关于非线性振动诊断的几个问题

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机械系统中的非线性因素以及由此而产生的非线性振动现象是客观存在的，并且故障的出现通常强化了系统的非线性。当诊断对象的异常非线性动力学行为较为强烈时，可能直接导致机械系统正常功能的丧失，然而，対其进行准确的描述、阐述、诊断和預测，常用的线性振动诊断方法显示出了固有的局限性。在机械故障诊断领域引入非线性动力学理论与方法， 绝非仅仅意味着更繁难的数学建模、数学推导和演算，而是来自工程实践的客观需要，也是本学科深化发展的逻辑必然。因为非线性动力学理论和方法的研究还很不完善，不少已有的成果离工程实际应用也还有一定距离，加之机械系统本身的复杂性和众多因素的不确定性， 以及许多场合下无法获得足够精确的测量结果，从而使得机械系统非线性故障现象的分析、诊断与预测这一具有重要价值的领域有待进一步深入研究 。

1. 关于非线性故障现象的机理研究

机械系统的非线性故障现象只有通过非线性动力学模型及相应的分析与计算方法才能被正确地理解、描述、诊断和预测。就机械状态监测与故障诊断的要求而言，一个系统的非线性振动性态的研究主要包括: 对于给定的故障激励，确定系统所有可能的稳态响应；分析各稳态解的稳定性和吸引域；确定使解的拓扑结构发生变化的参数值（临界值）及对应于特定参数区域的稳态解的形式与性质。

由于非线性振动的分析求解方法往往因对象而异，至今没有形成一个具有广泛适用性的通用的分析求解方法，除了对弱非线性系统的摄动方法以外，还很少有可能得到足够精确的分析解；而数值方法尽管能提供一些重要的数值结果，却不可避免地使研究局限于一个局部区域，且不便表达参数的影响，当系统具有临界域值分界线时，其局限性就更明显了。所以，机械系统非线性故障现象的机理研究应采用定性(拓扑)方法、定量(分析的和数值的)方法和实验相结合的方式。拓扑方法能迅速地研究整个区域，定量方法可以对一个选定的区域得出具体的结果，而以上两种方法得出的机械系统故障激励下的异常非线性振动现象的结论必须通过实验或工程观测来验证。

2. 关于机械系统非线性振动的辨识建模

用理论分析的方式形成诊断知识库的必要前提，是建立描述故障激励下系统振动特性的数学模型。机械故障诊断要求振动系统辨识建模应包括以下内容：结构辨识，即要求确定振动系统的控制方程是时变的还是非时变的，强非线性的还是弱非线性的，线性化是否合适，非线性项的表达形式等；参数辨识，即在模型结构明确以后，确定模型中的特定参数；模型检验，即验证模型与参数的正确性。对相同的故障激励，所建模型的响应与实测响应在定量上应该误差不大， 定性上应该具有相同的稳态振动形式。

机械系统的动力学建模有两大类方法，即理论建模与实验建模。 前者应用动力学定律 (如牛顿运动定律、拉格朗日方程等) 分析地导出对象的数学模型，后者需要借助实验手段。实验建模有两类基本问题：一是参数估计，即模型结构已知，但模型中有关参数需利用实测数据由最小二乘法或其他参数估计方法确定;二是模型辨识，即模型结构未知，需要利用实验获得的激励与响应数据，在某种函数类 (如切比雪夫多项式等)中寻求一定意义下的最佳逼近。实践中通常采用两种建模方法相互检验，或混合釆用两种方法进行复杂系统的联合建模。

非线性振动系统的辨识建模研究历史不长。针对机械状态监测与故障诊断实践的需要，研究、 开发机械系统非线性振动的辨识建模理论与应用技术，无疑是一个很有意义的课题。

3. 关于突发性故障的描述与预测

机械系统故障可分为两类，即渐发性故障和突发性故障。渐发性故障是指机器或其零部件的工作状态在运行过程中逐渐恶化，最终使机械系统丧失正常功能。其特点是，状态特征参数在机械运行过程中连续变化，直至达到或超过阈值(见图1)。而所谓突发性故障是指机器或其零部件的工作状态在运行过程中产生非连续的突然変化，致使机械系统丧失正常功能或破坏。其特点是，状态特征参数在机械运行过程中发生非连续的“跃迁”，而且突破阈值(见图1-3)。可见，两种类型故障的本质差异在于它们具有的不同的数学结构，即系统状态的连续或非连续变化。注意到这个根本差别，对于揭示各种类型突发性故障的形成机理，选择合适的数学模型和分析方法是很有帮助的。从非线性动力学的视角，机械系统突发性故障有两种不同的形成机制：

( 1 )瞬时扰动(如工作载荷的突然变化等)造成系统状态突变。非线性动力学理论表明，在某些参数区域 (等价于一定的工作条件) 内，并存两个或两个以上吸引子，它们对应子不同的吸引域。在机械平稳运行过程中，系统状态处于其中一个吸引子上；当受到一定强度的扰动时，系统状态立即向另一个吸引子靠拢。这种状态突变机制在图2中定性地以①示出。工程实际中出现的工作在失稳转速以下的滑动轴承转子系统由于不可预计的瞬时扰动而失稳，典型地属于这种情形 。

图1 渐发性故障的几何描述

图2 突发性故障的几何描述

( 2 ) 分岔导致系统状态突变。系统结构参数、物理参数或工艺參数的速续缓慢变化， 一般情况下仅导致吸引子位置和形状连续的微小改变；但当参数变化越过其临界值时，造成吸引子位置、 形状或拓扑结构突然的、非连续的剧烈变化，这是系统状态突变的又一种方式，在图1-3中定性地以②示出。例如，非线性刚度转子系统由于激励参数 (幅值或频率) 的连续改变而出现的振动状态突变，是由于强迫振动周期解分岔所致。

