，似乎是顺理成章的，只是“非协调”不是 一个容易驾驭的问题．什么样的变分表达，是支持这类插值近似位 移的理性选择，前景尚有一层迷雾．要证实它们的高精度、几何不 敏感和不LOcking，困难就更大．上述种种猜测既需要数学上严格 的理论分析予以证实，又需要多种数值试验的确认，更需要专家的 想像力和智慧，有许多问题等待着数学家和力学家再次携手协作， 共同奋斗． 不只上述问题，当有限元方法进入“五十而知天命”的岁月时， 只要是问题，个个都富有挑战性．例如在一个复杂的载荷谱作用 下，飞行器结构不可能处处用线弹性的有限元模型表达，可以在不 同部位同时出现性质不同的，线性与非线性的应力应变状态．线弹 性的应力应变区，非线性塑性变形区和屈曲失稳组合出现客观上 更为真实．这样的增量过程规模大，计算时间长，需要存储的信息 多，特别需要强度试验数据的支持和配合。一个可靠的有限元模型 和可行的解算策略才可能获得．诸如此类的问题，需要有限元方法 变得更强，算得更快，本领更高．经过40年的发展，有限元法已经 开辟出一条康庄大道，这“更强、更快、更高”的目标，相信一定能够 (谢谢夏虫提供宝贵资料！！！)