由于其自身的特征， 突发性故障往往比渐发性故障更具有破坏性和危险性。因为系统状态发生非连续的突变是非线性动力学系统的典型行为， 线性振动诊断方法对此难以有所作为， 因此， 对突发性故障的机理分析、 数学描述以及诊断与预测只能寄望于非线性动力学理论与方法。

建立描述机械系统突发性故障的数学模型有两种可能的途径，即分析法和拟合法。前者基于非线性动力学方程的分析解，导出描述机械系统状态特征参量非连续变化的突变流形和分岔集方程，后者利用数值解或实测数据，用拟合的方法得到系统状态特征参数突变模型。

4. 关于自激振动

自激振动是机械系统中较常见的一类非线性故障现象，是非线性非保守机械系统动力学的典型行为， 对应于相空间中稳定的极限环。 机械系统中出现自激振动的重要原因是系统中存在负阻尼机制 (如油膜阻尼、材料内阻、干摩擦)和间隙。尽管根据相平面上的一般定性讨论，极限环的存在与否是明显的，但在解决具体工程实际问题时要详细地加以确定却有很大的困难。除了较典型的拟线性系统外， 目前还没有解决极限环存在性与确定其位置的一般理论方法。虽然理论研究已给出了极限环存在性、唯一性和稳定性的若干定理，但实际用处
有限。在大量具体工程问题中，极限环存在的条件、个数、相应的位置、 稳定性以及它们随参数的变化情况，至今仍不清楚 。对于工程中的多数情形，问题的解决至少在近期内还只能依赖子由定性方法引出的图解法， 利用数字机和模拟机的数值计算， 以及藉助于实验和工程观测。值得特别指出的是，仅进行平衡点邻域的线性化分析，是不足以充分揭示自激振动系统的极限环特性的 。线性化分析可以确定平衡点失稳的临界参数值，却无法预测平衡点失稳后的振动性态、是否存在极限环、极限环的数目和稳定性等。

5.关于分岔

由于非线性微分方程的解对参数的依赖性，机械系统的振动状态与参数 (如阻尼，刚度项的各系数，故障激励的幅值与频率等有关。 一般地，当参数有微小变化时，吸引子(系统的稳态振动)的拓扑结构是等价的 。但当参数变化越过临界值时，出现分岔，导致吸引子剧烈变化 。这种变化可能对机械系统运行状态产生重要影响，甚至直接导致故障。在机械系统的振动中，除了静态分岔以外，最典型的还有倍周期分岔 (如高速转子系统亚谐波、超谐波响应的周期倍化)、霍普夫分岔 (如油膜涡动) 和概周期分岔。现在用来研究分岔的主要方法有: 奇异性理论方法，高维问题的李雅普诺夫一施密特方法， 庞卡莱一伯克霍夫规范形方法， 摄动法，亚谐梅尔尼科夫函数法，后继函数法，什尔尼科夫法，胞映射法和符号动力学方法等。 由于实际非线性问题的复杂性，理论分析往往难以进行，得到定量的分析结果更为困难， 因而对非线性机械系统而言，利用数值计算和模拟的方法进行分岔研究具有非常重要的意义， 特别是确定分岔点的位置和追踪分岔解等 。如果一个状态监测系统能及时地预测被监测系统振动可能出现的分岔， 以及在各参数区域内稳态振动的形式，这对于保证机械设备的正常运行和进行故障诊断是非常有意义的。今人遗憾的是，由于机械系统本身的复杂性和缺乏对复杂技术系统进行精确非线性辨识建模的成熟理论和技术，以及受制于目前人们対复杂非线性动力学系统的分析处理能力，在通向成功的道路上还有许多障碍。

6.关于混沌

已有研究表明，在机械系统的振动中，混沌本身及进入和离开混沌的途径包含了重要的故障信息 。机械状态监测与故障诊断领城中的混沌研究应包括的主要内容有: 各种故障条件下产生混沌的机理和途径；实用性较强的混沌判据；奇怪吸引子和吸引域的几何结构等。尽管工程中广泛存在混沌现象，但由于受到混沌研究的历史和工程问题的复杂性的限制，能直接应用于工程技术的研究成果还很少目前非线性动力学中混沌研究的常用方法有：利用直接数值结果考察轨迹和吸引子结构的不规则性，功率谱，胖卡莱映射，李雅普诺夫指数，分维数，测度熵或拓扑熵，KAM定理，符号动力学方法，胞映射法等。

出于存在各种非线性因素，机械系统动力学在本质上是非线性的，加之既存故障通常强化了系统的非线性，因而在机械系统运行过程中出现了丰富的异常非线性动力学现象 。近年来在大型机械系统的状态监测与故障诊断实践中，人们并非总是获得令人满意的结论 。这一客观事实清楚地表明，基于线性振动理论的机械故障诊断方法，由于无力阐释丰富的非线性故障现象，无法在机械系统异常的非线性振动状态与故障之间建立准确的映射关系，而表現出一定的局限性。随着机械运转速度的目益提高，以及各种新型材料在机械设备中的广泛
应用，机械系统中的非线性因素更加突出，线性振动诊断方法的局限性将更趋明显，从而对基于非线性振动理论的故障诊断方法的需求也将更加迫切。正是基于上述理由，机械故障诊断学科的继续深化发展不能回避与非线性动力学的有机结合。

本文摘自陈安华、刘德顺、郭迎福编著的《振动诊断的动力学理论与方法》